Résultats numériques pour le schéma d’ordre deux. Les tests du schéma

d’ordre deux (10.2.13) couvrent plusieurs méthodes en dimension deux et trois :

(1) La reconstruction des moindres carrés, introduite par la définition 7.7.1 et décrite dans la section 7.9.1 pour le cas k = 1, sur le premier et deuxième voisinage.

(2) La reconstruction de Green, décrite dans la section 7.9.2, sur le premier voisinage. (3) La reconstruction d’ordre deux sur le deuxième voisinage. Cette méthode consiste à

reconstruire une dérivée seconde (10.2.16) et un gradient de précision à l’ordre deux (10.2.15), mais de n’utiliser que le gradient pour une reconstruction linéaire par cellule. (4) La reconstruction d’un gradient moyenné sur un voisinage élargi, par l’algorithme 8.4.1

de la section 8.4. Cette méthode reconstruit un gradient sur le deuxième voisinage. Le tableau 10.9.1 donne un résumé des résultats. Dans la suite, il s’agit d’examiner point par point les observations et de les mettre en relation avec les résultats théoriques de la section 10.6. L’étude tente également de mettre en évidence une corrélation entre les valeurs de kRαk_L(2,∞) = kKαS_αk_L(2,∞) ^{et la stabilité du schéma d’ordre deux (10.2.13). Rappelons que la matrice K}αS_α est invariante par rapport aux changements d’échelle du maillage. Cela justifie la comparaison de valeurs de K_αS_α entre différents maillages.

(1) Reconstruction par la méthode des moindres carrés sur le premier voisinage en

dimen-sion deux : les tests numériques ne révèlent aucune instabilité pour cette méthode en

10.9. ÉTUDE NUMÉRIQUE 159

Tab.10.9.1: Résumé des résultats pour les schémas d’ordre deux (Muscl) Dimension Méthode de reconstruction Voisinage Instabilité

2 Moindres carrés Premier voisinage Non

2 Green Premier voisinage Oui, mais faible

2 Moindres carrés Deuxième voisinage Non

2 Ordre deux Deuxième voisinage Non

3 Moindres carrés Premier voisinage Oui

3 Green Premier voisinage Oui

3 Moindres carrés Deuxième voisinage Non

3 Ordre deux Deuxième voisinage Oui

3 Algorithme 8.4.1 Deuxième voisinage Non

Tab.10.9.2: Reconstruction de degré un par la méthode des moindres carrés sur le pre-mier voisinage en dimension deux : abscisse spectrale ω_J et statistiques de kRαk_L(2,∞) maillage abscisse spectrale moyenne maximum 90ème centile triangles 1 -0.39404e-9 0.43621 0.54114 0.49491 triangles 2 0.23357e-9 0.42221 0.55833 0.45913 triangles 3 0.18482e-9 0.42372 0.59746 0.46769 triangles 4 0.39867e-10 0.41897 0.55139 0.44342 hybride 1 0.23081e-9 0.42646 0.63910 0.52123 hybride 2 0.63704e-10 0.41479 0.62273 0.49499 hybride 3 -0.16952e-9 0.41004 0.61284 0.49313 hybride 4 -0.32351e-10 0.40816 0.58758 0.47695 cartésien déformé 1 0.15821e-9 0.42557 0.65135 0.51010 cartésien déformé 2 0.52366e-10 0.43035 0.63335 0.51623 cartésien déformé 3 -0.21041e-9 0.43152 0.63201 0.51990 cartésien déformé 4 -0.32943e-9 0.43145 0.65605 0.51863

les plus significatives de kRαk_L(2,∞)pour cette méthode de reconstruction. On constate que les valeurs de kRαk_L(2,∞) ^{restent nettement inférieures à 1.}

(2) Reconstruction par la méthode de Green sur le premier voisinage en dimension deux : la méthode de Green de la section 7.9.2 produit des valeurs de kRαk_L(2,∞) ^{qui sont} plus grandes que celles de la méthode des moindres carrés. Dans certaines cellules du premier maillage hybride, les valeurs de kRαk_L(2,∞) ^{approchent même la valeur 1, 5.} Les interfaces entre ces cellules montrent une forte courbure, c’est-à-dire le centre de la face se situe loin de l’axe qui relie les deux barycentres des cellules voisines. Cela pose un problème pour la méthode de Green. L’opérateur correspondant est stable pour la vitesse c = √1

8 −^√5,√

3
_{mais devient instable pour la vitesse c = (1, 0) avec} une abscisse spectrale légèrement positive de ω_{J ≈ 0.0002. Dans ce cas particulier,} la reconstruction des moindres carrés produit un schéma stable avec des valeurs de kRαk_L(2,∞) ^{qui sont nettement plus petites que celles de la méthode de Green. Cette} observation soutient la conclusion de l’étude théorique qui prévoit que la méthode des moindres carrés favorise la stabilité par rapport à d’autres méthodes.

(3) Reconstruction par la méthode des moindres carrés sur le deuxième voisinage en

di-mension deux : les opérateurs Muscl sont stables sur tous les maillages testés. Sur le

Tab. 10.9.3: Reconstruction de degré un par la méthode des moindres carrés sur le premier voisinage en dimension trois : abscisse spectrale ω_J et statistiques de kRαk_L(2,∞) maillage abscisse spectrale moyenne maximum 90ème centile

tétraèdres 1 1.6539 0.57376 0.99051 0.67154 tétraèdres 2 -0.46968e-10 0.57143 1.0878 0.67217 tétraèdres 3 5.7716 0.56804 1.0533 0.65979 tétraèdres 4 7.5288 0.57435 1.0888 0.67144 hybride 1 2.1612 0.54796 1.0820 0.65732 hybride 2 5.5859 0.55320 1.0702 0.68159 hybride 3 6.5645 0.53307 1.0962 0.66178 hybride 4 7.2591 0.52921 1.1547 0.64271

cartésien déformé 1 -0.17017e-9 0.40784 0.54825 0.45403 cartésien déformé 2 0.42669e-10 0.41018 0.54821 0.45641 cartésien déformé 3 -0.63580e-10 0.41188 0.58191 0.46029 cartésien déformé 4 -0.55940e-10 0.41334 0.56309 0.46198

plus petites que sur le premier voisinage, ce qui correspond au résultat du théorème 10.6.9.

(4) Reconstruction par la méthode d’ordre deux sur le deuxième voisinage en dimension

deux : Cette méthode produit des valeurs de kRαk_L(2,∞) ^{qui sont plus grandes que} celles de la méthode des moindres carrés, ce qui correspond au résultat du théorème 10.6.7. L’opérateur Muscl est néanmoins stable pour cette méthode en dimension deux. (5) Reconstruction par la méthode des moindres carrés sur le premier voisinage en

dimen-sion trois : en maillage de tétraèdres, cette méthode de reconstruction génère des modes

propres instables. En même temps, le médian et la moyenne de kRαk_L(2,∞) ^sont supé-rieurs à 0, 5 et le maximum de kRαk_L(2,∞) est supérieur à 1. Cette observation suggère qu’il existe un lien entre l’apparition des instabilités et les valeurs de kRαk_L(2,∞)^{. Le} tableau 10.9.3 montre les abscisses spectrales et les statistiques les plus importantes de kRαk_L(2,∞) ^{pour soutenir cette hypothèse. La figure 10.9.1 montre le spectre pour le} maillage de tétraèdres numéro 3 : deux modes propres instables sont visibles à droite de l’axe imaginaire. Ce résultat indique que le premier voisinage est trop petit pour la reconstruction de degré un en maillage de tétraèdres. En maillage cartésien et maillage cartésien déformé, cette méthode ne rencontre pas de problèmes d’instabilité. Toutes ces observations correspondent exactement aux expériences faites avec Cedre : si les limiteurs sont désactivés, la reconstruction de degré un sur le premier voisinage est instable en maillage de tétraèdres, alors qu’elle est stable en maillage de hexaèdres. (6) Reconstruction par la méthode des moindres carrés sur le deuxième voisinage en

dimen-sion trois : sur le deuxième voisinage, la reconstruction des moindres carrés conduit

à des valeurs de kRαk_L(2,∞) ^{nettement plus petites que sur le premier voisinage, ce} qui correspond au résultat du théorème 10.6.9. En même temps, les modes propres instables disparaissent. Cette observation met à nouveau en évidence une relation entre les valeurs de kRαk_L(2,∞) ^{et l’apparition de modes instables. La figure 10.9.2 montre le} spectre stable pour le maillage de tétraèdres numéro 3. Il s’agit du même maillage que dans la figure 10.9.1.

(7) Reconstruction par la méthode du gradient d’ordre deux sur le deuxième voisinage en

dimension trois : cette méthode de reconstruction génère un opérateur instable pour

le maillage de tétraèdres numéro 2 où elle produit dans certaines cellules des valeurs de kRαk_L(2,∞) ^{supérieures à 1. Cette observation suggère à nouveau l’existence d’un} lien entre les valeurs de kRαk_L(2,∞) ^{et l’apparition de modes propres instables. La} comparaison de cette méthode avec la reconstruction des moindres carrés montre que

10.9. ÉTUDE NUMÉRIQUE 161

Fig.10.9.1: Spectre instable pour la reconstruction de degré un sur le premier voisinage (maillage de tétraèdres numéro 3) : deux valeurs propres instables sont visibles à droite de l’axe imaginaire.

Fig.10.9.2: Spectre stable pour la reconstruction de degré un sur le deuxième voisinage (maillage de tétraèdres numéro 3) : les modes instables de la figure 10.9.1 ont disparu.

la méthode des moindres carrés fournit des valeurs de kRαk_L(2,∞)nettement inférieures et donne en même temps une discrétisation stable. Cette observation suggère à nouveau un lien entre les valeurs de kRαk_L(2,∞) et l’apparition de modes instables.

(8) Reconstruction du gradient sur un voisinage élargi : la reconstruction du gradient par l’algorithme 8.4.1 fournit un schéma stable dans tous les cas testés. Les valeurs de kRαk_L(2,∞) sont nettement inférieures à celles produites par la reconstruction des

moindres carrés sur le premier voisinage, ce qui peut éventuellement expliquer la dis-parition des instabilités.

(9) Maillages cartésiens : les opérateurs Muscl sont stables sur les maillages cartésiens. Sur ces maillages, on a kRαk_L(2,∞) = 0.35355 pour la reconstruction en dimension deux et trois. Les valeurs de kRαk_L(2,∞) sont donc plus petites en maillage cartésien qu’en maillage de tétraèdres, ce qui peut s’expliquer par le théorème 10.6.9 et le fait que le premier voisinage d’une cellule est plus grand en maillage cartésien qu’en maillage de tétraèdres. Cela pourrait expliquer l’absence de modes instables sur de tels maillages. (10) Maillages cartésiens déformés : sur ces maillages, les tests n’ont révélé aucune

instabi-lité. Les valeurs de kRαk_L(2,∞) ^{sont supérieures à celles des maillages cartésiens mais} nettement inférieures à celles des maillages de tétraèdres. Cela pourrait s’expliquer par le fait que le premier voisinage de chaque cellule est plus grand qu’en maillage de tétraèdres.

(11) Influence du type de maillage sur la stabilité : Les résultats des tests laissent supposer que les instabilités émergent seulement sur des maillages de tétraèdres dans le cas de la reconstruction sur le premier voisinage. Les tétraèdres et les prismes sont les cellules pour lesquelles la taille du premier voisinage est le plus petit et les valeurs de kRαk_L(2,∞) sont les plus grandes.

(12) Nombre de modes instables. Le nombre de valeurs propres avec une partie réelle positive semble toujours assez petit, souvent moins d’un pour cent du nombre total des valeurs propres. Cela ne remédie pas au problème car des erreurs d’arrondi introduisent toujours ces modes dans la solution numérique.

(13) Relation entre la matrice de reconstruction locale et la stabilité asymptotique. Les ex-périences numériques montrent une forte corrélation entre les valeurs de kRαk_L(2,∞) et l’existence de valeurs propres instables. Ces valeurs propres apparaissent unique-ment sur des maillages où les valeurs de kRαk_L(2,∞) ^{sont proches de ou supérieures à 1} dans certaines cellules. Il manque cependant une preuve théorique générale pour cette relation.