Résultats numériques pour le schéma d’ordre trois. Cette section présente

les résultats numériques pour les méthodes de reconstruction des polynômes de degré deux. Les tests couvrent les cinq méthodes suivantes :

(1) La reconstruction des polynômes de degré deux par la méthode des moindres carrés, ou méthode de la pseudo-inverse, introduite par la définition 7.7.1.

(2) La reconstruction des polynômes de degré deux par la méthode des moindres carrés couplés par itérations, ou méthode MCCI, définie par l’algorithme 8.2.2. Le nombre d’itérations est fixé à trois.

(3) La reconstruction des polynômes de degré deux par la méthode des moindres carrés cou-plés par itérations sur un voisinage élargi, ou méthode MCCIE, définie par l’algorithme 8.4.3. Le nombre d’itérations est fixé à trois.

(4) La reconstruction des polynômes de degré deux par la méthode des corrections succes-sives, ou méthode CS, définie par l’algorithme 8.3.8.

(5) La reconstruction des polynômes de degré deux par la méthode des corrections succes-sives sur un voisinage élargi, ou méthode CSE, définie par l’algorithme 8.4.4.

Le tableau 10.9.4 montre un résumé des résultats.

(1) Reconstruction des polynômes de degré deux par la méthode des moindres carrés sur

le deuxième voisinage en dimension deux : les tests numériques ne révèlent aucune

instabilité pour la reconstruction des moindres carrés sur les maillages de triangles, les maillages hybrides et les maillages cartésiens. Les valeurs observées pour la norme kRαk_L(2,∞) sont inférieures à 0, 3 sur les maillages de triangles.

10.9. ÉTUDE NUMÉRIQUE 163

Tab. 10.9.4: Résumé des résultats pour la reconstruction de degré deux.

Dimension Méthode de reconstruction Voisinage Instabilité

2 Moindres carrés (pseudo-inverse) 2 Non

2 Moindres carrés couplés MCCI 4 Oui

2 Moindres carrés couplés sur voisinage élargi MCCIE 5 Non

2 Corrections successives CS 2 Oui

2 Corrections successives sur voisinage élargi CSE 4 Non

3 Moindres carrés (pseudo-inverse) 2 Oui

3 Moindres carrés (pseudo-inverse) 3 Non

3 Moindres carrés couplés MCCI 4 Oui

3 Moindres carrés couplés sur voisinage élargi MCCIE 5 Non

3 Corrections successives CS 2 Oui

3 Corrections successives sur voisinage élargi CSE 4 Non

(a) Mode propre réel (b) Apparition du mode instable lors de

la convection d’une gaussienne

Fig. 10.9.3: Exemple d’un mode instable pour la reconstruction de degré deux par la méthode CS sur le maillage de triangles numéro trois. La valeur propre de ce mode est réelle positive : λ = 0, 94518.

(2) Reconstruction des polynômes de degré deux par les méthodes MCCI et CS en dimension

deux : ces méthodes s’avèrent instables sur certains maillages de triangles où elles

donnent des valeurs de kRαk_L(2,∞) ^{nettement plus grandes que la reconstruction des} moindres carrés. Cette observation, qui correspond au résultat du théorème 10.6.7, suggère un lien entre les valeurs de kRαk_L(2,∞) ^{et l’apparition d’instabilités. La figure} 10.9.3 montre le résultat de la convection d’une fonction gaussienne par la méthode CS sur le maillage de triangles numéro trois avec une vitesse de convection c = (1, 0) : le mode instable apparaît au bout d’un certain temps car il est toujours présent dans la solution numérique. Sa croissance exponentielle conduit à l’arrêt du calcul. Sur des maillages hybrides, sur des maillages cartésiens et sur des maillages cartésiens déformés, ces méthodes sont stables.

(3) Reconstruction des polynômes de degré deux par les méthodes MCCIE et CSE sur des

voisinages élargis en dimension deux : ces méthodes de reconstruction sont stables dans

Tab. 10.9.5: Reconstruction de degré deux par la méthode des moindres carrés sur le deuxième voisinage en dimension trois : abscisse spectrale ω_J et statistiques de kRαk_L(2,∞)

maillage abscisse spectrale moyenne maximum 90ème centile tétraèdres 1 0.10622e-9 0.30011 0.91670 0.39174 tétraèdres 2 12.708 0.30903 1.5275 0.41208 tétraèdres 3 0.29960e-9 0.30021 2.0787 0.38466 tétraèdres 4 -0.26388e-10 0.30059 3.2774 0.38622 hybride 1 0.17447e-9 0.26283 0.90139 0.35064 hybride 2 0.11756e-9 0.28307 1.1724 0.39445 hybride 3 -0.46136e-9 0.25690 1.0797 0.35191 hybride 4 -0.23562e-9 0.26962 1.0959 0.38779

cartésien déformé 1 0.25041e-10 0.15156 0.20832 0.17452 cartésien déformé 2 -0.39756e-10 0.15247 0.21253 0.17467 cartésien déformé 3 -0.71528e-10 0.15301 0.21993 0.17564 cartésien déformé 4 -0.40058e-10 0.15390 0.22172 0.17678

Fig.10.9.4: Spectre instable pour la reconstruction des polynômes de degré deux par la méthode des moindres carrés sur le deuxième voisinage (maillage de tétraèdres numéro deux). Une valeur propre réelle positive est visible à droite de l’axe imaginaire.

des méthodes MCCI et CS. Ce résultat démontre la pertinence de l’élargissement des voisinages de reconstruction et souligne à nouveau le lien entre les valeurs de kRαk_L(2,∞) et la stabilité.

(4) Reconstruction des polynômes de degré deux par la méthode des moindres carrés sur le

deuxième voisinage en dimension trois. Sur le deuxième voisinage, ce type d’opérateur

peut être instable sur des maillages de tétraèdres. Dans ce cas particulier, le maxi-mum de kRαk_L(2,∞) ^{peut devenir supérieur à 1. Le tableau 10.9.5 montre les abscisses} spectrales et les statistiques les plus importantes de kRαk_L(2,∞) ^{pour cette méthode de} reconstruction. La figure 10.9.4 montre le spectre instable pour le maillage de tétraèdres

10.9. ÉTUDE NUMÉRIQUE 165

Tab. 10.9.6: Reconstruction de degré deux par la méthode des moindres carrés sur le troisième voisinage en dimension trois : abscisse spectrale ω_J et statistiques de kRαk_L(2,∞)

maillage abscisse spectrale moyenne maximum 90ème centile

tétraèdres 1 0.26108e-9 0.10093 0.16102 0.12224

tétraèdres 2 -0.90014e-10 0.10345 0.24880 0.12631

tétraèdres 3 0.26784e-9 0.10026 0.21860 0.11935

tétraèdres 4 -0.18319e-9 0.10210 0.20339 0.12175

hybride 1 0.22848e-10 0.97704e-1 0.16284 0.11634 hybride 2 -0.18282e-9 0.98169e-1 0.21361 0.12321 hybride 3 -0.23332e-9 0.97287e-1 0.16045 0.12040 hybride 4 -0.21137e-10 0.97685e-1 0.20481 0.12385 cartésien déformé 1 0.58025e-10 0.68114e-1 0.94082e-1 0.77703e-1 cartésien déformé 2 -0.72853e-10 0.68504e-1 0.98941e-1 0.78130e-1 cartésien déformé 3 -0.11688e-9 0.68763e-1 0.97924e-1 0.78538e-1 cartésien déformé 4 -0.13138e-10 0.69083e-1 0.10249 0.79103e-1

Fig. 10.9.5: Spectre stable pour la reconstruction des polynômes de degré deux par la méthode des moindres carrés sur le troisième voisinage (maillage de tétraèdres numéro deux). La valeur propre instable de la figure 10.9.4 a disparu.

numéro 2. Un mode propre instable est visible à droite de l’axe imaginaire. Ce résul-tat numérique prouve que le deuxième voisinage est trop petit pour la reconstruction quadratique sur des tétraèdres.

(5) Reconstruction des polynômes de degré deux par la méthode des moindres carrés sur

le troisième voisinage en dimension trois. La reconstruction des moindres carrés sur le

troisième voisinage produit des valeurs de kRαk_L(2,∞) ^{inférieures à celles du deuxième} voisinage, ce qui correspond au résultat du théorème 10.6.9. En même temps, les tests ne révèlent aucune instabilité. Le tableau 10.9.6 montre les abscisses spectrales et les statistiques les plus importantes de kRαk_L(2,∞)^{pour cette méthode de reconstruction.La} figure 10.9.5 montre le spectre stable pour le maillage de tétraèdres numéro 2. Ce

résultat confirme l’idée que l’élargissement des voisinages de reconstruction est la bonne approche pour supprimer les instabilités.

(6) Reconstruction des polynômes de degré deux par les méthodes MCCI et CS en dimension trois. Sur des maillages de tétraèdres, les reconstructions par les méthodes MCCI et CS donnent systématiquement des schémas instables. Cela montre que ces méthodes doivent être remplacées par les méthodes MCCIE et CSE. L’instabilité de la méthode CS sur le deuxième voisinage en maillage de tétraèdres s’explique de manière qualitative par le théorème 10.6.7 : la méthode des moindres carrés est instable sur ce voisinage et d’après l’interprétation du résultat du théorème, si cette méthode est instable, alors les autres méthodes consistantes sont également instables. La situation est plus compliquée pour la méthode MCCI, car elle utilise de plus grands voisinages. La reconstruction par ces méthodes conduit à des valeurs de kRαk_L(2,∞) ^{qui sont sensiblement plus grandes} que celles engendrées par la méthode des moindres carrés, ce qui correspond au résultat du théorème 10.6.9.

(7) Reconstruction des polynômes de degré deux par les méthodes MCCIE et CSE sur un

voisinage élargi en dimension trois. Ces méthodes fournissent des valeurs de kRαk_L(2,∞) qui sont nettement inférieures à celles des méthodes MCCI et CS. En même temps, ces méthodes donnent des schémas stables dans tous les cas testés. Cette observation confirme l’hypothèse de l’existence d’une corrélation entre les valeurs de kRαk_L(2,∞) et l’apparition d’instabilités.

(8) Maillages cartésiens et maillages cartésiens déformés. Toutes les méthodes sont stables sur ces types de maillages.

(9) Influence du type de maillage sur la stabilité. Les résultats des tests laissent supposer que les instabilités émergent sur les maillages de triangles et de tétraèdres, dans le cas des méthodes MCCI et CS. La méthode des moindres carrés peut devenir instable pour la reconstruction sur le deuxième voisinage en maillage de tétraèdres, ce qui montre que ce voisinage est trop petit pour une reconstruction de degré deux en dimension trois. Les méthodes MCCIE et CSE sur des voisinages élargis s’avèrent toujours stables. Cela peut s’expliquer par le fait qu’elles utilisent de grands voisinages de reconstruction. (10) Nombre de modes instables. Le nombre de valeurs propres avec une partie réelle positive

est toujours assez petit, souvent moins d’un pourcent du nombre total des valeurs propres.

(11) Relation entre la matrice de reconstruction locale et la stabilité asymptotique. L’évidence numérique montre une forte corrélation entre les valeurs de kRαk_L(2,∞)et l’existence de valeurs propres instables. Ces valeurs propres apparaissent uniquement sur des maillages où certaines valeurs de kRαk_L(2,∞) ^{sont proches de ou supérieures à 1.}

Les conclusions de l’étude numérique sont les suivantes :

– pour les schémas basés sur une reconstruction de degré deux, qui sont donc formellement d’ordre trois, les modes propres instables ressemblent beaucoup à ceux des schémas d’ordre deux, car ces modes apparaissent uniquement sur des maillages de tétraèdres et de triangles et leur nombre est très petit ;

– on constate que la reconstruction des moindres carrés est stable, sauf en maillage de tétraèdres sur le deuxième voisinage. Il est donc nécessaire d’utiliser cette méthode sur le troisième voisinage en maillages de tétraèdres ;

– les méthodes MCCI et CS ne peuvent pas être utilisées telles quelles sur les maillages de triangles et de tétraèdres ; elles doivent être remplacées par les méthodes MCCIE et CSE qui s’avèrent stables partout.