Notion de maillage non structuré général

Son évaluation en un point x ∈ Rd est  D^(j)v  x  i1···ij , ^{∂jv (x)} ∂x_i1· · · ∂xij .

Avec cette notation, le développement de Taylor de la fonction v à l’ordre k en x₀ s’écrit

v (x) = k X j=0 1 j! ^D (j)u  x0• (x − x0)^j+ O h^k+1 . (5.2.30)

L’équation (5.2.30) utilise les notations D⁽ⁿ⁾u  x0 • (x − x0)ⁿ= D⁽ⁿ⁾u  x0• [(x − x0) ⊗ · · · ⊗ (x − x0)] = = d X i1=1 · · · d X in=1 ∂^ju (x0) ∂x_i1· · · ∂xin (xi1 − x0,i1) · · · (xin− x0,in) (5.2.31)

ainsi que la convention

D⁽⁰⁾u 

x0• (x − x0)⁰, u (x0) . (5.2.32) – L’intégrale d’une fonction intégrable v sur un volume Ω ⊆ Rd est notée

Z

Ω

v (x) dx où dx désigne la mesure de Lebesgue de Rd.

– L’intégrale de surface de v sur le bord ∂Ω de Ω est notée Z

∂Ω

v (x) dσ où dσ désigne l’élément surface de ∂Ω.

5.3. Notion de maillage non structuré général

L’objet du présent travail est la discrétisation de lois de conservation hyperboliques ∂_tu (x, t) + ∇ · f (u (x, t)) = 0 , x ∈ Ω ⊂ R^d, t ≥ t0

sur maillage non structuré général où Ω est le domaine de calcul et d = 1, 2, 3 est la dimension de l’espace. Le premier pas pour résoudre cette loi de conservation sur ordinateur consiste à découper le domaine physique en N polyèdres généraux

Ω =

N

[

α=1

Tα.

Les polyèdres sont supposés disjoints dans le sens que le d-volume de leur intersection est zéro. Des polyèdres adjacents partagent donc des sommets. En trois dimensions, ils peuvent également avoir des arêtes communes. Dans la suite, ces polyèdres seront appelés cellules ou mailles. Les cellules sont numérotées par des lettres grecques afin de conserver les lettres latines pour d’autres besoins d’indexation. Le symbole Tα désigne la cellule numéro α. Son barycentre est défini par

x_α, 1 |Tα|

Z

Tα

xdx et son d-volume est noté |Tα|.

Les méthodes numériques développées dans les chapitres suivants sont conçues pour fournir de meilleures approximations lorsque le diamètre des cellules diminue. Pour caractériser la réso-lution du maillage, il est utile d’introduire le diamètre du maillage, noté h, comme le diamètre maximal des cellules

h, sup

α

sup

x,y∈Tα

La face entre les cellules Tα et Tβ est appelée Aαβ. Cette face est orientée de la cellule Tα

vers la cellule Tβ et la face orientée en sens inverse est appelée Aβα. Le barycentre de la face Aαβ est appelé x_αβ. Il coïncide avec le barycentre de la face Aβα, x_αβ = x_βα. Chaque face Aαβ

possède un vecteur surface aαβ qui a la même orientation que Aαβ.

Il est nécessaire de donner une définition plus précise des faces. La cellule Tα est délimitée par les faces Aαβ qui la séparent de ses voisines immédiates. En dimension deux, deux cellules adjacentes partagent exactement deux sommets du maillage et la face entre les deux cellules est définie comme le segment joignant ces deux sommets. En dimension trois, il peut arriver que les sommets partagés par deux cellules ne soient pas coplanaires. Pour tenir compte de ce cas, il est nécessaire d’introduire une définition plus générale de face entre deux cellules. La définition s’appuie sur l’ensemble des sommets partagés par les deux cellules adjacentes Tα et Tβ. Cet ensemble est noté {v1, . . . , v_l} et supposé ordonné tel que les segments {v1v₂, v2v₃, . . . , v_lv₁} forment un contour fermé. On note vl+1 , v1 pour faciliter l’écriture. Le choix d’un point arbitraire p permet de définir une face A′

αβ comme la réunion des l triangles A⁽ⁱ⁾_αβ = pv_iv_i+1. La relation  A′ αβ   (x_{αβ − p) =}^Z A′ αβ (x − p) dσ = l X i=1 Z A⁽ⁱ⁾αβ (x − p) dσ = l X i=1   A⁽ⁱ⁾αβ   ¹₃[(vi− p) + (vi+1− p)]

relie le point p, les sommets et le barycentre x_αβ de A′

αβ. Le choix x_αβ = p donne une équation implicite pour x_αβ qui est

l X i=1   A⁽ⁱ⁾αβ   ¹₃[(v_i− xαβ) + (v_i+1− xαβ)] = 0 .

Elle peut être résolue itérativement pour x_αβ. La face résultante Aαβ est l’union des l triangles A⁽ⁱ⁾_αβ = x_αβv_iv_i+1. Pour des faces planes, comme par exemple les faces triangulaires de tétraèdres ou les faces de parallélépipèdes, cette définition des faces coïncide avec la définition habituelle.

Une définition alternative d’une face existe pour le cas spécifique de quatre sommets qui ne sont pas situés dans le même plan [20]. Dans cette situation, si {v1v₂, v₂v₃, v₃v₄, v₄v₁} sont les quatre segments formant le contour de la face, il est possible de définir une face comme la réunion des deux triangles v1v₂v₄ et v3v₂v₄ ou comme réunion des deux triangles v2v₁v₃ et v₄v₁v₃.

On souhaite ensuite définir une notion univoque de vecteur surface associé à chaque face. Pour rappel, en dimension deux, la face Aαβ est définie comme un segment de droite. Le vecteur surface a_αβ de la face est dans ce cas un vecteur perpendiculaire à ce segment. Il est orienté de la cellule Tα vers la cellule Tβ et sa longueur est égale à la longueur de la face. En dimension trois, il est possible de définir un vecteur surface pour chaque face qui ne dépend que du contour formé par les sommets {v1, . . . , v_l}. Soient A′

αβ et A′′

αβ deux choix différents pour la face entre les cellules Tα et Tβ. Selon la définition donnée dans le paragraphe ci-dessus, les deux faces sont alors délimitées par le même contour qui est noté ∂Aαβ. Dans ce cas, l’union des deux faces est une surface fermée qui délimite un d-volume fermé appelé Bαβ. Les deux faces ont la même orientation et leurs normales unitaires pointent de la cellule Tα vers la cellule Tβ. On peut supposer que la normale de A′

αβ pointe vers l’extérieur de Bαβ et celle de A′′

αβ vers l’intérieur de Bαβ. Sous la condition d’une régularité suffisante des deux surfaces, l’application du théorème de Green à une fonction constante implique

Z A′ αβ ν(x) dσ − Z A′′ αβ ν(x) dσ = Z Bαβ ∇ (1) dx = 0 . ^(5.3.2)

Dans (5.3.2), ν (x) est le vecteur normal unitaire dans chaque point x de la face et dσ et dx désignent respectivement l’élément de surface et l’élément de d-volume. Le signe négatif dans l’intégrale sur A′′

5.3. NOTION DE MAILLAGE NON STRUCTURÉ GÉNÉRAL 45

Fig. 5.3.1: Notations en maillage non structuré

pour cette face. Cette relation prouve que la définition du vecteur surface par a_αβ ,

Z

Aαβ

ν(x) dσ (5.3.3)

dépend uniquement du contour ∂Aαβ formé par les sommets de la face.

Les vecteurs surface de Aαβ et de Aβα sont de directions opposées et obéissent donc à la relation

a_αβ = −aβα. (5.3.4)

La définition des faces et de leur vecteur surface implique que kaαβk ≤

Z

Aαβ

dσ = |Aαβ|

avec égalité si la face est plane. Le symbole ν_αβ désigne le vecteur normal unitaire de la face Aαβ

ν_αβ , kaαβk⁻¹a_αβ. (5.3.5)

Enfin, pour la définition des méthodes numériques, il est utile d’introduire les vecteurs géo-métriques h_αβ et k_αβ définis par

h_αβ , xβ− xα; pour toutes les cellules Tα, Tβ (5.3.6) k_αβ , xαβ− xα; pour toutes les cellules adjacentes Tα, Tβ. (5.3.7) Le vecteur j_αβ est la projection orthogonale de kαβ sur hαβ

j_αβ , ^{hαβ · kαβ}

khαβk^{2 hαβ. (5.3.8)}

Le vecteur b_αβ est défini par b_αβ , kαβ− jαβ. La figure 5.3.1 montre ces notations à l’aide de deux cellules en maillage non structuré bidimensionnel. Elle permet d’illustrer les relations

h_αβ = k_αβ− kβα (5.3.9)

h_αβ = j_αβ − jβα (5.3.10)