Résultats numériques

On va présenter des résultats d’expériences menées par des stagiaires : Samuel Groyer, Marine Goret et Matthias Rocher, élèves ingénieurs de l’École Nationale de la Météoro-logie. Le but est de mettre en évidence le fait que les observations contiennent bien une information sur les structures de remontée d’échelle dans le cas de phénomènes de vents turbulents. Pour cela on reprend le modèle que l’on avait introduit chapitre 1 section 4.

Ils ont mené deux expériences : la première consiste à traiter chaque point d’observa-tion indépendamment des autres, la seconde les traitant tous en même temps. Pour cela on se place dans un cadre en 2 dimensions avec un domaine rectangulaire. Les données sont fournies à l’aide d’un générateur de champ de vents développé au CNRM et appelé Meso-NH (voir [43]). On considère que ces données vont représenter la réalité et on va gé-nérer des observations en ajoutant des bruits Gaussiens centrés et indépendants en chaque point de grille.

Pour la première expérience ils ont donc pavé le domaine avec un ensemble de boites, c’est-à-dire de sous-domaines rectangulaires, de manière à ce que chaque sous-domaine ne contienne qu’un seul pont de grille. Ils ont alors traité les données séparément pour chaque point de grille. Dans chaque sous-domaine, à la manière de notre expérience pour un ané-momètre sonique dans le chapitre 1, ils ont utilisé un système de particules conditionnées à ce sous-domaine pour filtrer les observations.

Figure 3.23 – Représentation graphique des systèmes de particules pour l’expérience avec les observations indépendantes

Comme on l’a vu dans notre expérience, on sait que, pour chaque point de grille, la reconstruction du processus de vent sera bonne. Ce qui nous intéresse sont les structures de plus petite échelle. On va donc présenter les résultats sur l’énergie cinétique turbulente (TKE), qui représentent la répartition locale de l’énergie.

temps : 35 0 0.08 0.16 0.24 0.32 temps : 40 0 0.08 0.16 0.24 0.32 temps : 42 0 0.08 0.16 0.24 0.32 (a) (b) (c)

Figure 3.24 – Représentation graphique de la TKE dans le cas où l’on considère les observations comme indépendantes. (a) t = 35, (b) t = 40 et (c) t = 42

On ne distingue pas de structure dans la distribution de la TKE. On voit que certaines zones sont plus turbulentes que d’autres mais il ne semble pas y avoir de relations entre les différents pas de temps. Bien qu’on soit en mesure d’estimer la TKE, on ne met aucune cohérence d’un point de vue global. C’est assez logique puisque l’on a choisi de traiter séparément chaque point de grille. On a ainsi été limité dans la reconstruction aux limites imposées par le théorème de Shannon.

Le deuxième expérience, toujours dans le même cadre, ressemble plus à notre expé-rience dans le cas de données LIDAR en 1 dimension. Ils ont noyé le domaine de particules. L’ensemble de la zone est alors considéré comme une grande boite où les particules peuvent évoluer. Elles sont tout de même conditionnées à rester dans le domaine.

Figure 3.25 – Représentation graphique du système de particules pour l’expérience avec le champ noyé de particules

Bien que l’évolution soit globale, le rééchantillonnge des particules se fait de manière locale. A chaque pas de temps on découpe le domaine en sous-domaines comme dans l’expérience précédente. On fait alors l’étape de sélection de manière indépendante dans chacune de ces boites. Le changement par rapport à l’expérience précédente est que le fait de laisser les particules évoluer dans tout le domaine va permettre de déplacer des structures d’une observation vers une autre. On espère ainsi pouvoir estimer plus préci-sément les phénomènes de petite échelle, en passant la limite imposée par le théorème de Shannon. On obtient les résultats suivants.

0 0.077 0.15 0.23 0.31 0 0.077 0.15 0.23 0.31 0 0.077 0.15 0.23 0.31 (a) (b) (c)

Figure 3.26 – Représentation graphique de la TKE dans le cas où l’on considère le domaine dans son ensemble. (a) t = 35, (b) t = 40 et (c) t = 42

Dans ce cas de figure là, on voit clairement que l’algorithme a été capable de dégager des structures dans la TKE. On voit ainsi des zones avec une forte turbulence et d’autres avec une turbulence plus faible. On voit de plus que l’énergie est déplacée par le vent au cours du temps, ce qui signifie que les phénomènes turbulents ont été transportés au cours du temps. On parle d’advection de structures turbulentes.

Ces expériences ont donc mis en valeur le fait que les observations contiennent des informations sur les remontées d’échelles. On a vu que ces informations sont contenues

dans les interactions entre les observations. A partir du moment où l’on souhaite prendre en compte l’influence des phénomènes de petite échelle, on ne peut alors plus considérer les observations comme indépendantes. L’algorithme que nous avons développé apprend donc les corrélations entre les observations ce qui lui permet d’estimer les remontées d’échelles et de réduire la dimension effective du problème.

On sait, dans le domaine de la météorologie, que d’autres processus peuvent être trans-porté par le vent. Dans notre cas on s’intéressera aux concentrations de particules. De manière générale, de tels processus seront appelés des traceurs passifs, au sens où ils sont transportés par le vent mais ne l’influencent pas directement. Ces traceurs passifs seront advectés par le vent de la même façon que les phénomènes turbulents. On va mainte-nant étudier l’impact d’ajout d’observations de traceurs passifs dans le but d’améliorer l’estimation des corrélations entre les points de grille.

“Une erreur originale vaut mieux qu’une vérité banale.” Fiodor Dostoïevski (1821 – 1881)

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Application à l’observation de traceurs passifs

Dans la partie application de cette thèse, on veut mettre en place un algorithme permettant de traiter des données d’une combinaison de LIDAR Doppler et aérosols. On veut, à partir de ces mesures, être capable de reconstruire le champ de vent continu alors que nos mesures sont discrètes. Le LIDAR Doppler mesure la vitesse du vent en chaque point de grille, ce qui correspond au champ que l’on considère. On a donc déjà développé un algorithme permettant de traiter des données de LIDAR Doppler. On veut maintenant trouver un moyen d’inclure les données de LIDAR aérosol dans notre algorithme.

Le LIDAR aérosol mesure la concentration de l’atmosphère en un certain type d’aé-rosol. Tout comme le LIDAR Doppler, ses mesures sont prises sur une grille. A priori, la concentration en aérosols en chaque point de grille n’apporte pas directement d’infor-mation sur le vent dans la zone. Cependant, comme on l’a vu dans la dernière section du chapitre précédent, le vent peut advecter des structures de petite échelle. De la même manière, on va pouvoir advecter les concentrations en aérosols. On pourra ainsi avoir des informations plus précises sur les corrélations entre les différents points de grille. Les concentrations se comportent donc comme des traceurs passifs du champ de vent, c’est-à-dire qu’ils n’influencent pas le processus de vent mais donnent des informations dessus (voir [52] et [51]).

Le but de ce chapitre est donc d’introduire l’utilisation de traceurs passifs dans l’al-gorithme du chapitre précédent. Pour cela on va dans un premier temps introduire les équations des traceurs passifs que nous utiliserons dans le cas de la reconstruction du champ de vent. Cela nous donnera une idée de ce que l’introduction de traceurs passifs peut entraîner sur le filtre basé sur la novation. On exploitera cela pour reprendre entière-ment le formalisme développé dans le chapitre précédent sur le filtrage avec un sous-espace aveugle. On pourra ainsi réécrire notre algorithme dans ce nouveau cadre. On conclura

en donnant des résultats numériques dans un cas de champ de vent en 2 dimensions.

4.1 Équations d’évolution pour un traceur passif du

vent : la concentration

On va développer un modèle pour l’évolution des concentrations dans le cas de vents turbulents. Notre but final est de pouvoir tester l’algorithme que l’on va développer dans la suite de ce chapitre. Les modèles de la littérature ne sont pas adaptés à notre méthodologie. En effet, ils sont développés pour être couplés à un modèle météorologique Eulérien. Notre objectif est d’avoir un modèle pratique, semblable au modèle Lagrangien pour les vitesses, et reposant sur des considérations physiques simples. Dans ce travail d’écriture du modèle pour nos simulations, nous n’avons pas cherché à faire de la validation expérimentale ou à qualifier le modèle au regard de ce qui existe dans la littérature. On va procéder comme pour le modèle du vent du chapitre 1. En effet les concentrations sont des traceurs passifs du vent, il paraît donc normal que la dynamique des concentrations soit proche de celle du vent.

On va partir d’une équation physique semblable à celle du vent ([65],[62],[49],[76]). Comme pour celle du vent, elle correspond à la diffusion de la dérivée Lagrangienne au cours du temps. On considère donc un champ Eulérien de vitesses U_t,z, à divergence nulle (cas Navier-Stokes incompressible) et un champ Eulérien de concentrations γ_t,z où t représente le temps et z la position. En exprimant le fait que l’évolution des concentrations ne se fait qu’à travers une diffusion, on a l’équation :

∂

∂t^{γt,z+ ∇(Ut,z.γt,x) = ∇(κ∇γt,z)}

où l’opérateur ^∂

∂t^{+ ∇(Ut,z.) correspondant à la dérivée Lagrangienne du processus, aussi}

notée ^D

Dt^{, et ∇(κ∇) à une diffusion turbulente. κ est le paramètre de diffusion.}

On reprend les notations et équations que l’on a étudiées dans la sous-section 1.4.1. Ainsi, à partir du champ Eulérien, on dispose de processus Lagrangiens de la forme

X_n=       Z_n

V_n = U_n,Zn^{. Vn,Zn est la vitesse Lagrangienne de la particule suivant le mouvement}

Z_n imposé par le champ de vitesse Eulérien U_n,z. On sait d’après ce que l’on a vu que l’on dispose d’un modèle bien posé pour X_n qui est un processus de Markov. On souhaite augmenter le vecteur d’état en ajoutant la concentration Lagrangienne Θ_n = γ_n,Zn. On

obtient alors le vecteur X_n =

      X_n Θ_n= γ_n,Zn ⁼          Z_n V_n(Z_n) Θ_n(Z_n) .

un modèle pour X_n. On a alors le système :                                  Z₀ = z₀ , V₀(Z₀) = v₀ , Θ₀(Z₀) = θ₀ ∀n > 0, Z_n= Z_n−1+ V_n−1∆t_n ∀n > 0, V_n(Z_n) = V_n−1(Z_n−1) − ∇_z < p >_n−1,Zn−1 ∆t_n −^1 2 ⁺ 3 4^C0  _n−1 k_n−1 h V_n−1(Z_n−1)− < V >_n−1,Zn−1 ⁱ∆t_n+^qC₀_n−1 ∆W_n^V ∀n > 0, Θ_n(Z_n) = Θ_n−1(Z_n) − ∇^V_n−1(Z_n−1)Θ_n−1(Z_n−1)^∆t_n+^qC₀_n−1∆W_n^Θ où on a repris la forme de la diffusion turbulente du vent. Le problème est que la concen-tration Θ_n−1(Z_n) dans cette équation correspond à la concentration au point Z_nau temps

n − 1. A priori, la particule se déplaçant suivant le vent, elle ne se situait pas à cet endroit

au pas de temps précédent. Étant donné que l’on étudie un processus, on ne s’intéresse pas à une réalisation mais à sa loi. Il faut donc mettre en place une moyenne locale autour de ce point pour pouvoir estimer la valeur de la concentration.

On va noter cet opérateur de moyenne locale

Y 

∆_zΘ_n−1(Z_n, Z_n−1)^= E^β

Θ_n−1(Z_n) − Θ_n−1(Z_n−1)

Zn− Zn−1



où β est un noyau de régularisation locale. Dans la suite on fera une moyenne locale pour l’estimer de la même façon que pour estimer la moyenne Eulérienne dans le chapitre 1. La seule différence est qu’ici on calcule la moyenne en un point où l’on ne dispose pas de particule. Cependant, comme on est dans une configuration d’évolution Lagrangienne, on sait que, la zone étant noyée de particules, on aura des candidats proches pour calculer notre moyenne locale.

On transforme alors notre modèle en Θ_n(Z_n) = Θ_n−1(Z_n−1) | {z } valeur initiale +^{Y }∆_zΘ_n−1(Z_n, Zn−1)^ | {z } gradient spatial − ∇z  Vn−1(Z_n−1)Θ_n−1(Z_n−1)^∆t_n | {z }

advection par la turbulence

+^qC0n−1∆W_n^Θ

| {z }

diffusion turbulente

On voit alors que le modèle est bien posé en ajoutant la concentration puisqu’il n’est pas anticipatif et n’utilise que des informations disponibles dans le modèle que l’on a développé pour Xn.

Le terme Θ_n−1(Z_n−1) est la valeur du processus au pas de temps précédent. Le second terme ^{Y }∆_zΘ_n−1(Z_n, Z_n−1)^ se calcule comme on l’a vu à l’aide d’une moyenne locale pondérée par une Gaussienne par exemple. Le dernier terme ^qC₀_n−1∆W_n^Θ est repris de l’évolution du processus V_n, le vent turbulent Lagrangien. Le bruit WΘ

n est un mouvement brownien avec la même fonction de covariance que WX

n , le bruit de l’évolution du vent. Enfin ∇_z^V_n−1(Z_n−1)Θ_n−1(Z_n−1)^∆t_n est le terme qui permet au vent d’imposer sa

dy-namique aux concentrations. Pour éviter qu’il inclut la diffusion turbulente du vent, déjà contenue dans le terme précédent, on va lisser son influence en faisant aussi une moyenne locale. Cette moyenne correspondra exactement à ce que l’on avait fait pour approximer la moyenne Eulérienne.

On voit alors que le modèle d’évolution des concentrations nécessite deux commandes :

V_n et _n. Le processus X_n contient V_n. De plus le modèle que l’on a mis en place pour la dynamique de (Z_n, V_n) apprend la dissipation de l’énergie turbulente _n. Le modèle est donc fermé, au sens où on ne fait pas intervenir de paramètre extérieur au système.

On remarque en outre que le processus X_n est un processus de Markov. En effet X_n, comme on l’a vu dans le chapitre 1, est un processus de Markov et la dynamique de la concentration ne fait intervenir que des éléments de X_n−1. Le processus X_n, étant un processus de Markov avec un modèle bien posé, on va pouvoir le filtrer. Pour cela on va utiliser le système de filtrage du vent auquel on ajoute le modèle pour la dynamique de la concentration.                                                                Z₀ = z₀ , V₀(Z₀) = v₀ , Θ₀(Z₀) = θ₀ ∀n > 0, Zn= Z_n−1+ V_n−1∆t_n ∀n > 0, V_n= V_n−1+ E[∆Vn] −^1 2 ⁺ 3 4^C0  _n−1 kn−1 h V_n−1− < V >_n−1,Zn−1 ⁱ∆t_n +^qC₀_n−1 ∆W_n^V ∀n > 0, Θ_n(Z_n) = Θ_n−1+^{Y }∆_zΘ_n−1(Z_n, Z_n−1)^− ∇^V_n−1Θ_n−1^∆t_n+^qC₀_n−1∆W_n^Θ ∀n > 0, _n−1= ^{V ar(∆Vn)} C₀∆t_n k_n−1 =< V_n−1² − < V >2 n−1,Zn−1>_n−1,Zn−1

On a ainsi donné un modèle pour la concentration, le traceur passif du vent turbu-lent. Il faut maintenant étudier la manière dont on peut inclure un traceur passif dans notre théorie du filtrage non-linéaire. Le but est de pouvoir adapter notre algorithme et d’améliorer ainsi l’estimation du vent.