Présentation du problème

On suppose que l’on dispose d’un milieu continu et d’une grille d’observation, c’est-à-dire d’un ensemble de points situés dans un compact du milieu. Les observations, dans notre cas, seront la vitesse du vent radial en ce point et éventuellement la concentration de l’air en un certain aérosol. A priori, dès que l’on dispose d’une observation, il est possible d’établir un filtre pour estimer la loi du processus en ce point sous condition de connaître la dynamique du processus en ce point. Or dans le cas où les différents points de la grille sont corrélés pour le processus observé, la dynamique d’un point ne peut plus être traitée séparément. La dynamique du processus doit, dans ce cas, être considéré dans

son entièreté, ou du moins sur le compact qui contient la grille, avec des conditions au bord.

Il faut noter que l’étude des corrélations des points d’une grille n’est pas très dé-veloppée. En effet il existe des méthodes comme le Krigeage, ou l’utilisation de cova-riogramme, qui les supposent connues pour pouvoir reconstruire le processus. D’autres méthodes consistent à les chercher de manière empirique comme dans le 3D-Var. Cepen-dant il n’existe pas de méthode pour les estimer proprement. Dans [37], il est clairement mis en évidence le fait que la connaissance de ces corrélations permettrait de simplifier la création de filtres pour traiter des données sur une grille plongée dans un milieu continu. Pour fixer les idées, on va choisir de voir ces corrélations comme des covariances spatio-temporelles entre les différents points de grille. On va considérer un processus (X_n,K)_n≥0 définit sur une grille K ⊂ Zd compacte. On dénote pour a ∈ K, X_n,a la valeur du proces-sus au temps n et au point a. La grille K est plongée dans un milieu continu (K ⊂ Rd). On suppose que l’on dispose de l’équation de la version continue du processus X_n,K. Pour le faire évoluer au cours du temps on utilise donc une discrétisation de sa dyna-mique continue. L’équation d’évolution du processus au cours du temps prendra la forme suivante

X_n,K = F_n(X_n−1,K) + f_n(X_n−1,K)

où (Fn)nsont les fonctions qui donne la dynamique dans le milieu continu et (fn)nsont les erreurs de discrétisation. On a supposé que le processus était Markovien pour simplifier le problème.

On prend maintenant deux points a, b ∈ K quelconques de la grille. On peut établir la covariance spatiotemporelle ou structure de X_n,K entre les temps n − 1 et n et les points

a et b.

< Xn,aXn,b > = <^Fn(X_n−1,a) + f_n(X_n−1,a)^Fn(X_n−1,b) + f_n(X_n−1,b)^>

= < F_n(X_n−1,a)F_n(X_n−1,b) > | {z } S_n−1^Fn (a,b) + < f_n(X_n−1,a)f_n(X_n−1,b) > | {z } S^fn_n−1(a,b) + < F_n(X_n−1,a)f_n(X_n−1,b) > | {z } SK→ n−1(a,b) + < f_n(X_n−1,a)F_n(X_n−1,b) > | {z } S^→K_n,n+1(a,b) avec — S^Fn

n−1 la structure du processus continu du pas de temps n − 1 au pas de temps n, — S^fn

n−1 la structure de l’erreur de discrétisation entre les temps n − 1 et n,

— S_n−1^K→ la structure du processus sur la grille qui retourne dans le milieu continu, entre les temps n − 1 et n

— S_n−1^→K la structure du processus continu projeté sur la grille entre les temps n − 1 et n.

la somme

Sn(a, b) = S^Fn

n−1(a, b) + S^fn

n−1(a, b) + S_n−1^K→(a, b) + S_n−1^→K(a, b)

Il apparaît qu’une partie de ces structures pourra être mise en évidence sur la grille, tandis que d’autres représentent des phénomènes de taille inférieure, dits sous-maille. Typiquement la structure de l’erreur de discrétisation est un terme qui correspond aux phénomènes sous-maille, alors que les termes SK→

n−1, S_n−1^→K correspondent à une interac-tion entre le processus sur la grille et les phénomènes sous-maille. On dira que le terme

S_n−1^→K(a, b) correspond à une remontée d’échelle, c’est-à-dire à une influence des phéno-mènes sous-maille sur le processus sur la grille, et réciproquement le terme SK→

n−1(a, b) sera appelé descente d’échelle car il transporte des structures sur la grille vers le milieu continu. De manière générale, l’erreur de discrétisation est un terme inconnu. Il existe différentes méthodes pour l’approcher à partir de la dynamique continue (le schéma d’Euler par exemple). Le problème est que pour être appliquées, ces méthodes nécessitent de connaître la forme de cette erreur de discrétisation, comme par exemple sa structure. Or justement dans notre cadre on souhaite les estimer. Une autre technique généralement employée dans l’étude des processus sur grille correspond à considérer ces structures comme du bruit. On remplace alors S^fn

n−1(a, b) + SK→

n−1(a, b) + S_n−1^→K(a, b) par une matrice de covariance ΣU

associée à un bruit centré U dont on connaît la distribution, souvent Gaussienne. Dans ce cas on a à la fois imposé une structure pour l’erreur de discrétisation, mais on a aussi négligé l’influence que peuvent avoir les phénomènes sous-maille sur la grille d’observation. On ne pourra pas, dans notre cadre faire cette hypothèse, mais on va cependant s’en inspirer.

Pour cela il faut savoir exactement ce que l’on souhaite apprendre. A priori, si l’on dispose de la dynamique, la structure S^Fn

n−1(a, b) sera connue. La covariance S^fn

n−1(a, b) quant à elle ne concerne que des processus sous-maille, il est donc impossible que les observations sur la grille puissent contenir des informations dessus. Le terme SK→

n−1(a, b) représente des structures sur grille qui disparaissent sous la maille. Bien qu’il soit pos-sible dans certains cas que ce terme soit identifiable, il ne sera pas utile pour filtrer les observations sur la grille puisque l’information qu’il pourrait apporter au pas de temps

n ne sera pas retranscrite dans les observations de ce pas de temps. Enfin le terme de

remontée d’échelle S_n−1^→K(a, b) correspond à l’influence des phénomènes sous-maille sur la grille. Il représente exactement ce qu’il nous manque pour connaître la dynamique sur la grille d’observation. C’est donc lui que l’on va chercher à estimer. On va donc réécrire

S_n(a, b) = S^Fn

n−1(a, b) + S_n−1^→K(a, b) + Σ^U

où ΣU, comme dans l’exemple précédent, est la matrice de covariance d’un bruit centré U dont on connaît la distribution. On a rangé dans cette matrice les structures que l’on ne veut ou ne peut pas estimer. On sait, d’après le théorème de Shannon que, à chaque pas de temps, on ne pourra pas obtenir des informations d’échelle inférieure à la résolution de la grille. On verra que pour pouvoir obtenir des informations sur les phénomènes sous-maille, il faudra utiliser le transport de ces structures à travers la dynamique du

processus. Ce transport peut être mis en évidence sur la figure 1.4 qui représente des résultats numériques.

On vient d’expliquer avec les mains la problématique d’un point de vue des mathé-matiques. On voit donc l’importance du fait de considérer deux niveaux de processus, ou deux échelles : cela nous permettra de séparer tout d’abord les informations dont on dis-pose ou que l’on peut estimer de celles auxquelles nous n’aurons pas accès. Cela permettra aussi de pouvoir traiter la dynamique des deux parties du processus différemment. Il va maintenant falloir définir un cadre précis pour pouvoir expliciter proprement les équa-tions ainsi que les estimaéqua-tions que l’on souhaite faire. Il nous faut également un cadre dans lequel nous pourrons définir deux échelles de processus. Nous allons mettre en place le formalisme mathématique de ce que nous venons de voir dans la sous-section suivante.

0 0.077 0.15 0.23 0.31 0 0.077 0.15 0.23 0.31 0 0.077 0.15 0.23 0.31

Figure 1.4 – Illustration du transport des petites structures par le vent