1.4 Modèle de dynamique pour le filtrage du vent
1.4.1 Présentation du modèle
Notre problème physique porte sur l’étude du vent. Il y a de nombreux paramètres qui déterminent les caractéristiques du vent. Le processus principal que l’on va considérer est la vitesse du vent. Elle peut elle même être caractérisée à l’aide de plusieurs paramètres. On a déjà parlé de vents laminaires et de vents turbulents. La turbulence représente la désorganisation des particules en suspension dans l’air. Elle correspond au potentiel du vent à faire cascader l’énergie des grandes échelles vers les petites et réciproquement. La théorie qui régit les dynamiques du vent turbulent a été développée par Kolmogorov. En particulier il montre que le logarithme de l’énergie doit suivre une pente en -5/3, c’est la loi de Kolmogorov. Cette pente justifie les interactions entre les différentes échelles du processus.
Il existe 2 façons de décrire un fluide. La description Eulerienne, attachée à l’espace, et la description Lagrangienne. Les deux peuvent alors être liées.
— Eulerien : soit (t, z) ∈ [0, T ] × Rd, on note le champ Eulerien Ut,z = U (t, z) et pE t,z
la probabilité Eulerienne.
— Lagrangien : soit t ∈ [0, T ], un élément est caractérisé par sa position transportée par le flot. Alors Xt = (Zt, Vt) est la position de l’élément et le relevé du champ
Ut,Zt au point Zt : Vt= Ut,Zt. On note pL la probabilité Lagrangienne.
Le mouvement d’une particule Lagrangienne peut alors être représenté à travers l’intégrale de Stratonovich
Zt= z0+
Z t
0
Us,Zs ◦ dWs
avec le point de départ z0 et Wt un mouvement Brownien. On définit de plus la moyenne
< Q >t,z par
< Q >t,z=
Z
qt,zpEt,z(dq)
On peut caractériser localement la turbulence à partir de l’énergie turbulente (TKE) du processus et de son taux de dissipation (EDR). La TKE se calcule comme une variance d’énergie cinétique
K(z) = 1
2 < V
2− < V >2
t,z>t,z
où V représente le vent. Son taux de dissipation quand à lui s’écrit comme la dérivée de cette énergie
(z) =< ∂
∂zi(V − < V >t,z) ∂
∂zj(V − < V >t,z) >t,z
Le modèle dynamique que nous utiliserons a été mis en place par S. Pope dans [66]. Il caractérise la turbulence à l’aide des deux paramètres que l’on a définit précédemment et il suit la loi de Kolmogorov. Il permet de simuler des situations de vents turbulents, ce qui est notre cas. Il faut cependant noter qu’il n’est pas du tout adapter au change-ment entre régime laminaire et régime turbulent. Il donne la dynamique du processus de manière Lagrangienne, pour l’utiliser il faut donc remplir le domaine que nous étudions de particules. Nous verrons dans la suite comment simplifier cela d’un point de vue des
algorithmes. L’équation donné par ce modèle est Z0 = z0, V0 = v0 dZt= Vtdt dVt = −∇z < p >t,Zt dt −1 2+ 3 4C0 t kt h Vt− < V >t,Zt idt +qC0t dWt
où (Zt)t≥0 est la position de la particule, (Vt)t≥0 sa vitesse, p la pression atmosphérique, (t)t≥0 représente le taux de dissipation de l’énergie turbulente et (kt)t≥0 est l’énergie cinétique turbulente locale. (Wt)t≥0 est un processus Brownien stationnaire. La dérivation ∇z est une dérivation en espace et les < . >z signifie une moyenne Eulérienne au point
z. z0 et v0 sont la position et la vitesse initiale du processus. On trouve une explication détaillée permettant d’obtenir cette équation dans [8] et [9].
Comme dans le cas théorique, nous allons travailler avec une discrétisation temporelle du problème. En effet dans la suite, pour la partie filtrage, nous n’aurons des observations que de manière discontinue en temps. La manière la plus simple de les traiter sera donc d’avoir un algorithme lui aussi discret en temps. Les équations deviennent dans ce cas
Z0 = z0, V0 = v0 ∆Zn= Vn−1δn ∆Vn = −∇z < p >n−1,Zn−1 ∆tn−1 2+ 3 4C0 n−1 kn−1 h Vn−1− < V >n−1,Zn−1 i∆tn +qC0n−1 ∆Wn Les ∆ expriment une différenciation discrète, par exemple ∆Zn = Zn − Zn−1, et ∆tn le durée entre les pas de temps n − 1 et n. C0 est une constante calculée de manière empirique. On note que le bruit (Wn)n∈N étant Gaussien, stationnaire, à accroissements indépendants, on peut remplacer ses différences finies ∆Wn = Wn− Wn−1 par un autre processus Gaussien ( ˜Wn)n mutuellement indépendant. Pour simplifier les écritures, nous écrirons Wn au lieu de ˜Wn dans les équations.
Dans le cas de l’évolution temporelle, il est clair que la position du pas de temps suivant est, comme dans la mécanique classique, la position du pas de temps précédent au quel vient s’ajouter le mouvement effectué par la particule durant le laps de temps. L’équation qui régit l’évolution de la vitesse est elle moins claire. On va maintenant en décrire chacun des termes.
— Le premier terme −∇z < p >n−1,Zn−1 δn donne le champ moyen. C’est une fonction quasi constante en fonction de z. Il représente plus ou moins la partie non turbulente du processus et correspond au flux global sur le domaine considéré. — Le second terme1 2+ 3 4C0 n−1 kn−1 h
Vn−1− < V >n−1,Zn−1 i∆tnest celui qui décrit la turbulence du fluide. Le quotient n−1
kn−1
est la turbulence résiduelle au point où se situe la particule. Le terme Vn−1− < V >n−1,Zn−1 est la fluctuation du processus autour de sa valeur moyenne au point où se trouve la particule de fluide. C’est un écart de la vitesse de la particule à la vitesse moyenne. C’est le terme qui
caractérise la turbulence au sens où elle représente la dispersion des particules et les désorganise.
— Le dernier terme qC0n−1 Wn est lui aussi un terme de turbulence et correspond à la partie aléatoire du processus. Il permet lui aussi de désorganiser les particules et de les disperser.
On dispose maintenant d’un modèle permettant de générer une dynamique turbulente de manière Lagrangienne. Pour pouvoir l’utiliser il nous faut générer un ensemble de particules fluides pour remplir la zone que l’on souhaite étudier. Par exemple, pour générer une grille de données, il faudra remplir cette grille de particules de la manière suivante.
Points de grilles = données
Particules
Figure 1.8 – Système de particules pour simuler une grille de données de vent avec le modèle Lagrangien
Les particules seront constituées d’une position et d’une vitesse. La moyenne des vi-tesses des particules proches d’un point de grille permet d’avoir une estimation de la vitesse du vent en ce point de l’espace des sites.
La dynamique des particules est basée sur le système discret que l’on a vu précé-demment. Cependant on ne dispose pas a priori de ∇z < p >n−1,Zn−1 qui dépend de la pression, et surtout on ne dispose pas des paramètres turbulents n−1 et kn−1. Quand on fera de la simulation de processus, on leur donnera la forme que l’on souhaite. Quand on voudra faire du filtrage à l’aide de ce modèle, il faudra être capable de les apprendre. Pour cela on utilisera le système de particules.
Tout d’abord le terme de champ moyen An = −∇z < p >n−1,Zn peut être estimé simplement en prenant la dérive moyenne des particules. Si on dispose de N particules (Zi
n, Vi
n)i∈{1,..,N }, on peut calculer ce terme de la manière suivante :
An = 1 δn N X i=1 Vn−1i − Vi n−2
Pour cela on fait l’hypothèse que les variations de ce terme sont lentes, ce qui correspond à ce qui est observé dans la réalité. Il faut remarquer qu’il est impossible, à partir d’un système de particules comme on l’a défini, de calculer une moyenne Eulerienne. En effet, la probibilité de présence en un point d’une particule est nulle. On remplace donc cette moyenne ponctuelle par une moyenne locale. On pondère les particules proches du point considéré proportionnellement à leur distance au point, par exemple avec un poids de type Gaussien. On peut ainsi prouver le calcul de An en prenant l’espérance de l’équation d’évolution du vent. E[∆Vn] = −∇z < p >n−1,Zn−1 ∆tn−1 2+ 3 4C0 n−1 kn−1E Vn−1− < V >n−1,Zt ∆tn + q C0t E[Wn] = −∇z < p >n−1,Zn−1 ∆tn
car les accroissements du mouvement Brownien sont centrés.
De la même manière, on peut calculer le taux de dissipation de l’énergie cinétique turbulente. Pour cela on prend la variance de ∆Vn.
E h (∆Vn)2i = (−∇z < p >n−1,Zn−1 ∆tn)2 +E " 1 2+ 3 4C0 n−1 kn−1 h Vn−1− < V >n−1,Zn−1]∆tn 2# + C0n−1∆tn
Le premier terme correspond à E[∆Vn]2. De plus l’aléa étant contenu dans le bruit, le second terme, qui correspond à une variance, est nul. Il nous reste alors
n−1= V ar(∆Vn)
C0∆tn
ce qui nous permettra donc de calculer le taux de dissipation à partir des particules. Enfin on calcule l’énergie cinétique à l’aide des particules comme la variance de l’éner-gie cinétique
kn−1 =< Vn−12 − < V >2
n−1,Zn−1>n−1,Zn−1
Il s’agit ici encore d’une moyenne locale, c’est-à-dire pondérée par la distance des particules au point étudié.
On a ainsi mis en place un algorithme permettant de simuler et un autre permettant de filtrer, modulo le fait d’introduire une étape de filtrage, des données de vent sur une grille.
On va présenter des résultats pour mettre en évidence la capacité des procédés de filtrage, notamment les systèmes de particules (voir la présentation du filtre SMC dans le chapitre 2), dans le cas de l’étude du vent. Les résultats qui vont suivre ont été validés avant le début de ma thèse. Leur présentation permet de montrer au lecteur pourquoi nous pensons qu’il est possible, à l’aide des bonnes méthodes, et dans le cadre précis de notre étude, de "casser" la limite imposée par le théorème de Shannon.
filtre à particules avec notre modèle de dynamique du vent. On le fera sur des données simulées d’anémomètre sonique 3D. On détaillera ainsi notre algorithme de filtrage.
Dans un second temps on appliquera notre algorithme à des données réelles issues de la campagne BLLAST (Boundary Layer Late Afternoon) qui correspond à des données collectées dans la couche limite en fin d’après-midi à l’aide d’un LIDAR Doppler. On sait que l’on aura des vents turbulents, qui est le cas dans lequel se place notre étude. Ces données sont des données 1D. Comme il n’y a qu’une seule dimension, nous n’avons pas le problème du fait que les données LIDAR sont radiales.