Ilots de particules : SMC 2

Le filtre à îlots de particules est appelé SMC2 car il utilise deux niveaux de particules (SMC), voir [78], [79] et [40]. Le but est d’avoir un filtre similaire au IKF pour des cas où il n’y a pas de dynamique linéaire Gaussienne. La partie filtre de Kalman est donc remplacé par un filtre à particules. On aura alors deux niveaux de particules : des grosses particules qui échantillonnent le paramètre, appelées îles ou îlots, et qui contiennent cha-cune un système de particules qui échantillonnent la loi du processus cible. Comme dans le cas précédent, on ne dispose pas d’observation du paramètre mais uniquement d’une observation du processus. Il va donc falloir, comme pour IKF, trouver une méthode pour produire des poids représentant la qualité de la dynamique donnée par les paramètres.

La dynamique du processus (X_n)_n ne doit plus être linéaire et doit dépendre du pa-ramètre (θ_n)_n. Le paramètre quand à lui ne peut pas dépendre du processus. Les bruits peuvent ne pas être Gaussiens mais restent indépendants entre eux.

         X₀ = x₀, θ₀ = t₀ ∀n > 0, X_n = F_n,θn(X_n−1) + WX n ∀n > 0, θ_n= G_n(θ_n−1) + W_n^θ

où les fonctions de dynamique (F_n,θn)_n dépendent du paramètre et les bruits (WX n )_n et (Wθ

n)_n sont indépendants et centrés mais ne suivent pas nécessairement une loi normale. On initialise le système par le couple (x₀, t₀). L’observation de (X_n)_n est définie par l’équation suivante, pour n ∈ N,

Y_n = H(X_n) + V_N

où (H_n)_n sont les fonctions d’observation et les bruits (V_n)_n sont indépendants, centrés, éventuellement non Gaussiens. On ne va plus pouvoir se contenter d’estimer la moyenne et sa covariance pour obtenir la loi complète η_nde X_n. Les particules vont donc être un atout précieux car elles permettent, en suivant la méthode de Monte Carlo, d’échantillonner cette loi. On aura comme dans le cas du filtre SMC de meilleurs résultats en faisant augmenter le nombre de particules.

Le filtre va encore une fois se faire en 4 étapes : 2 pour le filtrage du paramètre et 2 pour le filtrage du processus. Les étapes vont se faire dans le même ordre que celles des deux filtres précédents : d’abord la prédiction des paramètres puis celle des processus, suivi du rééchantillonnage des îles puis de celui des particules. On initialise tout d’abord en deux temps : on échantillonne en premier le paramètre avec N1 îles θi

0, i ∈ {1, .., N1}, pour chaque paramètre on échantillonne alors la loi de X₀par un système de N2particules

X^θ0ⁱ,j

0 avec j ∈ {1, .., N2}. A chaque île est donc associé un paramètre θi

0 et les particules dans cette île sont les processus (X^θi0,j

loi empirique à chaque pas de temps n η^θin,N2 n = ¹ N2 N X j=1 δ X^θin,j n

suivant le principe de Monte Carlo, estimant la distribution η_n de X_n conditionnée au paramètre θi

n. Les objets que nous manipulerons seront les couples paramètre/mesure empirique associée (θi

n, ηθi n,N2

n ) pour n ∈ N et i ∈ {1, .., N1}. On peut alors appliquer les étapes du filtre dans l’ordre donné par la figure 2.6, de manière récursive pour obtenir une estimation à chaque pas de temps n.

Nous allons maintenant décrire les quatre étapes du filtre SMC2. On suppose que l’on a une estimation du couple (θ_n−1, η_n−1), n > 0, par des îles de particules (ˆθi

n−1, ˆη^θˆnⁱ,N2

n−1 ),

i ∈ {1, .., N1}, et un jeu de particules ( ˆXθ^ˆi_n,j

n )_j∈{1,..,N2}. On commence alors par prédire les nouveaux paramètres en utilisant l’équation d’évolution, indépendamment pour chaque île. Pour i ∈ {1, .., N1} on écrit

¯

θ_nⁱ = G_n(ˆθⁱ_n−1) + W_n^θ,i où le bruit Wθ,i

n suit la même loi que Wθ

n. La distribution et les particules restent inchan-gées durant cette étape.

(ˆθi n−1, ˆη^θˆ i n−1,N2 n−1 ) (¯θi n, ˆη^θˆ i n−1,N2 n−1 ) (¯θ_nⁱ, ¯η^θ¯in,N2 n ) (ˆθi n, ˜ηθ^ˆi n,N2 n ) (ˆθi n, ˆηθ^ˆi n,N2 n )

Prédiction des îles

Prédiction des particules

Sélection des îles Sélection

des particules

Figure 2.6 – Représentation de l’algorithme du filtre SMC²

Il faut ensuite prédire les nouvelles particules en utilisant les paramètres que l’on vient de faire évoluer. On va pour cela utiliser encore une fois la dynamique d’évolution imposée par les paramètres. Cette prédiction se fait de manière indépendante à l’intérieur de chaque île. On a donc pour i ∈ {1, .., N1} et j ∈ {1, .., N2},

¯ X^θ¯in,j n = F_n,¯θi n( ˆX^θˆ i n−1,j n−1 ) + W_n^X,i,j

où les bruits (W_n^X,i,j)_i∈{1,..,N1}, j∈{1,..,N2} sont indépendants et suivent la même loi que W_n^X. On reconstruit l’estimateur ¯η^θ¯nⁱ,N2 n = ¹ N2 N2 X j=1 δ_¯ X^θi¯n,j n de la loi.

pour chaque île grâce à ses particules. Pour i ∈ {1, .., N1} on a ˜ Ωⁱ_n = ¹ N2 N2 X j=1 ¯ ω_n^i,j

où les poids (¯ωi,j

n )_j∈{1,..,N2} sont les poids des particules dans l’île définis par ¯ω_n^i,j =

g_n(Y_n, ¯X^θ¯nⁱ,j

n ) où g_n est la fonction potentiel associée à l’observation Y_n. Dans le cas Gaus-sien on retrouve une forme similaire à celle du IKF ou du RBPF. On définit alors les poids renormalisés par Ωⁱ_n= ˜ Ωi n N1 P k=1 Ωk n

et on peut faire une étape de sélection des îles en utilisant ces poids, soit avec la méthode bootstrap  (ˆθ_nⁱ, ˜η^θˆin,N2 n ) ∼ N1 X k=1 Ω^k_nδ (¯θk n,¯η^θk¯n,N² n ) 

, soit avec la méthode génétique

 (ˆθ_nⁱ, ˜η^θˆin,N2 n ) ∼ Ωⁱ_nδ(¯θⁱ_n, ¯η^θ¯nⁱ,N2 n ) + (1 − Ωⁱ_n) N1 X k=1 Ω^k_nδ (¯θk n,¯η^θk¯n,N² n ) 

. On a ainsi rééchantillonner les paramètres ainsi que les distributions empiriques qui leurs sont associés. Il faut cependant noter que les systèmes de particules ont été préservés au sens où, quand une île est sélectionnée, on remplace non seulement le paramètre par sa nouvelle valeur mais les particules sont elles aussi recopiées. Cependant les particules ne sont pas modifiées à l’intérieur de l’île. La sélection des particules à l’intérieur de chaque île est l’étape suivante. Pour fixer les idées on va prendre un exemple : si l’ile 1 avec le couple (¯θ_n¹, ¯η^θ¯1n,N2

n ) et les particules ( ¯X^θ¯1n,j

n )_j∈{1,..,N2} est remplacée par l’île numéro 2, on aura (ˆθ_n¹, ˜η^θˆ1n,N2

n ) = (¯θ_n², ¯η^θ¯2n,N2

n ) et pour tout j ∈ {1, .., N2}, ˜X^θˆ1n,j

n = ¯X^θ¯n²,j

n , c’est-à-dire que le système de particules de l’île numéro 2 est recopié à l’identique.

Le rééchantillonnage des particules se fait indépendamment pour chacune des îles. On fixe donc un i ∈ {1, .., N1} et on prend des poids ayant la même forme que dans l’étape précédente

˜

ω_n^i,j = g_n(Y_n, ˜X^θˆin,j

n )

où la fonction g_n est la fonction potentiel associée à l’observation Y_n. Comme d’habitude on va utiliser les poids renormalisés

ω^i,j_n = ^ω˜ i,j n N2 P k=1 ˜ ωn^i,k

pour la phase de sélection. Comme dans les cas précédents les particules à l’intérieur de chaque île peuvent être rééchantillonnées soit avec une méthode bootstrap ( ˆX^θˆin,j

n ∼

N1

X

k=1

ω_n^i,kδ ˜X^θˆin,k

n ), soit avec la méthode génétique ( ˆX^θˆin,j

n ∼ ω_n^i,jδ ˜X^θˆin,j n +(1−ω^i,j_n ) N1 X k=1 ω^i,k_n δ ˜X^θˆin,k n ).

On a alors une nouvelle mesure empirique associée à ce nouveau jeu de particules ˆ η^θˆin,N2 n = ¹ N2 N2 X j=1 δ_ˆ X^θiˆn,j n

ce qui conclut la description des quatre étapes du filtre SMC2.

On a donc un filtre capable de donner une estimation de la distribution de (X_n)_n et de celle d’un paramètre (θ_n)_n qui donne la bonne dynamique pour le processus (X_n)_n. Comme dans le cas du IKF, on aura la vraie distribution du paramètre si les fonctions sont toutes injectives en fonction de (θ)_n. Si on a un problème dans lequel (θ_n)_nest connu, on se ramène au cas du filtre SMC vu dans la section précédente. Contrairement aux deux filtres présentés dans les sous-sections précédentes, celui-ci n’est pas équivalent au filtre de Kalman si on se replace dans le cas linéaire Gaussien simple. En effet, les particules, bien qu’ayant l’avantage de s’adapter très bien au cadre non linéaire, ne permettent pas d’obtenir l’optimalité du filtre de Kalman. Il faut donc faire attention au filtre que l’on choisi : le filtre SMC2 très général, fonctionne dans tous les cas énoncés précédemment mais donne une moins bonne estimation. Dans leurs cas respectifs, les filtres KF, RBPF et IKF sont optimaux. Pour tous les autres cas on choisira donc d’utiliser le filtre SMC2. Le filtre à plusieurs niveaux de particules a plusieurs limitations. La première que l’on vient de voir est qu’il n’est pas optimal dans les cas particuliers. Un autre problème est son manque de stabilité vis-à-vis des fonctions d’évolution et d’observation. En effet, moins l’estimation de (θ_n)_n sera bonne, moins celle de (η_n)_n le sera. Plus les fonctions seront régulières et donc la dynamique simple, plus l’estimation de ces processus sera simple. On se rend donc compte que dans des cas où l’on n’a pas assez de régularité, on risque d’avoir besoin d’un nombre élevé de particules. Ce qui nous conduit à la limite numérique des systèmes de particules. Bien que faciles à mettre en œuvre d’un point de vue algorithmique, le coût en temps des systèmes de particules est très élevé au niveau de la compilation. Diminuer le nombre de particules nécessaire pour avoir une bonne estimation à chaque niveau du filtre est donc un enjeu important de la théorie du filtrage. Enfin, la dernière limite du filtre à plusieurs niveaux de particules que l’on vient de présenter, tout comme le filtre IKF, est le fait que le paramètre ne peut pas dépendre du processus. La dépendance doit être univoque au risque de ne plus pouvoir enchaîner les 4 étapes de ces filtres. Le filtre RBPF n’a pas ce problème mais est restreint au cas très précis d’un processus à influence linéaire et d’un processus à influence non linéaire avec bruits Gaussiens.

On a finalement présenter les filtres qui semblaient les plus appropriés pour résoudre notre problème. Or comme on l’a vu dans le chapitre précédent, la dynamique des pro-cessus géophysiques est généralement non linéaire et éventuellement non Gaussienne. De plus les processus sur la grille et sous-maille s’influencent l’un l’autre suivant la loi de Kol-mogorov. On ne se trouve donc dans aucun des cas des filtres que l’on vient de présenter. On va donc devoir mettre en place un filtre permettant de traiter le problème posé dans le chapitre précédent. On va utiliser pour cela un outil qui estime, dans un cas où l’on peut poser le cadre du filtrage, la moyenne de processus. C’est un équivalent de l’estimation

de la moyenne du filtre de Kalman mais dans des cas non linéaires.