Résultats de notre algorithme

On va utiliser le même algorithme que dans la section précédente. Nous utiliserons un jeu de particules pour apprendre la pondération pour la fonction de coût et une minimi-sation variationnelle pour apprendre l’influence des phénomènes sous-maille. Il n’y a pas besoin de système de particules supplémentaire car la dynamique de shallow water est déterministe et ne dépend donc que des conditions initiales, si on exclut l’erreur modèle. Notre algorithme se fera donc en 3 étapes. On prendra un système contenant 50 particules, et chacune d’elles propose une version complète du champ et une pondération pour la fonction de coût.

— Mutation : on utilise la dynamique des équations de shallow water pour faire évoluer indépendamment les processus de chaque particule. Chaque particule prédit aussi une pondération pour sa fonction de coût.

— Minimisation variationnelle : chaque particule estime l’influence des perturbations de petite échelle sur son processus sur la grille.

observa-tions. Chaque particule contient un processus sur grille, on rééchantillonne donc les grilles en entier et non point par point.

On initialise les particules à l’aide de l’observation. On risque donc d’avoir du bruit à filtrer dans les premiers pas de temps.

On obtient alors les résultats suivants.

(a) (b)

(c) (d)

Figure 3.19 – Résultat de notre algorithme de filtrage sur la grille au cours du temps. (a) état initial (t = 1), (b) t = 10, (c) t = 25 et (d) t = 60

On voit tout d’abord que l’on a clairement débruité l’observation et obtenu un pro-cessus dont la dynamique semble la même que celle du propro-cessus réel. De plus on peut voir que l’on a été capable de reconstruire en partie l’influence des phénomènes de petite échelle. Pour mettre cela en évidence on va représenter côte à côte le processus réel, le processus sur la grille sans l’influence des perturbations sous-maille et le résultat de notre filtre.

(a) (b) (c)

Figure 3.20 – Etat des processus au temps t = 25. (a) le processus sans les perturbations sous-maille, (b) le processus réel sur la grille et (c) le résultat de notre algorithme

Il apparaît alors clairement que notre algorithme a été capable de récupérer, au moins en partie, l’influence des petites échelles. Comme dans les cas plus simples étudiés précé-demment on voit que nous avons tendance à sous-estimer les phénomènes de petite taille au profit du fait d’avoir une dynamique cohérente avec le modèle. Cependant on est bien en mesure de voir que les observations contenaient une vrai information qui était noyée dans le bruit. Pour vérifier si notre filtre suit bien la dynamique du processus à chaque point de grille, on va tracer la série temporelle du processus au cours du temps.

0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 0 0.2 0.4 0.6 0.1 0.3 0.5 0.05 0.15 0.25 0.35 0.45 0.55 (a) (b)

Figure 3.21 – (a) : champ montrant le point de grille où est prise la série temporelle. (b) série temporelle des différents processus en ce point de grille. Le processus réel est en noir, l’observation en bleu et le résultat de notre filtre en rouge

On voit que notre algorithme prend une forme qui correspond bien à la dynamique des équations de shallow water. Malgré le fait que l’on semble s’éloigner parfois du processus réel, il faut se rappeler que les seules informations dont dispose notre algorithme sont l’observation et le modèle qui ne prend pas en compte l’influence des processus sous-maille. Notre algorithme semble donc minimiser l’impact des phénomènes sous-maille

mais retrouve tout de même la dynamique du processus influencé par ces perturbations. On peut voir, en regardant l’énergie des processus, que notre algorithme retrouve en fait l’énergie qui correspond aux remontées d’échelle. Comme dans le chapitre 1, on va regarder les densités spectrales de puissance (DSP) des processus, qui représente leur énergie.

10⁻² 10⁻¹ 0 −60 −40 −20 −50 −30 −10 10⁻² 10⁻¹ 10⁰ 2.0x10⁰ −80 −60 −40 −20 −90 −70 −50 −30 (a) (b)

Figure 3.22 – (a) : DSP des processus sur la grille. (b) : DSP de l’influence des phéno-mènes sous-maille sur le processus sur la grille. Le processus réel est en noir, l’observation en bleu et le résultat de notre filtre en rouge

On voit donc que notre processus reconstruit bien l’énergie du processus sur la grille. L’observation ne ressemble qu’à du bruit blanc. A part les très grandes structures, on voit que l’énergie est noyée dans le bruit. Notre algorithme a pourtant très bien recons-truit l’énergie sur la grille. On voit aussi qu’il reconsrecons-truit aussi les grandes structures de l’influence des phénomènes de petite taille. Comme on l’avait prévu dans le chapitre 1, il reste une partie de ces perturbations qui reste inaccessible. On a cependant été en mesure d’en retrouver les piques d’énergies. Cela correspond aux perturbations qui vont pouvoir générer des remontées d’échelle. On a donc bien développé un algorithme qui permet de filtrer des observations sur une grille en utilisant le modèle sur la grille sans avoir une dé-rive due aux remontées d’échelle, puisque celles qui génèrent des perturbations de grande taille sont apprises.

Cette expérience a de nombreux points communs avec le problème initial de la thèse : le traitement de données LIDAR. Tout d’abord on a deux processus sur grille avec une influence qui provient de sous la maille. Comme dans le cas du LIDAR on n’observe qu’une partie des informations nécessaire à la reconstruction totale du processus. En effet, ici seul la hauteur d’eau en chaque point de grille est observé. On ne dispose pas d’observations des vitesses horizontales. Cependant, contrairement au cas du LIDAR, les données en chaque point de grille peuvent être comparées puisque que l’on observe partout une hauteur d’eau. Dans le cas du LIDAR, en chaque point de grille, on observe uniquement le vent dans la direction radiale et avec des angles différents.

de reconstruire l’influence des phénomènes sous-maille, mais il utilise aussi très peu de particules. En effet, comme on l’a dit, on n’utilise que 50 particules pour obtenir nos résultats. Hors notre problème contient 30 × 30 × 3 = 2700 dimensions. On sait que l’on se trouve dans un problème de grande dimension, ce qui est souvent le cas dans le cadre des grilles d’observations. Normalement dans ces cas là on considère les systèmes de particules trop coûteux pour pouvoir être utilisés. Cependant si notre système ne contient que 50 particules, d’un point de vue numérique, c’est un algorithme qui reste utilisable, même dans des cas plus complexes.

On va dans la suite expliquer en quoi notre algorithme est capable de réduire la dimension du problème dans le cadre des grilles d’observations.