4.2 Calcul d’agrégats polycristallins
4.2.6 Résultats des calculs
Dans cette section, nous présentons dans un premier temps les cartographies des champs de déplacements, de déformations et de contraintes dans l’agrégat. Ensuite, les observations multi-échelles du comportement polycristallin sont présentées pour montrer l’hétérogénéité à différentes échelles du matériau. Ces observations sont réalisées sur le résultat d’un seul calcul. Dans un deuxième temps, nous analysons les résultats des 40 calculs pour chacun des cas GF et GA afin de filtrer les données pour l’identification.
4.2.6.1 Cartographies des champs dans l’agrégat
La figure 4.5 présente les cartographies des champs de déplacements DY (déplacement dans le sens de la traction) et DX (déplacement dans le sens transverse) sur la géométrie déformée, ainsi que les champs de déformations εyy et εxx à 3, 5% de déformation
macroscopique (pseudo-instant N◦20 dans le trajet de chargement).
Figure 4.5 – Calcul d’agrégats polycristallins - Cartographies des champs de déplacements
DY (en haut à gauche), DX (en haut à droite) et de déformations εyy (en bas à
gauche), εxx (en bas à droite), au niveau de déformation macroscopique de 3, 5%
Nous observons bien que comme la taille de l’éprouvette est de 1000 × 1000, le niveau de déplacement suivant la direction Y est de 35 correspondant au niveau de déformation macroscopique de 3, 5%. De plus, comme l’origine O est fixée, le déplacement DX du côté gauche est plus faible que celui du côté droit. Cette forme déformée de l’éprouvette correspond bien aux conditions aux limites présentées à la section 4.2.4.
Cette figure montre également l’hétérogénéité des champs de déformations. Malgré la déformation macroscopique de 3, 5%, il existe des zones rouges du champ εyy de l’ordre
de 9%, ainsi que des zones bleues de l’ordre de −1%. Le champ εxx présente les mêmes
phénomènes que le champ εyy. Cette hétérogénéité des champs de déformations est dûe
aux différentes orientations cristallographiques des grains.
Nous présentons sur la figure 4.6, les cartographies des champs de contraintes σyy et σxx.
Cette figure montre également que les champs de contraintes ne sont pas homogènes. Nous observons bien les traits de joints de grains où la couleur change brusquement. Ce changement est dû aux différentes orientations cristallographiques des grains et représente l’hétérogénéité du champ. Nous observons également que les zones de fortes contraintes ne sont pas nécessairement celles de fortes déformations. Cela signifie que si les orientations cristallographiques favorisent la déformation plastique, le matériau peut se déformer dès un faible niveau de contrainte.
Figure 4.6 – Calcul d’agrégats polycristallins - Cartographies des champs de contraintes σyy
suivant la direction Y (à gauche) et σxx suivant la direction X (à droite) au niveau
de déformation macroscopique de 3, 5%
Nous observons sur la figure 4.8, les champs de déformation εyy et de contraintes σyy dans
les grains N◦51, N◦44, N◦54 dont les positions sont indiquées sur la figure 4.7. Cette figure montre également que même dans un grain, les champs de déformations et de contraintes ne sont pas homogènes. Malgré les orientations cristallographiques homogènes dans chaque grain, l’interaction entre les grains entraîne l’hétérogénéité des champs dans les grains. Ce phénomène sera retrouvé à la section suivant par les observations multi-échelles du comportement polycristallin.
Figure 4.7 – Calcul d’agrégats polycristallins - Positions des grains N◦51, N◦44, N◦54 dans l’agrégat
Figure 4.8 – Calcul d’agrégats polycristallins - Cartographies des champs de déformation εyy
suivant la direction Y (à gauche) et de contraintes σyy suivant les directions
Y (à droite) dans les grains N◦51, N◦44, N◦54 au niveau de déformation macroscopique de 3, 5%
4.2.6.2 Observations multi-échelles du comportement polycristallin
Pour analyser les observations, nous définissons le tenseur de contraintes moyennes hσi et le tenseur de déformations moyennes hεi calculé dans un volume V par :
hσi = 1 V Z V σdV (4.4) hεi = 1 V Z V εdV (4.5)
A l’échelle macroscopique, le comportement moyen du matériau est représenté par la relation entre la déformation moyenne hεi, notée E et la contrainte moyenne hσi, notée Σ, déterminées sur tout agrégat V , i.e. la courbe (E, Σ). La figure 4.9 présente les comportements moyens macroscopiques suivant deux directions X et Y . Nous observons bien que la contrainte moyenne Σxx suivant la direction X est nulle. Cela correspond aux
conditions aux limites de traction uniaxiale utilisées.
0.0 0.5 1.0 1.5 2.0 2.5 3.0 3.5 Eyy(%) 100 0 100 200 300 400 500 600 700 800 yy (M Pa ) Direction X Direction Y
Figure 4.9 – Calcul d’agrégats polycristallins - Comportement moyen sur l’agrégat suivant deux directions X et Y : (Eyy, Σxx) et (Eyy, Σyy)
A l’échelle mésoscopique, i.e. au niveau des grains, le comportement moyen est représenté par la relation entre la déformation moyenne hεi et la contrainte moyenne hσi, déterminées sur chaque grain, i.e. la courbe (hεi , hσi). La figure 4.10 présente le comportement moyen de chaque grain de l’agrégat.
0 200 400 600 800 1000 1200 < yy>(MPa) 300 200 100 0 100 200 300 < xx > (M Pa ) 0 1 2 3 4 5 6 7 8 <yy>(%) 0 200 400 600 800 1000 1200 < yy > (M Pa )
Figure 4.10 – Calcul d’agrégats polycristallins - Comportement moyen de chaque grain suivant la directions X à gauche et suivant la direction Y à droite : (hσyyi , hσxxi)
Nous observons bien que le comportement dans les grains diffère tant dans le domaine élastique que dans le domaine plastique. Cette différence est causée par la différence d’orientations cristallographiques entre les grains. La dispersion du comportement dans les grains augmente avec le niveau de déformation macroscopique. D’autre part, tandis que la contrainte moyenne Σxxcalculée sur tout l’agrégat est nulle, ce n’est pas le cas pour
celles calculées sur chaque grain hσxxi. Mais comme Σxx est nulle, la dispersion de hσxxi
est symétrique par rapport à l’axe X. Cette observation représente la première échelle d’hétérogénéité du matériau.
A l’échelle microscopique, i.e. au niveau de chaque point dans l’agrégat, la relation (ε, σ) représente l’hétérogénéité du champ de contraintes dans un grain, e.g. grain N◦44 dont la position est présentée sur la figure 4.11. La figure 4.12 présente les valeurs de contraintes σxx et σyy en tous les nœuds du grain, pour différents niveaux de déformation
macroscopique Eyy = {0, 12%; 0, 63%; 1, 18%; 1, 92%; 3, 49%}.
Figure 4.11 – Calcul d’agrégats polycristallins - Position du grain N◦44 dans l’agrégat
Figure 4.12 – Calcul d’agrégats polycristallins - Hétérogénéité des champs à l’intérieur du grain N◦44 pour différents niveaux de déformation macroscopique Eyy = {0, 12%; 0, 63%; 1, 18%; 1, 92%; 3, 49%} : (εxx, σxx) à gauche et (εyy, σyy) à
Sur la figure 4.12, les différents niveaux de déformation macroscopique sont présentés dans la légende. Les traits verticaux présentent les niveaux de déformation moyenne hεyyi ≡ Eyy
calculée sur le grain. On observe que pour chaque niveau de déformation, le nuage de points est bien réparti autour de la courbe moyenne. La dispersion du nuage augmente avec le niveau de déformation. De plus, au niveau de 0, 12% de déformation macroscopique (dans le domaine d’élasticité), les valeurs des contraintes en tous les points sont peu dispersées du fait du comportement élastique cubique du matériau (si l’on avait choisi un comportement élastique isotrope, il n’y aurait aucune dispersion dans cette zone de la courbe).
La figure 4.12 montre également deux échelles d’hétérogénéité du matériau polycristallin. Par exemple, au niveau de 0, 63% de déformation macroscopique Eyy, tandis que la
déformation moyenne hεyyi dans le grain N◦44 porte la valeur de 0, 76%, la déformation εyy
en un point de ce grain peut atteindre une valeur d’environ 1%. Nous observons le même phénomène pour les autres niveaux de Eyy, pour le champ de contraintes ainsi que dans
la direction X. La différence entre ces valeurs augmente avec le niveau de déformation macroscopique Eyy.
4.2.6.3 Évaluation des résultats
Comme la microstructure du matériau dans notre travail est construite de façon complètement aléatoire, cette étape d’évaluation des résultats a pour but d’éliminer les calculs dont le comportement est particulièrement différent par rapport aux autres. Nous proposons une évaluation à l’échelle mésoscopique, i.e. sur le comportement moyen dans chaque grain.
Pour chaque calcul, nous calculons les contraintes et les déformations moyennes hσyyii
et hεyyii (i = 1, . . . , 100) des 100 grains au niveau de déformation macroscopique Eyy = 3, 5%. Parmi celles-ci, nous trouvons la contrainte moyenne maximale hσyyimax et
minimale hσyyimin, ainsi que la déformation maximale hεyyimax et minimale hεyyimin. Nous
calculons ensuite les différences ∆σyy = hσyyimax− hσyyimin et ∆εyy = hεyyimax− hεyyimin
et les traçons en fonction du numéro de calculs. La figure 4.13 présente ces courbes de dispersion de contrainte et de déformation des calculs pour les deux cas GF et GA.
0 5 10 15 20 25 30 35 40 N 400 500 600 700 800 900 1000 yy (M Pa ) GF GA 0 5 10 15 20 25 30 35 40 N 4 5 6 7 8 9 10 11 yy (%) GF GA
Figure 4.13 – Calcul d’agrégats polycristallins - Dispersion de contrainte (à gauche) et de déformation (à droite) des calculs
Cette observation est un moyen simple pour évaluer les résultats des calculs polycristallins. Comme les agrégats sont générés aléatoirement, il peut exister des grains particuliers dont le comportement moyen est singulier par rapport aux autres à cause de leur taille ou de leur orientation cristallographique particulière. Cette observation nous permet de repérer des tels calculs. Par exemple, sur la figure 4.13, nous observons bien que tandis que la dispersion de déformation n’a rien de particulier, le calcul numéro 24 du cas GF présente un pic particulier.
La figure 4.14 présente les comportements moyens dans tous les grains de ce calcul. Nous observons bien un comportement moyen particulier d’un grain par rapport aux autres. Dans ce cas, la géométrie est fixée, mais seul le comportement moyen dans ce grain du calcul numéro 24 est particulier, tandis que ce n’est pas le cas pour les autres. Dès lors, ce comportement particulier est clairement dû aux orientations cristallographiques qui favorisent la déformation plastique. Un tel comportement peut exister en réalité. Nous gardons donc ce résultat pour la suite.
0 200 400 600 800 1000 1200 1400 < yy>(MPa) 300 200 100 0 100 200 300 < xx > (M Pa ) 0 1 2 3 4 5 6 7 8 <yy>(%) 0 200 400 600 800 1000 1200 1400 < yy > (M Pa )
Figure 4.14 – Calcul d’agrégats polycristallins - Comportement moyen des grains du calcul
N◦24 du cas de géométrie fixe
La figure 4.15 présente les comportements moyens déterminés pour chacun des 40 calculs polycristallins dans les deux cas GF et GA. Nous observons bien que les parties élastiques sont superposées. Cela signifie que le VER est suffisamment représentatif pour l’élasticité cubique. Cependant, les parties plastiques sont encore dispersées. L’écart maximale des contraintes moyennes est de l’ordre de 10% par rapport à la contrainte moyenne maximale. Mais comme nous avons à disposition 40 calculs pour chacun des cas GF et GA, nous pouvons estimer la moyenne de ceux-ci. La courbe moyenne (Eyy, Σ) avec
Σ = (Σ1+ ... + Σ40) /40, ainsi que l’intervalle de confiance à 95% de cette estimation
définie par Σ ± 1, 96σΣ sont présentées sur la figure 4.16 (où σΣ est l’écart-type des
40 valeurs Σi). Celle-ci montre bien une bonne estimation avec un faible intervalle de
confiance. Cela signifie que malgré la dispersion des comportements moyens, avec 40 calculs polycristallins, la taille du VER de 100 grains est suffisante, au moins pour le cas 2D.
Figure 4.15 – Calcul d’agrégats polycristallins - 40 comportements moyens du cas GF à gauche et du cas GA à droite
Figure 4.16 – Calcul d’agrégats polycristallins - Estimation du comportement moyen à partir des 40 calculs et l’intervalle de confiance correspondant : cas GF à gauche et cas GA à droite