Modélisation d’agrégats

La modélisation de la microstructure se compose généralement de trois étapes principales. La première concerne la construction de la structure de grains (structure d’agrégats). La deuxième consiste à modéliser les orientations cristallographiques dans les grains de l’agrégat. Enfin, la troisième a pour but de prendre en compte l’effet des précipités dans la modélisation. Comme les précipités ne sont pas pris en compte dans notre travail, nous ne présentons dans ce qui suit que les deux premières étapes.

4.2.1.1 Construction de la structure d’agrégats

Pour ce qui est la base de caractérisation et de reproduction des microstructures du matériau, on peut se reporter à Jeulin et Ostoja-Starzewski (2001). On présente ici certaines approches communes souvent utilisées dans la littérature pour construire la structure d’agrégat.

• Utilisation d’une géométrie simplifiée : les grains sont représentés sous forme d’éléments ou d’assemblage d’éléments de formes carrées ou hexagonales.

• Utilisation d’observations expérimentales de la microstructure : les grains, les paquets de lattes et les orientations cristallographiques sont déduites des résultats expérimentaux.

La figure 4.1 présente les agrégats générés par ces trois approches.

Figure 4.1 – Calcul d’agrégats polycristallins - Modélisation de structure d’agrégat de gauche à droite : géométrie simplifiée (Rezaee,2011), observation expérimentale (Libert,

2007) et diagramme de Voronï (Osipov,2007)

La première approche est utilisée dans plusieurs travaux. Barbe et al. (2001) et Mathieu et al.(2010) créent ab initio un maillage d’éléments carrés. Ensuite, ils associent à chaque élément le numéro de grains auquel il appartient. Dès lors, les grains sont représentés sous forme d’assemblage d’éléments carrés. De son côté, Rezaee (2011) modélise la microstructure avec des grains hexagonaux. L’avantage de cette approche est la génération simplifiée du maillage. Le nombre d’éléments ne dépend pas de la microstructure. Cette approche, comme le montre Barbe et al. (2001) est satisfaisante pour l’identification de la loi de comportement globale de l’agrégat. Mais elle présente des faiblesses dans la prédiction de l’hétérogénéité intra-granulaire.

Libert (2007); Libert et al. (2011) utilisent dans leurs travaux les observations EBSD pour modéliser la microstructure de l’acier 16MND5. Cette approche nécessite un logiciel de traitement des images d’observation pour récupérer les coordonnées des points, ainsi que les orientations cristallographiques. La modélisation est proche la réalité. Mais des difficultés apparaissent dans la modélisation 3D et dans le cas où l’on veut générer un certain nombre de microstructures aléatoires.

Osipov (2007) utilise dans son travail la troisième approche en se référant à des observations expérimentales. Il utilise la méthode d’analyse de la microstructure par la covariance (Jeulin et Ostoja-Starzewski, 2001) pour calculer des caractéristiques de la morphologie de l’agrégat simulé. L’agrégat final est créé en s’accordant à la référence par un algorithme itératif. Cette méthode présente une certaine facilité de mise en œuvre grâce à l’utilisation des outils numériques disponibles sans perdre les caractéristiques de la microstructure observée.

Kouchmeshky et Zabaras (2010); Li et al. (2010) dans leurs travaux récents, proposent une technique de réduction de dimension pour construire la microstructure aléatoire d’agrégats polycristallins. Il s’agit de reconstruire la microstructure du matériau à partir d’un tirage de la distribution des tailles de grains et d’un tirage des orientations cristallographiques. La taille des grains est tirée selon la densité de probabilité estimée à partir des observations expérimentales, tandis que les orientations cristallographiques sont modélisées par un développement en série de Karhunen-Loève. Cette méthode présente

l’avantage de bien représenter les propriétés statistiques observées de la microstructure du matériau. Cependant, la mise en œuvre de celle-ci est difficile à cause de l’utilisation d’outils mathématiques complexe pour la réduction de dimension.

Dans notre travail, l’objectif est de modéliser le comportement local du matériau pour mettre en œuvre l’Approche Locale de la rupture. Dès lors, l’utilisation d’un agrégat simplifié n’est pas convenable. D’autre part, l’utilisation directe des observations expérimentales ne nous permet de créer qu’un seul agrégat pour chaque observation, tandis que nous voudrions modéliser la variabilité de la microstructure, i.e. au moins une trentaine d’agrégats différents. Aussi dans ce travail, le modèle de polyèdre de Voronoï (Gilbert, 1962) est utilisé pour la construction des agrégats avec l’aide de l’algorithme Quickhull (Bradford Barber et al., 1996).

Il est clair que l’agrégat simulé doit bien représenter les caractéristiques observées de la microstructure du matériau et qu’un algorithme itératif comme celui présenté dans Osipov (2007) est nécessaire pour chaque simulation de l’agrégat. Dans le cas où l’on considère l’agrégat simulé comme étant représentatif d’un échantillon observé de matériau, un tel algorithme semble indispensable. Cependant dans notre cas, la microstructure est considérée comme aléatoire. La construction des agrégats avec une seule observation expérimentale serait arbitraire. Un certain nombre d’observations expérimentales de la microstructure serait alors nécessaire pour estimer ses propriétés statistiques représentatives, ce qui serait très couteux.

Dès lors, dans ce travail, nous supposons que l’agrégat du matériau est complètement aléatoire. Nous générons tout d’abord une distribution aléatoire de centres des grains. Ensuite l’agrégat est simulé par l’algorithme Quickhull en prenant les centres des grains comme étant les données. Aucune contrainte n’intervient dans cette simulation. Les agrégats sont évalués via les observations du comportement (i.e. relation contrainte- déformation) moyen déterminé pour tout l’éprouvette et pour chaque grain. Les agrégats dont le comportement est fortement différent par rapport aux autres sont éliminés de l’analyse. La figure 4.2 présente un agrégat de 100 grains en 2D.

Figure 4.2 – Calcul d’agrégats polycristallins - Modélisation de structure d’agrégat de l’acier 16MND5 en 2D (taille : 1000 × 1000, nombre de grains : 100)

4.2.1.2 Orientations cristallographiques

Les orientations cristallographiques sont considérées constantes dans chaque grain et varient aléatoirement d’un grain à l’autre. Dans la modélisation numérique, celles-ci sont représentées par les angles d’Euler (ϕ1, Φ, ϕ2)(Fig. 4.3) constituant une texture isotrope.

Afin d’être isotrope, les angles d’Euler sont tirés selon des lois uniformes avec les propriétés suivantes :

ϕ1 ∼ U (0, 360)

ϕ2 ∼ U (0, 360) (4.1)

cos Φ ∼ U (−1, 1)

Ces angles sont assignés à chaque point d’intégration du grain correspondant. Sur la figure 4.2, les différentes couleurs des grains représentent leurs différentes orientations cristallographiques.

Figure 4.3 – Calcul d’agrégats polycristallins - Angles d’Euler