2.4.1
Introduction
Un champ aléatoire peut se voir comme un ensemble infini de variables aléatoires associées à chaque point de l’espace, ce qui pose des difficultés pratiques pour une modélisation numérique. La construction d’une approximation du champ aléatoire s’appuyant sur un ensemble dénombrable de variables aléatoires associées à un ensemble de points de l’espace est alors nécessaire. Cette approximation est construite en se basant sur une représentation particulière du champ parmi celles provoquées dans les sections précédentes. Plusieurs approches peuvent être envisagées :
• Discrétisation par point, où le champ aléatoire est représenté par N valeurs aux points {xi , i = 1, . . . , N } du domaine de définition.
• Discrétisation moyenne, où l’on divise le domaine en un ensemble d’éléments De. Le
champ est alors représenté par une valeur moyenne dans chaque élément.
• Développement en série, où le champ aléatoire est approximé par la troncature d’une série de produits de variables et de fonctions déterministes.
Dans cette section, nous présentons les méthodes de discrétisation par point et par développement en séries qui conduisent naturellement aux méthodes de simulation abordées dans la section suivante.
2.4.2
Discrétisation par point
Dans ce type de discrétisation, le domaine D est tout d’abord discrétisé par un maillage
{xi, i = 1, . . . , N }. Le champ est ensuite approximé en se basant sur ses valeurs H(xi)
aux nœuds ou sur celles aux centres des éléments du maillage. L’approche la plus simple est de considérer que le champ aléatoire H(x, ω) est directement représenté par le vecteur aléatoire X = {H(xi) , i = 1, . . . , N } contenant ses valeurs aux nœuds du maillage. Les
caractéristiques statistiques du champ sont celles de X . De façon similaire,Der Kiureghian et Ke(1988) proposent d’approximer le champ H(x, ω) par un vecteur aléatoire contenant ses valeurs aux centres des éléments du maillage. En pratique, le maillage est souvent une grille régulière. Pour bien représenter le champ, il faut que le maillage soit assez fin par rapport aux longueurs de corrélation dans chaque dimension (Sudret et Der Kiureghian, 2000).
La deuxième approche reprend l’idée de la méthode des éléments finis. Le champ dans chaque élément est approximé par ses valeurs aux nœuds du maillage avec les fonctions de forme. Il s’exprime sous la forme :
ˆ H(x, ω) = p X i=1 Ni(x)H(xi) x ∈ De (2.68)
où p est le nombre de nœuds de l’élément De et xi est la coordonnée du ieme nœud associé
à une fonction d’interpolation Ni. Cette approche approxime mieux le champ. Mais elle
demande également une finesse suffisante du maillage. Par ailleurs, sa mise en œuvre est compliquée puisqu’il faut disposer d’outils de maillage et d’interpolation typiquement utilisés pour un calcul aux éléments finis.
Une autre approche dite estimation linéaire optimale proposée par Li et Der Kiureghian (1993) prend l’approximation du champ aléatoire H(x, ω) comme une fonction linéaire du vecteur aléatoire X = {H(xi) , i = 1, . . . , N }. ˆ H(x, ω) = a(x) + N X i=1 bi(x)Xi = a(x) + bT(x)X (2.69)
où les fonctions a(x) et b(x) sont obtenues par la minimisation de la variance de l’estimation sous une contrainte de non biais :
Minimiser VhH(x, ω) − ˆH(x, ω)i ∀x ∈ Ω (2.70)
Avec EhH(x, ω) − ˆH(x, ω)i= 0 (2.71)
Cette approche conduit à des approximations plus performantes. Il suffit de disposer d’une grille de points régulièrement répartie dans le domaine D. Elle est reprise dans la méthode de simulation EOLE (Li et Der Kiureghian, 1993).
L’avantage de ce type de discrétisation est la facilité de mise en œuvre. Cependant, la nécessité de la finesse du maillage peut poser un problème de ressources informatiques en terme de mémoire. Une étude détaillée de la finesse nécessaire de la grille de points en fonction du type de fonction de covariance est présentée dansLi et Der Kiureghian (1993) et reprise dans Sudret et Der Kiureghian (2000).
2.4.3
Troncature du développement en série
Cette méthode s’appuie sur la représentation du champ aléatoire par un développement en série. Un développement général comme présenté en (2.45) est tronqué à un nombre r de termes. L’approximation du champ H(x, ω) s’écrit alors :
ˆ H(x, ω) = µ(x) + r X i=1 ξi(ω)ϕi(x) (2.72)
Dans le cas de la représentation de Karhunen-Loève (Eq. (2.50)), la troncature du développement s’écrit : ˆ H(x, ω) = µ(x) + r X i=1 q λiξi(ω)ϕi(x) (2.73)
La variance de l’erreur d’approximation s’écrit alors :
VhH(x, ω) − ˆH(x, ω)i= υ(x) − r X i=1 λiϕ2i(x) = V [H(x, ω)] − V h ˆ H(x, ω)i (2.74)
Par orthogonalité des fonctions propres {ϕi(x), i ∈ N}, on peut montrer que. Z D υ(x)dx = ∞ X i=1 λi (2.75)
Si, de plus, le champ est stationnaire, alors υ(x) ne dépend pas de x et l’intégrale précédente vaut υ |D|. Cette relation nous permet de définir rationnellement un critère de troncature. Pour une tolérance (erreur de discrétisation moyenne) , on va retenir un nombre de termes r tel que :
r X i=1 λi ≥ (1 − ) ∞ X i=1 λi = (1 − )υ |D| (2.76)
L’ordre de la troncature peut alors être fixé automatiquement une fois choisi (e.g. 10−2). En terme de temps de calcul, la discrétisation de Karhunen-Loève est optimale au sens où elle fournit la plus petite erreur quadratique parmi les séries du type (2.73) contenant r termes (Ghanem et Spanos,2003). Par ailleurs, les trajectoires générées par (2.73) sont de même continuité que les modes propres {ϕi(x), i = 1, . . . , r}. Cependant, la résolution
préliminaire de l’équation intégrale de Fredholm (Eq. (2.49)), dont on ne connaît que peu de solution analytiques, reste le problème principal dans le cas général.
2.4.4
Conclusion
La discrétisation des champs aléatoires est nécessaire pour leur manipulation et leur utilisation pratique. Au lieu de traiter un ensemble infini de variables aléatoires, nous travaillons avec un vecteur aléatoire de taille finie. La première approche basée sur une discrétisation spatiale du domaine D est simple à mettre en œuvre mais demande en général un nombre important de points. La difficulté principale associée à la deuxième approche est la résolution du problème aux valeurs propres de la décomposition de Karhunen-Loève. Dans la section suivante, nous présentons les méthodes de simulation de trajectoires qui utilisent respectivement ces différentes approches de discrétisation.