SIMULATION DE L’INSTRUMENT COMPLET
4.4 Résultats de simulation et étude comparative
Cette section présente les résultats de simulation pour le système complet (désigné par la couleur orange) basé sur le modèle d’écoulement 2D présenté en chapitre 2 et mis en forme dans la section 4.2. Afin de comparer les résultats à ceux de la littérature, nous effectuons en parallèle les mêmes simulations avec un système complet (désigné par la couleur bleu) identique au précédent, hormis pour l’écoulement qui est remplacé par un modèle classique, basé sur l’équation de Bernoulli stationnaire à une dimension dans sa forme passive (modèle M1D, cf. figure 2.10) présentée et utilisée dans la section 2.2. Les simulations sont faites avec la méthode directe d’ordre 2 présentée dans le section 3.3 avec une fréquence d’échantillonnage de 22050Hz.
Nous avons déjà pu constater que la demi-longueur du canal d’écoulement `0 est un paramètre sensible puisqu’il met en évidence les effets inertiels du modèle M2D. De plus, faire tendre `0 vers zéro rend le modèle M2D équivalent au système M1D. Ainsi, les si-mulations présentées ici sont basées sur les paramètres présentés en tableau 4.1 pour les configurations transverse et outward. La demi-longueur `0, la pression d’alimentation finale
Pmax (hors transitoire), la fréquence naturelle fn = 2π1 p
k/m et la masse de la lèvre m
seront les seuls paramètres modulés. Pour l’alimentation en air, nous choisissons un profil exponentiel avec une dérivée nulle en zéro et atteignant une valeur de 0.95Pmaxen tm = 0.01 seconde. Ce profil, représenté en figure 4.2, permet une attaque avec une dérivée continue et s’écrit :
PA(t) = Pmax(1 − (1 + 4.7439 t tm)e
−4.7439tmt
4.4. Résultats de simulation et étude comparative 129
Figure 4.2 – Profil d’attaque de pression d’alimentation pour Pmax= 4000P a.
Quantité Notation Transverse Outward
Masse volumique de l’air ρ0 1.204 Kg/m3
-Hauteur du canal référence h0 1 mm
-Longueur de la lèvre L0 15 mm
-Hauteur du canal à l’équilibre heq 1.5 mm
-Surface équivalente de lèvre gauche Al 25.98 mm2
-Surface équivalente de lèvre droite Ar 25.98 mm2 −103.92 mm2
Temps de monté pression d’alimentation tm 100 ms
-Coefficient de qualité de lèvre Q = √
km
a 7
-Table 4.1 – -Tableau des paramètres utilisées pour les simulations du système complet (Les paramètres sont compatibles avec une embouchure réelle de trombone).
4.4.1 Oscillation périodique et discontinuité
L’une des premières observations à faire lorsqu’on étudie un modèle d’instrument à vent, est sa capacité à générer une auto-oscillation périodique. Les résultats exposés ici sont issus de quatre expériences en configuration transverse :
1. (1) `0 = 0.002 m (Demi-longueur de canal), fn= 203 Hz (fréquence propre de lèvre),
m = 0.18 g (masse le la lèvre) et Pmax= 1.8 KPa (pression maximale d’alimentation), 2. (2) `0 = 0.002 m, fn= 200 Hz, m = 0.18 g et Pmax = 4 KPa.
3. (3) `0 = 0.005 m, fn= 190 Hz, m = 0.25 g et Pmax = 1 KPa, 4. (4) `0 = 0.005 m, fn= 190 Hz, m = 0.25 g et Pmax = 2 KPa.
Les figures 4.3 et 4.4 donnent les résultats de simulation après stabilisation de l’auto-oscillation (t ∈ [0.95s, 1s]). Les sous-figures (a), (b) et (c) sont, respectivement, la hauteur du canal h au cours du temps, la pression d’embouchure au cours du temps PR (cf. fi-gure 2.25) et l’amplitude du spectre en fréquence de la pression d’embouchure.
Les expériences (1) et (3) sont comparables à celles déjà présentées en section 2.2.6. En effet, elles génèrent des solutions auto-oscillantes périodiques sans fermeture du canal. Au contraire, les expériences (2) et (4) génèrent des solutions auto-oscillantes périodiques avec fermeture du canal. Les experiences (1) et (2) correspondent à un canal de faible longueur. Dans ce cas, on remarque qu’il y a peu de différence entre le modèle M2D utilisant un jet 2D et le modèle M1D utilisant un jet de type Bernoulli passif. Les experiences (3) et (4) correspondent à un canal long. Dans ce cas, pour l’experience sans fermeture (3), on observe un effet sur l’amplitude du signal. Cela est en adéquation avec les résultats présentés en chapitre 2.2.6. Lorsqu’il n’y a pas fermeture du canal, les non-linéarités s’expriment moins dans les résultats. En effet, la fermeture du canal est une non-linéarité qui modifie fortement le système puisque le modèle de jet n’est plus actif. De plus, comme nous l’avons déjà remarqué dans la section 2.2.6, l’action du modèle de jet M2D devient plus importante lorsque la longueur du canal est élevée, et lorsque sa hauteur est faible. Au moment de la fermeture, le fluide contenu dans le canal doit être éjecté, ce qui créer une "force de contre-fermeture de canal". Cet effet est particulièrement visible en figure 4.4(a3), lorsque la demi-longueur `0 est élevée. Dans ce cas, on voit une différence entre le modèle M2D et M1D aussi bien pour l’amplitude que pour la fréquence d’auto-oscillation.
4.4.2 Sélection des modes
Dans le paragraphe précédent, nous avons montré que le système simulé était capable d’auto-osciller de manière périodique. Nous avons notamment remarqué que les deux mo-dèles M1D et M2D donnaient, pour une longueur de canal faible, des résultats similaires au niveau des formes d’onde. Ici, nous nous questionnons sur la capacité plus globale des modèles à sélectionner les différents modes d’oscillation du résonateur pour une lèvre en configuration transverse ou outward. Pour ce faire, nous effectuons des points de mesures pour des fréquences naturelles de lèvres allant de fn = 50 Hz à fn = 500 Hz, pour des pas de 5 Hz, et avec une pression d’alimentation de Pmax = 4 KPa. Pour permettre les oscillations de la lèvre, nous diminuons sa masse en fonction de sa fréquence naturelle sui-vant la fonction m(fn) = 0.00005 + 0.00207e−0.00214fn pour la configuration transverse et
m(fn) = 0.00002 + 0.00148e−0.00214fn pour la configuration outward avec fnen Hertz. Pour chaque point de mesure, nous estimons la fréquence fondamentale du signal de pression d’embouchure obtenu. La figure 4.5 montrent les résultats pour la configuration transverse
4.4. Résultats de simulation et étude comparative 131
(a1) : Ouverture du canal
(b1) : Pression d’embouchure
(c1) : Amplitude du spectre de la pression d’embouchure
(a2) : Ouverture du canal
(b2) : Pression d’embouchure
(c2) : Amplitude du spectre de la pression d’embouchure
Figure 4.3 – Résultats de simulation : (Gauche) sans contact pour `0= 2mm, fn= 203Hz,
m = 0.18g et Pmax = 1.8KP a (Droite) avec contact pour `0 = 2mm, fn = 200Hz, m = 0.18g et Pmax = 4KP a. (a) Ouverture du canal (b) Pression d’embouchure (c) Amplitude du spectre de la pression d’embouchure.
(a3) : Ouverture du canal
(b3) : Pression d’embouchure
(c3) : Amplitude du spectre de la pression d’embouchure
(a4) : Ouverture du canal
(b4) : Pression d’embouchure
(c4) : Amplitude du spectre de la pression d’embouchure
Figure 4.4 – Résultats de simulation : (Gauche) sans contact pour `0 = 5mm, fn= 190Hz,
m = 0.25g et Pmax= 1KP a (Droite) avec contact pour `0 = 5mm, fn= 190Hz, m = 0.25g et Pmax = 2KP a. (a) Ouverture du canal (b) Pression d’embouchure (c) Amplitude du spectre de la pression d’embouchure.
4.4. Résultats de simulation et étude comparative 133 des longueurs de canal égales respectivement à `0 = 1mm, `0= 2.5mm et `0 = 5mm. Elles affichent la fréquence naturelle de lèvre en fonction de la fréquence de jeu, et les étoiles représentent les pics d’impédance du résonateur.
Configuration transverse `0 = 0.001 m Configuration transverse `0 = 0.0025 m Configuration transverse `0 = 0.005 m
Figure 4.5 – Sélection des modes pour la configuration transverse : Fréquence naturelle de lèvre en fonction de la fréquence de jeu. (a) `0 = 1 mm,(b) `0= 2.5 mm,(c) `0 = 5 mm.
Configuration outward `0 = 1 mm Configuration outward `0 = 1.5 mm Configuration outward `0 = 2 mm
Figure 4.6 – Sélection des modes pour la configuration outward : Fréquence naturelle de lèvre en fonction de la fréquence de jeu. (a) `0= 1 mm,(b) `0 = 1.5 mm,(c) `0= 2 mm.
4.4. Résultats de simulation et étude comparative 135 de jeu. La fréquence de jeu est, quant à elle, sur la partie inférieure du pic d’impédance correspondant au mode excité du résonateur.
Pour le modèle M1D, on observe que la fréquence naturelle de lèvre est en général sur la partie supérieure du pic d’impédance correspondant au mode excité du résonateur, hormis pour les 4 premiers pics. Ce comportement est d’autant plus visible pour les fréquences élevées et lorsque la longueur du canal est grande. Pour le modèle M2D, on observe pour une longueur de canal élevée, que les fréquences naturelles sont déplacées sur la partie supérieure du pic d’impédance pour les modes graves. On observe pour les deux modèles, une plus grande facilité à atteindre des modes aigus lorsque la demi-longueur de canal est élevée. Comme déjà vu précédemment, les deux modèles se différencient lorsque `0est élevé. Dans ce cas, on voit que les seuils de changement de modes de vibration sont décalés à des fréquences de jeu supérieures.
La figure 4.6 montrent les résultats pour la configuration outward, pour des longueurs de canal égales respectivement à `0 = 1mm, `0 = 1.5mm et `0 = 2mm. On voit que, dans ce cas, la fréquence naturelle de lèvre est inférieure à la fréquence de jeu, et que celle-ci est sur la partie supérieure du pic d’impédance correspondant au mode excité du résonateur. On remarque que pour une longueur élevée du canal, le modèle M2D ne permet plus de générer des notes aiguës.
4.4.3 Influence de la longueur du canal sur la hauteur de note et sur l’intensité
Comme nous l’avons déjà exprimé dans les sections précédentes, la différence entre les deux modèles M1D et M2D est plus marquée lorsque la demi-longueur du canal est grande, et lorsque la hauteur h est faible. Autrement dit, nous pouvons plus facilement observer des changements significatifs dans le comportement du modèle avec le jet à deux dimensions lorsqu’il y a fermeture du canal. Pour observer ces phénomènes, nous mesurons les fréquences de jeu et l’intensité du signal acoustique d’embouchure pour une fréquence naturelle de lèvre fixe fn= 250 Hz et pour une pression d’alimentation allant de 1 KPa à 10 KPa avec des pas de 0.1 KPa pour la configuration transverse. L’augmentation de pression permet d’approcher de manière progressive le point de seuil à partir duquel il y a contact entre la lèvre et la paroi fixe au cours des oscillations.
Les figures 4.7 (a), (b), et 4.8 (c) et (d) montrent les résultats pour des longueurs de canal égales respectivement à `0 = 1 mm, `0 = 2.5 mm, `0 = 3.5 mm et `0 = 5 mm. Le graphe supérieur de chaque figure présente la fréquence de jeu (fréquence fondamentale du signal de pression d’embouchure) en fonction de la pression maximale d’alimentation. Le deuxième graphe donne l’intensité du signal de pression d’embouchure (entrée du résonateur) en décibel SPL (20log10(
p <P2
R>
P0 )) en fonction de la pression maximale d’alimentation. Enfin, le dernier graphe indique si il y a contact lors de l’expérience.
Pour le modèle 1D, on remarque dans les quatre expériences (a-d) deux zones de fonc-tionnement distinctes. La première zone correspond aux pressions d’alimentation inférieures à celle de seuil de contact. L’intensité du signal acoustique de pression d’embouchure aug-mente rapidement avec la pression d’alimentation pendant que la fréquence de jeu diminue lentement. Lorsque le seuil de contact est atteint, la fréquence de jeu se stabilise pendant que l’intensité continue d’augmenter de manière beaucoup plus lente. La prise en compte du contact a donc un effet "stabilisant" sur la fréquence de jeu et l’intensité, rendant ces caractéristiques peu sensibles aux variations de pression d’alimentation1.
(a) `0 = 1 mm
(b) `0 = 2.5 mm
Figure 4.7 – Fréquence de jeu (haut), intensité acoustique dB SPL (centre) et indice de contact (bas) en fonction de la pression d’alimentation Pmax. (a) `0 = 1mm,(b) `0 = 2.5mm.
4.4. Résultats de simulation et étude comparative 137
(c) `0= 3.5 mm
(d) `0= 5 mm
Figure 4.8 – Fréquence de jeu (haut), intensité acoustique dB SPL (centre) et indice de contact (bas) en fonction de la pression d’alimentation Pmax.(c) `0 = 3.5mm,(d) `0 = 5mm.
Pour le modèle 2D, une troisième zone apparaît juste avant le seuil de contact. Dans cette zone, la fréquence de jeu continue à diminuer lentement alors que l’intensité atteint son plancher de lente montée. Ce décalage, entre le seuil de contact, et l’atteinte de l’intensité plancher, s’explique par la nature même du modèle d’écoulement 2D utilisé. En effet, ce modèle prend en compte la quantité de fluide contenu sous la lèvre. Lorsque le canal tend à se fermer, le fluide de l’écoulement doit être éjecté, ce qui crée une force dans le sens opposé à la fermeture. En d’autres termes, le jet empêche la fermeture du canal, et cela est d’autant plus vrai que la demi-longueur `0 est grande. Lorsque la pression d’alimentation est assez forte pour la fermeture, le seuil de contact est atteint. Cette dernière zone reste stabilisante dans le cas d’un `0 faible (< 2.5mm). Des variations fortes peuvent être observées dans l’estimation de la fréquence fondamentale dans les cas (c) et (d). Dans ces cas, l’expression des non-linéarités conduit à l’apparition d’oscillation apériodique et à des changements de mode vibratoire. Ce qui explique que la fréquence fondamentale ne peut plus être correctement mesurée.
4.4.4 Oscillations apériodiques
Comme nous l’avons vu dans la section précédente, le modèle 2D se différencie de celui à une dimension par sa capacité à générer des oscillations apériodiques pour une longueur de canal élevé. Les figures 4.9 gauche et droite montrent des résultats pour deux mesures d’oscillation apériodique dont la demi-longueur est `0= 3.5mm et dont les pressions d’ali-mentation sont respectivement Pmax = 5KP a et Pmax= 7KP a pour la configuration
trans-verse.
Ces figures montrent deux oscillations apériodiques. Ce phénomène apparaît lorsque la lèvre n’a pas suffisamment d’énergie pour fermer le canal à chaque oscillation. Dans ce cas, on voit que le système excite également les modes inférieurs du résonateur. On peut natu-rellement se questionner sur la capacité d’un système réel à générer ce type d’oscillation.
4.5 Conclusion
Dans ce travail, nous avons appliqué les développements présentés en chapitre 1, 2 et 3 pour simuler un instrument complet de type cuivre (un trombone dans ce cas particulier). Nous avons dans un premier temps montré les étapes de construction et de connexion particulières à ce système. Nous avons en particulier décrit la méthode de gestion des contacts et de la fermeture du canal qui conduit au modèle passif utilisé. Enfin, nous avons effectué un certain nombre de simulations afin de comprendre le fonctionnement du modèle, dans le but de le comparer à un système classique basé sur un modèle de jet de type Bernoulli dans sa version passive. Les contributions apportées par ce chapitre sont :
— la présentation de la mise en forme particulière du système pour la simulation directe passive d’ordre 2 de consistance,
— la proposition d’une méthode de gestion du contact et de la fermeture du canal, — une présentation et une interprétation des résultats de simulation, et de comparaison
avec un modèle classique.
lorsque l’une est paralysée et que le patient a une voix pathologique : une technique consiste à insérer une cale pour rapprocher les plis vocaux et favoriser le contact qui a un "pouvoir resynchronisant".
4.5. Conclusion 139
(a) Ouverture du canal
(b) Pression d’embouchure
(c) Amplitude du spectre de la pression d’embouchure
(a) Ouverture du canal
(b) Pression d’embouchure
(c) Amplitude du spectre de la pression d’embouchure
Figure 4.9 – Résultats de simulation pour `0 = 3.5mm, fn= 250Hz, m = 0.31g : (Gauche)
Pmax= 5KP a, (Droite) Pmax= 7KP a. (a) Ouverture du canal (b) Pression d’embouchure (c) Amplitude du spectre de la pression d’embouchure.