MÉTHODE DE SIMULATION PASSIVE POUR LES SYSTÈMES HAMILTONIENS
Exemple 23 (Application au système de Hénon Heiles) Considérons le système chao-
. (3.92)
Ainsi, grâce à la matrice M =
1/√ m 0 0 0 q x2 4 + k 0 0 0 1
, le système peut être réécrit en fonction des nouvelles variables sous sa forme quadratisée,
˙p ˙x −y = 0 −qx2 4m+ k/m 1/√ m q x2 4m+ k/m 0 0 −1/√m 0 0 − d m2p2 0 0 0 0 0 0 0 0 p x u . (3.93)
Comme pour l’exemple 15, afin d’observer l’ordre de consistance de la méthode, nous ef-fectuons des simulations avec les fréquences d’échantillonnages 1000 Hz, 2000 Hz, 2500 Hz,
5000 Hz et 10000 Hz, pour un réglage à l’ordre 1, 2 et 3 de la méthode présentée dans cette
section. Nous mesurons l’erreur entre la valeur des états non quadratisés pour chacune des fréquences et celle issue d’une simulation "idéale" . Cette simulation idéale est faite avec un algorithme de Runge-kutta (ordre 4 et fréquence d’échantillonnage de 200 kHz) pour le système non quadratisé.
La figure 3.12 (a) montre l’erreur globale normalisée par celle de la première fréquence d’échantillonnage en représentation log-log. On voit très clairement que les courbes forment des droites de coefficient directeur < −1, < −2 et < −3, correspondant respectivement aux ordres 1, 2 et 3. La figure 3.12 (b) montre que l’erreur sur l’énergie est très faible (principalement due à l’erreur machine).
Exemple 23 (Application au système de Hénon Heiles) Considérons le système
chao-tique de Hénon Heiles déjà présenté en exemple 14 avec la quadratisation vue en exemple 19. Comme pour le cas précédant, on observe l’ordre de consistance de la méthode en effectuant des simulations aux fréquences d’échantillonnages [1000Hz, 2000Hz, 2500Hz, 5000Hz], pour un réglage à l’ordre 1, 2 et 3. Ici, nous comparons les valeurs des états avec celle d’une so-lution idéale calculée de deux manières différentes : (i) la soso-lution idéale est calculée avec le système sous sa forme non quadratisée, (ii) la solution idéale est calculée avec le système sous sa forme quadratisée.
Ici encore, la figure 3.13 montre que l’erreur sur l’énergie est très faible (principalement due à l’erreur machine) et donc la méthode respecte correctement le bilan de puissance. Pour le cas (i), nous pouvons observer (en figure 3.14(a)) que la méthode à l’ordre 3 ne permet pas d’obtenir la consistance désirée. Or, dans le cas (ii), lorsque l’on calcule l’erreur à partir de la solution "idéale" du système quadratisé, (cf. figure 3.14 (b)) l’ordre 3 est bien respecté.
Les erreurs à la première fréquence testée (1000Hz) sont 2.9 × 10−4, 2.5 × 10−7 et
3.3. Méthode directe d’ordre supérieur 121
(a)
(b)
Figure 3.12 – (a) Erreur de consistance moyenne normalisée pour la mé-thode M3 à l’ordre 1, 2 et 3. (b) Erreur sur l’énergie du système simulé avec la méthode M3 à l’ordre 1, 2 et 3 pour une fréquence d’échantillonnage de 5000 Hz.
3, dans le cas (i), n’est pas conforme et est limitée à une borne inférieure par une erreur indépendante de la fréquence d’échantillonnage. Cette erreur peut être directement liée aux fonctions de changements de variable. En effet, dans ce cas précis, le calcul de l’erreur se fait en comparant les états issus des simulations quadratisées mis sous forme de base à l’aide des changements de variable, et les états issus de la simulation "idéale". Or, nous avons pu remarquer que, dans le cas du système de Henon Heile, l’application des fonctions de changement de variable génère une erreur constante de l’ordre de grandeur de celle limitant l’observation de l’ordre 3. Autrement dit, la méthode à l’ordre 3 génère une erreur plus faible que celle impliquée par le changement de variable. Cela illustre la limitation imposée par le système de simulation complet (méthode, langage de programmation, précision de la plateforme, etc.).
Figure 3.13 – Erreur sur l’énergie du système simulé avec la méthode M3 à l’ordre 1, 2 et 3 pour une fréquence d’échantillonnage de 5000Hz. (système de Hénon Heiles)
(a) Sans quadratisation (b) Avec quadratisation Figure 3.14 – Erreur de consistance moyenne normalisée pour la méthode
M3 à l’ordre 1, 2 et 3 (système de Hénon Heiles) : (a) Simu-lation idéale faite avec le système non quadratisé (cas i), (b) simulation idéale faite avec le système quadratisé (cas ii).
3.4 Conclusions et perspectives
Dans ce chapitre, nous avons présenté des méthodes de simulations passives qui ex-ploitent sur le formalisme des systèmes hamiltoniens à ports. Dans un premier temps, nous avons introduit la méthode classiquement basée sur la définition d’un gradient discret. Celui-ci permet de porter le bilan de puissance d’un système du temps continu au temps discret. Nous avons montré que, dans le cas où les matrices du système ne dépendent pas de l’état, la consistance est d’ordre 2, et 1 sinon. Afin de rétablir un ordre 2 dans le cas général, nous avons proposé une méthode à deux étapes basée sur le gradient discret. Cette méthode présente encore des inconvénients :
3.4. Conclusions et perspectives 123 — l’existence et l’unicité des solutions ne sont pas garanties dans le cas général, — la consistance reste limitée à l’ordre 2,
— la résolution nécessite l’utilisation d’un solveur itératif.
Afin de répondre à ces limitations, nous avons proposé dans une seconde partie une méthode basée sur un changement de variable pour une certaine classe de système. Ce changement de variable rend quadratique l’énergie et ainsi linéaire le gradient discret. Cette dernière méthode permet d’obtenir une simulation passive directe, au sens où elle ne néces-site plus de solveur itératif. Elle assure également l’existence et l’unicité d’une solution tout en offrant une consistance réglable et supérieure à 2. Nous donnons un jeu de paramètre pour atteindre l’ordre 3. Enfin, ce changement de variable sépare le calcul de mise à jour de l’état en sous-systèmes découplés ce qui rend accessible la technologie de parallélisation des calculs.
Les contributions apportées par ce chapitre sont :
— la présentation et l’étude de consistance de la méthode classique basée sur un gradient discret,
— la proposition d’une méthode générale à deux étapes pour garantir l’ordre 2 de consistance,
— la définition d’un changement de variable rendant les calculs directs,
— la proposition d’une méthode basée sur ce changement de variable offrant un ordre de consistance réglable supérieur à 2.
En perspective, la limitation principale du changement de variable est la taille de la classe des systèmes concernés. Nous pourrions définir une extension de cette méthode aux systèmes à Hamiltoniens réguliers et quasi-convexes par morceaux. Cela permettrait la quadratisation par morceaux des systèmes à Hamiltoniens périodiques (p. ex., pendule) et à minima locaux. Dans ce chapitre, les entrées du système sont considérées comme issues d’un bloqueur d’ordre 0. Cette étude pourrait, dans le futur, être étendue à d’autres interpolateurs. Enfin, la méthode directe semble être une bonne candidate pour la simulation temps réel. En effet, le calcul est basé sur un nombre constant d’inversions de matrice. Contrairement au cas avec solveur itératif, le temps de calcul est ici invariant dans le temps alors que le nombre d’itérations des solveurs peut être élevé dans des cas très non linéaires. De premières mesures de temps de calcul sur des systèmes non linéaires simples nous ont montré des gains allant de 0.5 à 10. Les gains inférieurs à 1 sont principalement dus au fait que le solveur non linéaire (fonction optimize de scipy) est très performant (optimisé en langage C). Ainsi, une étude plus approfondie pourra être menée afin de rendre l’algorithme optimisé pour le temps réel.