BOUCHE ARTIFICIELLE ROBOTISÉE POUR LE JEU DES CUIVRES
6.3 Analyse du comportement outward/inward
Paramètres physiques Paramètres réels Paramètres estimés Unités
fn 203 191.73 Hz
m 0.18 0.31 g
Q 7 7.83 Sans unité
AM P 55.98 107.48 mm2
heq 1.5 1.44 mm
Table 6.3 – Tableau des résultats de filtrage de Kalman (paramètres physiques) pour une estimation basée sur des signaux is-sus d’une simulation. Paramètres calculés avec les quantités connues : L0 = 15 mm, `0 = 2 mm et Al= 25 mm2.
Pour autant, cette méthode nous permet d’avoir d’accès aux ordres de grandeur des paramètres à utiliser. Le filtre converge dans de nombreux cas et la hauteur de canal estimée suit bien la forme d’onde du signal mesuré sur le banc de test, en atténuant le bruit de mesure.
Ce résultat à l’apparence satisfaisante doit être compris et sa portée tempérée par plusieurs remarques. Une première limitation est que le modèle estimé ne comprend pas la fermeture du canal. Or, sur simulation, le filtre ne converge pas systématiquement lorsqu’il y a fermeture du canal. De plus, une seconde limitation est que l’estimation est lente et nécessite un réglage au cas par cas sur les expériences effectuées pour assurer la convergence.
6.3 Analyse du comportement outward/inward
Dans cette section, nous examinons la question de la capacité de la machine à osciller avec couplage inward, transverse ou outward.
Rappel et illustration sur les régimes inward, outward et transverse
(a) (b) (c) pm pm
pm pmp pmp pmp
Figure 6.6 – (a) Modèle Inward, (b) modèle Outward, (c) Modèle Transverse. Des études sur les auto-oscillations pour des couplages de types Inward, Outwards ou
Transverses (cf. figure 6.6) ont été publiées dans [4, 42, 48]. Une discussion sur les
condi-tions d’oscillation pour ces trois classes d’oscillateurs est aussi présentée par Fletcher dans [47]. Ces conditions sont valables pour un oscillateur à un degré de liberté (de surfaces latérales égales Sr = Sl et d’angles égaux ou opposées θl = ±θr, cf. figure 6.4) et pour un modèle linéarisé en l’état autour de l’état d’équilibre (statique) pour un régime oscillant stationnaire.
Le modèle de type porte battante entrante (modèle inward) en figure 6.6(a) est classi-quement appliqué aux instruments à vent comme la clarinette ou le hautbois. D’après la théorie linéaire, un modèle inward à un unique degré de liberté génère des fréquences de jeu
en dessous de sa fréquence de résonance, et de la fréquence de résonance du pic d’impédance du résonateur concerné [109].
Le modèle de type porte battante sortante (modèle outward) en figure 6.6(b) est natu-rellement appliqué aux instruments à anche de type lèvre. Un modèle outward à un unique degré de liberté génère des fréquences de jeu supérieures à sa fréquence de résonance, et supérieure à la fréquence de résonance du pic d’impédance du résonateur concerné.
Le modèle transverse2 en figure 6.6 a montré des comportements identiques au modèle de type porte battante entrante (modèle inward) [42]. Dans [3], il est montré que ce modèle génère seulement des fréquences de jeu sous la résonance d’air correspondante et sous la fréquence de résonance de la lèvre.
Les critères fréquentiels simplifiés des classes Inward, Transverse et Outward sont résu-més ne figure 6.7. Dans le chapitre 4 dédié à la simulation numérique du modèle complet, nous avons pu constater que notre système entre bien dans cette classification spécialement pour les fréquences graves.
Couplage Inward
Couplage Outward R´ef´erence: fr´equence de r´esonance de la colonne d’air de l’instrument (pic de d’imp´edance). Zone Inward /transverse Zone Outward F r´e q u en ce d e r´e so n an ce d e l`e v re fr Fr´equence de jeu f0
Figure 6.7 – Illustration de la classification Inward, Outward et
Trans-verse en fonction des fréquences de jeu et des fréquences de
résonance de lèvre. • : mesures. Ces conditions sont valables pour un oscillateur à un degré de liberté (de surfaces laté-rales égales Sr = Sl et d’angles égaux ou opposés θl= ±θr, cf. figure 6.4) et pour un modèle linéarisé en l’état autour de l’état d’équilibre (statique) pour un régime oscillant sta-tionnaire.
Nous souhaitons utiliser ces critères fréquentiels pour comprendre si le banc de test rentre bien dans ce même cadre.
6.3.1 Présentations des expériences
Nous présentons trois expériences pour des contrôles quasi-statiques effectuées sur le banc de test choisies pour établir des comportements d’oscillation et d’estimation différents et les examiner. Pour toutes les expériences, le banc de test est configuré avec les paramètres suivants : Position de la bouche : XM = 2.5 mm ; Position de la plaque : Xp= 1.143 mm ; Débit du souffle : US = 10 L/min ; Pression de la seconde lèvre PL2 = 15 kPa (assure l’étanchéité à l’air avec l’embouchure).
2. Comme nous l’avons vu en section 2.3.1, les couplages de type inward ou transverse ont déjà été observés sur un musicien réel. Le modèle transverse semble le plus adapté à la morphologie d’une lèvre.
6.3. Analyse du comportement outward/inward 179 La pression d’eau de lèvre vibrante (L1) est réglée pour obtenir 3 auto-oscillations appar-tenant respectivement à la deuxième, la troisième et la quatrième résonance de l’instrument. Les valeurs choisies PL1 et les fréquences de jeu mesurées f0 sont :
— (a) PL1 = 1.26 kPa, f0 = 119.587 Hz, — (b) PL1 = 7.4 kPa, f0= 174.59 Hz, — (c) PL1 = 8.95 kPa, f0 = 218.679 Hz.
Les signaux mesurés sont données en tableau 6.4. La dernière ligne du tableau montre l’impédance d’entrée de l’instrument (trombone) sur laquelle a été reportée la position des fréquences de jeu pour les trois experiences. Ce type d’illustration peut être édité en temps réel sur la machine (un outil analogue adapté à un musicien en situation de jeu est développé au LMA UMR7051 sur une trompette instrumentée, [86]).
Observations et catégorisation
L’expérience (a) excite la deuxième résonance de l’instrument pour générer un son grave, dont la fréquence de jeu est supérieure à celle du maximum du pic d’impédance. A priori, cela correspond à un couplage de type outward.
L’expérience (b) excite la troisième résonance de l’instrument. La fréquence de jeu est également supérieure à celle du maximum du pic d’impédance ce qui correspondrait aussi à un couplage de type outward. Notons dans ce cas que la fréquence de jeu est proche du maximum du pic d’impédance.
L’expérience (c) excite la quatrième résonance de l’instrument dont la fréquence de jeu est inférieure à celle du maximum du pic d’impédance. A priori, cela correspondrait à un couplage de type transverse ou inward.
6.3.2 Résultats des estimations et analyse
Le filtrage de Kalman présenté en section 6.2 est appliqué aux trois expériences (a), (b) et (c) (cf. tableau 6.4). Les paramètres θ estimés sont regroupés en tableau 6.5. Les paramètres physiques equivalents et basées sur les quantités choisies L0 = 15 mm, `0 = 2 mm et Al= 25 mm2 sont regroupés en tableau 6.6.
Les experiences (a) et (c) font converger le filtre vers des quantités physiques qui nous semblent admissibles. Malgrés de nombreux essais sur l’experience (b), nous n’avons pas réussi à faire converger le filtre vers un ensemble de parametres satisfaisants. Celui-ci in-dique une configuration où le coefficient de qualité est infini. Ce disfonctionnement est probablement du à la non prise en compte des rebonds dans le modèle réduit.
La figure 6.7 illustre la position des fréquences de jeu et des fréquences de résonance de lèvre pour les experiences (a) et (c) autour des fréquences des pics d’impedances du trombone. Les fréquences de résonance estimées pour les expériences (a) et (c) sont, res-pectivement, fr = 135.69 Hz et fr = 272.9 Hz (fréquence de résonance pour un système passe-bas du second ordre fr= f0q1 −4Q12). L’experience (c) est parfaitement compatible avec un couplage de type transverse. Ce qui montre que le modèle développé dans cette thèse est suffisant pour une gamme de fréquence aiguës (> 200Hz). Les résultats montrent ici que l’experience (a) n’est compatible ni avec un couplage transverse, ni avec un couplage
outward. Cette remarque est approfondie en section 6.5.
En conclusion, sur les 3 expériences choisies (a-c), seule l’expérience (c) conduit à une estimation à la fois exploitable et compatible avec la catégorisation transverse/outward. Il est alors légitime de soumettre les résultats de (c) à un test de resynthèse de trajectoire par
Experience (a) Pression de lèvre :
PL1= 1.26 kPa
Fréquence de jeu mesurée :
f0= 119.587 Hz
Experience (b) Pression de lèvre :
PL1= 7.4 kPa
Fréquence de jeu mesurée :
f0= 174.590 Hz
Experience (c) Pression de lèvre :
PL1= 8.95 kPa
Fréquence de jeu mesurée :
f0= 218.679 Hz
Impédance du trombone
Table 6.4 – Tableau récapitulatif des trois expériences quasi-statiques (a), (b) et (c) effectuées sur le banc de test. Colonne de gauche : données expérimentales. Colonne de droite : me-sures de hauteur de canal, de pression de bouche et d’embou-chure (la légende est donnée sur le graphique de l’expérience
6.3. Analyse du comportement outward/inward 181 Paramètres estimés
θ Expérience (a) Expérience (b) Expérience (c) Unités
θ1 7.63 0.011 32.57 (kg m−1 s−1)1/2
θ2 102.17 90.01 100.18 (kg m−2 s−2)1/2
θ3 8.35 12.3 17.91 m1/2
θ4 2.19 −0.003 0.52 Sans unité
θ5 0.47 0.33 0.38 mm
Table 6.5 – Tableau des résultats de filtrage de Kalman (paramètres θ) pour les mesures (a), (b) et (c).
Paramètres estimés
Paramètres physiques Expérience (a) Expérience (b) Expérience (c) Unités
fn 135.77 176.2 285.56 Hz
m 0.80 0.37 0.17 g
Q 14.7 ∼ 106 1.7 Sans unité
AM P 122.6 ∼ 1010 29.1 mm2
heq 0.47 0.33 0.38 mm
Table 6.6 – Tableau des résultats de filtrage de Kalman (paramètres physiques) pour les mesures (a), (b) et (c). Paramètres cal-culés avec les quantités choisies : L0 = 15 mm, `0 = 2 mm et Al= 25 mm2.
simulation : ce point est examiné en section 6.4.1. L’expérience (a) conduisant à une esti-mation exploitable mais qui sort de la catégorisation, il est intéressant d’exécuter le même test pour inférer sur la cause de cette observation : ce point est examiné en section 6.4.2.
fr f0 11 1 .8 2 H z 111.82 Hz 13 4 .9 2 H z f0= 119.5 Hz 10 4 .9 2 H z Zone Inward /transverse Zone Outward Experience (a) fr f0 23 0 .5 H z 230.5 Hz 27 2 .9 2 H z f0= 218.68 Hz 25 3 .7 2 H z Zone Inward /transverse Zone Outward Experience (c)
Figure 6.8 – Illustration de la classification Inward, Outward et
Trans-verse en fonction des fréquences de jeu et des fréquences de