Un résultat général : régulateur PI sur un système non linéaire du premier

Résultat

On considère le système (mono-dimensionnel) du premier ordre d

dtx=f(x, u) (1.22)

d'état x(t) ∈ R avec le contrôle scalaire u(t) ∈ R soumis aux contraintes u ∈ [u^min, u^max] (u^min < u^max). On suppose que R×[u^min, u^max]3(x, u)7→f(x, u)∈R est une fonction continue et dérivable par morceaux. Les seules informations que nous avons sur notre modèle, i.e. surf, sont de nature qualitative : pour tout (x, u)∈R×[u^min, u^max],

∂f

∂x(x, u)≤0et ∂f

∂u(x, u)>0

On suppose en outre qu'il existe un régime stationnaire respectant strictement les contraintes sur le contrôle : il existe(¯x,u)¯ ∈R×]u^min, u^max[ tel que f(¯x,u) = 0¯ .

Nous allons montrer que le régulateur PI avec anti-emballement u=S^at[Kp(¯x−x) +I], d

dtI =Ki(¯x−x) +Ks(u−Kp(¯x−x)−I) (1.23) où la fonction saturation S^at est dénie par

R3u7→S^at(u) =







u^min, siu≤u^min;

u, siu^min ≤u≤u^max;

u^max, siu^max ≤u. (1.24)

rend le point d'équilibre (¯x,u)¯ globalement asymptotiquement stable pour le système d'état étendu (x, I) dès que ses gains, K_p le gain proportionnel, K_i le gain intégral et K_s le gain d'anti-emballement, vérient

K_p >0, K_i >0, K_s>0, et K_sK_p ≥K_i

Dynamique à étudier

Nous cherchons à montrer la stabilité asymptotique globale du point d'équilibre(¯x,u)¯ . Nous cherchons donc à établir que, pour toute condition initiale (x⁰, I⁰), la solution t 7→(x(t), I(t)) du système bouclé

Dans tout ce qui suit, nous considérons l'état étendu X = (x, I) et réécrivons (1.25) sous la forme _dt^dX = F(X). La fonction F : R² → R² est une fonction continue et dérivable par morceaux de X. On note aussi X¯ = (¯x,u)¯ le point d'équilibre de F :F( ¯X) = 0.

Les trajectoires sont bornées

Nous allons montrer que les trajectoires du système (1.25) restent bornées pour t > 0. Elles seront donc automatiquement dénies pour tout temps t > 0. Pour cela nous allons considérer le plan de phases X = (x, I)et construire une famille de rectangles emboîtés les uns dans les autres. Chacun de ces rectangles est positivement invariant par la dynamique (voir Dénition 6) : si la condition initiale appartient à l'intérieur d'un de ces rectangles alors il est impossible à la trajectoire d'en sortir. Pour établir ce point, il sut de regarder la direction du vecteur vitesse F(X) quand X parcourt le bord du rectangle : si F(X) pointe constamment vers l'intérieur, alors il est impossible de sortir du rectangle en intégrant selon les temps positifs.

L'existence de ces ensembles repose sur les hypothèses déjà évoquées K_p >0, K_i >0, K_s>0, K_sK_p ≥K_i,f croissante par rapport àu et décroissante par rapport àx.

La fonction S^at qui intervient dans (1.24) conduit à un découpage en trois zones du plan de phases (x, I) (voir Figure 1.21) selon la position de K_p(¯x−x) +I par rapport à u^min et u^max :

Figure 1.21 Le rectangleR_λ est positivement invariant car le champs de vecteursX7→F(X) pointe vers l'intérieur lorsqueX = (x, I)parcourt le bord de R_λ.

si x∈[¯x+ (¯u+λ−u^max)/K_p,x¯+λ/K_p]on a

F^I =K_i

≤0

z }| { (¯x−x)≤0 Ainsi, le vecteur F =

F^x F^I

pointe vers le bas le long du coté horizontal supérieur.

(coté vertical droit) pour x= ¯x+λ/K_p etI ∈[¯u−λ,u¯+λ] on voit que F^x(¯x+λ/K_p, I)≤0;

en eet siI ∈[¯u−λ, u^min+λ] on a

F^x =f(¯x+λ/K_p, u^min)≤f(¯x, u^min)≤f(¯x,u) = 0¯ car ^∂f_∂x ≤0 et ^∂f_∂u >0; si I ∈[u^min+λ,u¯+λ] on a de même

F^x=f(¯x+λ/Kp, I−λ)≤f(¯x, I−λ)≤f(¯x,u) = 0¯ Ainsi, le vecteur F pointe vers la gauche le long du coté vertical droit.

On démontre, de la même façon, que F pointe vers le haut le long du coté horizontal inférieur et pointe vers la droite le long du coté vertical gauche. En conclusion, pour tout λ ≥ L, le vecteur tangent à la trajectoireF(X) pointe vers l'intérieur du rectangleRλ. Cet ensemble est donc positivement invariant.

Prenons maintenant une condition initiale X⁰ = (x⁰, I⁰) arbitraire. Il existe toujours au moins un λ⁰ (il sut de le prendre assez grand en fait) pour que X⁰ soit à l'intérieur de R_λ⁰. Ainsi, la solution de _dt^dX =F(X)avecX(0) =X⁰ reste dansR_λ⁰ pour tout temps positif : elle est donc dénie pour tout temps t >0 et reste bornée.

Stabilité asymptotique

Nous cherchons maintenant à étudier la convergence des trajectoires. On suppose que l'équi-libre (¯x,I)¯ réside strictement à l'intérieur des contraintes, c.-à-d.

u^min <I¯= ¯u < u^max Pour (x, I) autour de (¯x,I)¯, le système s'écrit





 d

dtx=f(x, Kp(¯x−x) +I) d

dtI =K_i(¯x−x)

(1.26)

Le calcul du linéaire tangent fait apparaître la matrice Jacobienne suivante

∂f

∂x

(¯x,¯u)−K_p ^∂f_∂u (¯x,¯u)

∂f

∂u

(¯x,¯u)

−Ki 0

!

(1.27) La trace de cette matrice 2×2est strictement négative car Kp >0, Ki >0, ^∂f_∂x ≤0 et ^∂f_∂u >0 par hypothèse. Son déterminant est strictement positif pour les mêmes raisons. Donc ses deux valeurs propres sont à partie réelle strictement négative. Ainsi, quels que soient les choix de Kp > 0 et Ki > 0, le linéaire tangent est toujours localement asymptotiquement stable (voir par exemple la Section 1.2.3).

C'est bien un système continu et stationnaire dans le plan. On peut donc utiliser le Théo-rème 12de Poincaré. Nous avons vu que les trajectoires restent bornées. Donc, les trajectoires convergent soit vers un équilibre, soit vers une courbe fermée du plan qui délimite un domaine borné.

Or, il n'existe pas d'autre équilibre que l'équilibre (¯x,I¯= ¯u) dont on a supposé l'existence à l'intérieur strict des contraintes. En eet, (¯x,I)¯ est l'unique solution de

(f(x, S^at[K_p(¯x−x) +I]) = 0

K_i(¯x−x) +K_s(S^at[K_p(¯x−x) +I]−K_p(¯x−x)−I) = 0 L'unicité résulte du raisonnement suivant

Si u^min ≤K_p(¯x−x) +I ≤u^max, on a x= ¯x par la seconde équation, et alors la première équation donne I comme solution de f(¯x, I) = 0. Or, f est strictement croissante par rapport à son second argument, donc I = ¯I.

Si K_p(¯x−x) +I > u^max, la première équation f(x, u^max) = 0 implique que x > x¯, car f(¯x, u^max) > 0 et f est décroissante par rapport à x. La seconde équation donne alors Ki(x−x) =¯ Ks(u^max−(Kp(¯x−x) +I))<0, car Ks>0par hypothèse. Ceci contredit le fait quex est plus grand que x¯.

Si K_p(¯x−x) +I < u^min, la première équation f(x, u^min) = 0 implique que x < x¯ et la seconde le contraire.

Pour montrer la convergence globale vers l'unique équilibre (¯x,I)¯ de (1.25), il sut de montrer qu'il n'existe pas de courbe fermée du plan, formée à partir de trajectoires du système.

Il ne restera que la convergence vers l'unique équilibre comme régime asymptotique possible.

Pour montrer qu'il n'existe pas de telles courbes fermées, nous procédons par contradiction.

Admettons qu'à partir des trajectoires de (1.25), on puisse former par raccordement une courbe

fermée du plan. On note Ωl'intérieur de cette courbe fermée. Calculons l'intégrale de la diver-gence du champ F sur le domaine borné Ω. Cette intégrale est égale à l'intégrale sur le bord

∂Ω de son ux sortant¹⁶. Avec < ., . > le produit scalaire usuel, il vient Z Z

Ω

divF = I

∂Ω

< F, n > ds

oùn est la normale extérieure. Par construction, le champs de vecteur associé à (1.25) F =

f(x, S^at[K_p(¯x−x) +I])

Ki(¯x−x) +Ks(S^at[Kp(¯x−x) +I]−Kp(¯x−x)−I)

est tangent au bord ∂Ω de Ω : son ux sortant est donc nul. Pourtant, on remarque que sa divergence (trace de la matrice Jacobienne) est toujours strictement négative

∂f

∂x −K_p∂f

∂u(S^at)⁰+K_s((S^at)⁰−1)<0

car(S^at)⁰ vaut soit0soit1. On obtient la contradiction recherchée. En conclusion, il n'existe pas de telle courbe fermée, et le point d'équilibre (¯x,I)¯ est globalement asymptotiquement stable.

En fait nous avons montré le point no 1 du résultat suivant :

Théorème 17 (PI avec anti-emballement sur un premier ordre non-linéaire et stable). Soit le système du premier ordre non-linéaire _dt^dx =f(x, u) avec, x ∈ R, u∈ [u^min, u^max], f continue, dérivable par morceau vériant ^∂f_∂x(x, u)≤0, ^∂f_∂u(x, u)>0pour tout avec(x, u)∈R×[u^min, u^max].

Soit le régulateur PI avec anti-emballement de consigne x¯∈R : u=S^at[Kp(¯x−x) +I], d

dtI =Ki(¯x−x) +Ks(u−Kp(¯x−x)−I)

avec K_p, K_i > 0, K_sK_p > K_i et S^at(υ) ≡ max(u^min,min(u^max, υ)). Alors on a les deux cas suivants :

1. soit il existeu¯∈]u^min, u^max[tel quef(¯x,u) = 0¯ et alors l'équilibre(x, I) = (¯x,u)¯ du système bouclé est unique et globalement asymptotiquement stable au sens de Lyapounov

2. sinon :

soit ∀υ ∈[u^min, u^max], f(¯x, υ)<0 (resp. >0) alors lim_t7→+∞u(t) =u^max (resp. u^min) et limt7→+∞x(t) existe, est éventuellement innie dans [−∞,x[¯ (resp. ]¯x,+∞])

soit f(¯x, u^max) = 0 (resp. f(¯x, u^min) = 0) alors limt7→+∞u(t) = u^max (resp. u^min) et lim_t7→+∞x(t) existe, est nie dans ]− ∞,x[¯ (resp. ]¯x,+∞[).

Le point no 2 signie simplement que, compte tenu des contraintes, le régulateur PI fait au mieux, i.e., tente de rapprocher au maximum x de sa consigne x¯. La preuve de ce point est laissée en exercice.