X
i=1
xT[i]Rx[i] +
+∞
X
i=0
uT[i]Qu[i]
avec N >0, Pf et R matrices symétriques positives, Q matrice symétrique dénie positive. La loi de commande minimisant ce critère est la loi de feedback
u[i] =−(BTSB+Q)−1BTSA×x[i]
où S est l'unique solution stabilisante de
0 = S−ATSA+ATSB(BTSB+Q)−1BTSA−R
( équation algébrique de Riccati en temps discret pour laquelle l'existence et l'unicité d'une solution stabilisante est garantie sous des hypothèses de commandabilité et d'écriture du critère semblables au cas en temps continu du Théorème 26, i.e. (A, R1/2) observable)) et le coût (optimal) associé est (x0)TS[0]x0.
D.4 Observabilité, reconstructibilité et ltrage
D.4.1 Observabilité en temps discret
De même qu'en ce qui concerne la commande, certaines subtilités apparaissent dans le domaine de la reconstruction d'état à partir des mesures lorsqu'on considère un système sous sa forme en temps discret. Ainsi, on doit distinguer la propriété d'observabilité et celle de reconstructibilité d'un système (voir ci-dessous).
Considérons l'équation aux diérences, où intervient la mesure y de l'état x x[k+ 1] =Ax[k] +Bu[k]
y[k] =Cx[k] (D.14)
où A est une matrice de dimension n×n, B est une matrice de dimension n×m, et C une matrice de dimension p×n.
Dénition 27 (Observabilité en temps discret). Le système en temps discret(D.14) est dit observable, si, pour tout k, on peut déterminer de manière univoque l'état x[k] d'après les mesures futures y[k], ..., y[k+n−1] et les commandes u[k], ..., u[k+n−2] futures.
Dénition 28 (Reconstructibilité en temps discret). Le système en temps discret(D.14) est dit reconstructible, si, pour tout k, on peut déterminer de manière univoque l'état x[k] d'après les mesures passées y[k−n+ 1], ..., y[k] et les commandes u[k−n+ 1], ..., u[k−1] passées.
La constructibilité n'implique pas l'observabilité, on peut trouver des contre-exemples simples dans [39].
Considérons les équations suivantes, obtenues par un calcul direct depuis un indice k quel-conque. Il vient, en regroupant, sous la forme de vecteurs :
où O est la matrice d'observabilité de la paire (A, C) déjà rencontrée dans le cas du temps continu au Théorème28. Dans cette dernière équation, il apparaît directement le résultat suivant Proposition 14 (Observabilité et reconstructibilité). Soit un système x[k + 1] = Ax[k] + Bu[k], y[k] = Cx[k] avec dimx = n. Ce système est observable si et seulement si la matrice d'observabilité O = [C;CA;...;CAn−1] est de rang plein. Ce système est reconstructible si la matrice d'observabilité est de rang plein.
Comme ceci est précisé dans [39], les propriétés de commandabilité et de reconstructibilité sont duales, de même que celle d'atteignabilité et et d'observabilité.
D.4.2 Filtre de Kalman en temps discret
Lorsqu'on cherche eectivement à reconstruire l'état à partir de la connaissances des entrées et des sorties du système, on peut le faire par un observateur asymptotique, en utilisant, par dualité avec les problèmes de commande, les théorèmes de placement de pôles, où invoquer un principe d'optimalité pour prendre en compte au mieux les incertitudes sur le modèle, les entrées et sur les mesures. Comme dans le cas du temps continu, l'outil permettant ce ltrage optimal au sens stochastique est le ltre de Kalman qui est implémenté, dans le cas considéré, sous forme d'équations aux diérences.
Proposition 15 (Filtre de Kalman en temps discret). Soit un système x[k + 1] = Ax[k] + Bu[k] +Dξ[k], y[k] = Cx[k] +ρ[k], initialisé en une variable aléatoire x0, où ξ est un bruit gaussien centré de matrice de covariance cov(ξ[k], ξ[j]) = δjkMξ, et ρ est un bruit gaussien centré indépendant de ξ de matrice de covariance cov(ρ[k], ρ[j]) = δkjMρ. Le ltre de Kalman reconstruit, à travers les équations de propagation et de recalage qui suivent une estimation ˆ
x de l'état x. Notons xˆp[k] l'état des équations de propagation, et xˆr[k] l'état des équations de recalage, ainsi queΣp[k]etΣr[k] les matrices de covariance pour les étapes de propagation et de
recalage, respectivement. Au cours des itérations, l'estimation recherchée dex[k]est simplement ˆ
xr[k].
Initialisation
(xˆp[0] = ˆxr[0] =E(x0)
Σp[0] = Σr[0] =var(x0) (D.15) Propagation
(xˆp[k+ 1] =Aˆxr[k] +Bu[k]
Σp[k+ 1] =AΣr[k]AT +DMξDT (D.16)
Recalage
K = Σp[k+ 1]CT CΣp[k+ 1]CT +Mρ
−1 ˆ
xr[k+ 1] = ˆxp[k+ 1] +K(y[k+ 1]−Cˆxp[k+ 1]) Σr[k+ 1] = Σp[k+ 1]−1+CTMρ−1C−1
(D.17)
Ces formules sont celles usuellement considérées (voir [73]) Avantageusement, on pourra remplacer la dernière formule dans l'équation de recalage par l'une ou l'autre des deux équations suivantes (formule de Joseph [14,23]) obtenue par la formule de Sherman-Morrison-Woodbury appliquée à l'inverse de la matrice Σp[k+ 1]−1+CTMρ−1C
Σr[k+ 1] = Σp[k+ 1]−Σp[k+ 1]CT CΣp[k+ 1]CT +Mρ−1
CΣp[k+ 1]
qui se réécrit encore
Σr[k+ 1] = (In−KC)Σp[k+ 1](In−KC)T +KMρKT
qui garantit que la mise à jour Σr[k+ 1] est une matrice symétrique dénie positive dès lors que Σp[k+ 1] l'est.
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