An et Dn sont différentes de ce qui est présenté dans la référence [105]. Nous remercions Jan Molàček de nous avoir aidé à corriger les erreurs s’étant glissées dans son article ce qui nous a permis de mettre en oeuvre cette méthode d’analyse.
C.3 Résolution temporelle
Nous discutons, dans cette section, l’effet de la fréquence d’acquisition des vues de côté sur le calcul de l’énergie dissipée au cours du rebond. Une fréquence d’acquisition trop faible produit un effet de filtrage qui a pour conséquence une sous-estimation de la dissipation. Au contraire, une fréquence d’acquisition trop élevée peut transformer les er- reurs liées à l’imprécision de la détection du contour en énergie dissipée additionnelle. Nous représentons dans la figure C.2 l’énergie dissipée au cours de l’impact d’une goutte d’eau (R = 0.95 mm) à la vitesse V = 0.2 m/s en fonction de la fréquence d’acquisition de la caméra. L’énergie dissipée tend vers un plateau quand on augmente la fréquence d’acqui- sition ce qui indique que noud prennons en compte correctement le calcul de la dissipation.
Figure C.2 : Energie visqueuse Evisccalculée en fonction de la fréquence d’acquisition f lors de
l’impact d’une goutte d’eau (R = 0.95 mm, V = 0.2 m/s). L’énergie dissipée tend vers un plateau pour les fréquences d’acquisition les plus élevées que nous atteignons.
La méthode présentée permet de réaliser un bilan d’énergie sur une goutte de viscosité quelconque lors d’un impact à partir de vues de côté dans la limite des faible déforma- tions du liquide et en négligeant la dissipation dans l’air ainsi qu’au niveau de la ligne de contact. La principale limite de notre analyse tient à l’amplitude des déformations obser- vées lors d’un impact qui, même pour des vitesses de l’ordre de 0.2 m/s, sont parfois trop importantes pour effectuer une analyse linéaire.
Annexe D
Ondes dans un hydrogel
Sommaire
D.1 Préparation et rhéologie d’un hydrogel d’Agar . . . 144 D.2 Ondes propagatives . . . 145 D.2.1 Mesure de la relation de dispersion . . . 145 D.2.2 Mesure des champs de déplacement . . . 148 D.3 Instabilité de Faraday élastique . . . 151
D.3.1 Mesure de la relation de dispersion . . . 152 D.4 Proposition de calcul de la relation de dispersion . . . 153
D.4.1 Ondes dans un échantillon d’épaisseur finie . . . 154 D.4.2 Ondes de surface . . . 157 D.5 Conclusion et perspectives . . . 158
L’étude des ondes dans les hydrogels a été menée avec Lucie Domino et a bénéficié des conseils de Sander Wildeman, Guillaume d’Hardemare, Emmanuel Fort et Antonin Eddi.
Nous avons présenté au chapitre 4 plusieurs exemples de problèmes mêlant les effets élastiques et capillaires. Ici, nous nous intéressons à l’instabilité de Faraday (que nous in- troduirons plus tard dans ce chapitre), et plus généralement à la propagation d’une onde à la surface d’un hydrogel. Plusieurs instabilités hydrodynamiques ont déjà été étudiées dans de tels matériaux : Mora et al. [108] ont étudié l’instabilité de Rayleigh-Plateau dans de fin barreaux de gels d’Agar (figure D.1a), ils ont aussi étudié l’instabilité de Rayleigh- Taylor dans un gel renversé [109] (figure D.1b). Plus récemment, Shao et al. [110] ont mis en évidence l’existence de l’instabilité de Faraday dans des gels mous de module de cisaillement compris entre 1 et 260 Pa. L’originalité des hydrogels vient de la présence de trois forces de rappel agissant sur l’interface : l’élasticité, la gravité et la capillarité. De nombreuses expériences ont tenté de caractériser la propagation des ondes à la surface des gels [111, 112, 113] mais un consensus peine à émerger, les débats se cristallisant autour de la transition ou coexistence entre un régime élastique et un régime capillaire.
b a
Figure D.1 : a Déstabilisation de cylindres d’Agar de module de Young de plus en plus faible (du haut, E = 81 Pa vers le bas E = 43 Pa) plongés dans du toluène. Extrait de [108]. b Instabilité d’un gel de polyacrylamide mou retourné. On observe un motif stationnaire dont on fait ressortir la forme en projetant une grille lumineuse. Extrait de [114].
Nous étudions la relation de dispersion des ondes à la surface d’un hydrogel d’Agar en mesurant le champ de hauteur à la surface de notre échantillon pour des ondes propagatives et des ondes générées par l’instabilité de Faraday. Nous proposons ensuite un calcul de la relation de dispersion en traitant le gel comme un solide élastique soumis à une condition au limite à la surface libre faisant intervenir la capillarité.
D.1 Préparation et rhéologie d’un hydrogel d’Agar
PréparationLes échantillons de gel sont préparés en mélangeant de la poudre d’Agar (Sigma A4550) à un volume d’eau déminéralisée. Ce mélange est porté à la température de ∼ 95◦C puis versé dans une cuve. Nous laissons ensuite le gel refroidir à température ambiante pendant 3 heures, ce qui permet sa polymérisation. Nous varions la quantité de poudre d’Agar entre 0.2% et 0.5% de masse par volume d’eau pour obtenir des gels de modules de cisaillement différents. Les échantillons sont préparés dans les heures qui précèdent la réalisation d’une expérience pour s’affranchir du problème de vieillissement lié à l’évaporation.
Rhéologie
Nous effectuons des mesures de rhéologie dynamique pour caractériser les propriétés matérielles des gels que nous fabriquons. Nous versons une petite quantité de gel chaud non polymérisé dans la cellule de test (entrefer 1 mm) d’un rhéomètre plan-plan (Anton Paar MCR501). Nous attendons 3 heures afin de nous assurer que le gel soit polymérisé avant de commencer le test en oscillation. Nous travaillons en imposant une déformation constante de 0.1% et explorons le comportement en fréquence des échantillons. La figure D.2 présente l’évolution des modules de cisaillement (G′, carrés) et de perte (G′′, triangles) avec la fréquence angulaire pour trois gels obtenus en mélangeant 0.2%, 0.3% et 0.5% de masse par volume d’Agar. G′ et G′′ sont relativement constants pour des sollicitations de pulsations entre 0.1 et 100 rad/s. G′est typiquement supérieur de deux ordres de grandeur
D.2. ONDES PROPAGATIVES