Mesure de la relation de dispersion

Le montage expérimental est présenté dans la figure D.3a. Nous coulons des gels d’Agar, de module de cisaillement 90 et 380 Pa, dans une cuve transparente rectangulaire de 8.5×26 cm de côté. L’épaisseur h des gels synthétisés est contrôlée par le volume de gel produit et a été variée entre 0.2 et 3 cm . Nous excitons les ondes à l’aide d’un aimant, posé à la surface du gel, dont le mouvement est contrôlé par l’amplitude et la fréquence du champ magnétique oscillant généré par un électroaimant. L’aimant est collé sur un barreau de plastique (8×1 cm) de façon à générer des ondes planes se propageant dans la direction x. Nous mesurons le champ d’onde à la surface du gel (transparent) en observant en vue de dessus un motif en damier placé sous la cuve. Au passage d’une onde, la surface du gel est déformée ce qui entraine un déplacement apparent δr du motif par réfraction des rayons lumineux. A partir d’une image de référence et d’une image déformée du motif, nous pou- vons reconstruire le champ de hauteur de la surface du gel en utilisant l’algorithme Fast Checkerboard Demodulation [115, 116]. La figure D.3b montre un instantané du champ de hauteur obtenu par cette technique de Schlieren synthétique lorsque l’on excite des ondes

a b

Figure D.3 : a Schéma du montage expérimental de mesure de la relation de dispersion. Nous excitons des ondes planes à la surface d’un hydrogel de module de cisaillement µ et d’épaisseur h à l’aide d’un aimant mis en mouvement par le champ magnétique créé par un électroaimant. Nous reconstruisons le champ d’onde en observant, en vue de dessus, le déplacement apparent δr d’un motif en damier placé sous la cuve. b Champ de hauteur obtenu à l’aide de l’algorithme FCD en excitant à une fréquence de 40 hz la surface d’un gel (µ = 90 Pa et h = 1.1 cm).

planes à la fréquence de f = 40 Hz à la surface d’un gel de module de cisaillement µ = 90 Pa et d’épaisseur h = 1.1 cm. Pour mesurer la relation de dispersion liant la fréquence f et le nombre d’onde k des ondes, nous excitons le gel en réalisant des balayages en fréquence de 10 à 160 Hz. Nous enregistrons des vues de dessus du motif déformé à la cadence de 350 images par seconde et déduisons à partir de la séquence d’images obtenue le champ de hauteur en tout point de la cuve à chaque instant. Nous effectuons une analyse des champs de hauteur par transformée de Fourier fréquentielle et spatiale. Nous obtenons le spectre spatial associé à chaque fréquence d’excitation. Nous normalisons ensuite chaque spectre par son amplitude maximale et conservons l’information présente dans la direction de propagation des ondes. Nous construisons alors la relation de dispersion en assemblant les spectres spatiaux, dans la direction x, correspondant à chaque fréquence f d’excitation. La relation de dispersion obtenue en soumettant un gel de module de cisaillement µ = 90 Pa et d’épaisseur h = 1.1 cm fait l’objet de la figure D.4a. Nous observons la présence de plusieurs branches dans la relation de dispersion : pour une fréquence donnée, plusieurs nombres d’onde peuvent coexister. Le nombre de branches visible augmente avec la fréquence. La première branche commence pour f ≈ 10 Hz ; nous ne distinguons pas les faibles nombres d’onde et les fréquences de coupure des branches successives aparaissant à des fréquences plus élevées. Si l’on augmente encore la fréquence (f > 100 Hz), le com- portement est différent : la relation de dispersion ne présente plus qu’une seule branche.

Nous étudions ensuite l’effet du module de cisaillement sur la relation de dispersion. Nous présentons le résultat obtenu pour un gel de module µ = 380 Pa et d’épaisseur h = 1.1 cm dans la figure D.4b. Nous remarquons également la coexistence de plusieurs branches. Les fréquences de coupure sont notablement modifiées : la première branche démarre pour f ≈ 30 Hz et la seconde pour f ≈ 50 Hz. Contrairement au gel de module µ= 90Pa, nous n’observons pas la transition vers un comportement présentant une seule branche à haute fréquence. La pente globale de la relation de dispersion est plus grande

D.2. ONDES PROPAGATIVES 20 40 60 80 100 120 140 160 0 500 1000 1500 20 40 60 80 100 120 140 160 0 500 1000 1500 a b 20 40 60 80 100 120 140 160 0 500 1000 1500 c

Figure D.4 : Relations de dispersion, liant la fréquence f et le nombre d’onde k, des ondes planes se propageant selon la direction x dans des hydrogels d’Agar (a µ = 90 Pa et h = 1.1 cm, b µ = 380 Pa et h = 1.1 cm, c µ = 380 Pa et h = 3.4 cm). Les niveaux de gris représentent l’intensité du signal mesuré, normalisée entre 0 et 1 pour chaque fréquence.

pour le gel de module plus élevé. Un résultat cohérent avec l’expression de la vitesse de phase des ondes transverses dans un solide élastique : ct=pµ/ρ.

Nous nous intéressons également à l’effet de l’épaisseur du gel. La figure D.4c présente la carte obtenue pour un gel de module µ = 380 Pa et h = 3.4 cm. Le résultat est notable- ment différent de celui obtenu pour le gel de même module mais de profondeur 1 cm (figure D.4b). Le nombre de branches que nous mesurons est plus que doublé. Les branches sont plus rapprochées et plusieurs d’entre elles ont une fréquence de coupure plus faible que celle associée à la première branche pour le gel moins épais (f = 30 Hz). L’augmentation de l’épaisseur nous permet également de retrouver la disparition des branches multiples à haute fréquence pour le gel présenté dans la figure D.4a ; ici ce comportement apparaît pour f > 140 Hz.

Les résultats de nos mesures suggèrent que la relation liant la fréquence f et le nombre d’onde k dépend à la fois des propriétés mécaniques du gel ainsi que de son épaisseur. Nous interprétons la présence de modes multiples comme la conséquence de l’épaisseur finie de l’échantillon. Les ondes se propageant dans le gel ne seraient pas purement des ondes de surface : le vecteur d’onde k posséderait une composante verticale. Cette composante du vecteur d’onde serait alors influencée par le confinement du système dans la direction z. Pour vérifier cette hypothèse, nous mesurons le déplacement dans une tranche verticale du gel.