Mesure des champs de déplacement

Nous déterminons le champ de déplacement à l’intérieur du gel en utilisant une tech- nique de corrélation d’images. Nous dispersons des particules de densité spécifique 1.1 et de diamètre 11.7 µm (PQ Hollow) dans le gel alors qu’il est chauffé à la température de 95 ◦_{C. Nous versons alors cette solution dans une cuve transparente (8.5 × 26 cm) ; les} particules sont emprisonnées par la polymérisation du gel avant leur sédimentation. Nous rendons les particules visibles dans une tranche (xz), parallèle à la direction de propagation des ondes, en les illuminant avec une nappe laser (figure D.5) : chaque particule apparait comme un point lumineux. Nous excitons alors des ondes planes à une fréquence f à l’aide d’un pot vibrant et enregistrons le mouvement des particules à l’aide d’une caméra rapide fonctionnant à une cadence de 250 images par seconde. Le champ de déplacement est obtenu par corrélation entre une image de référence et une image en présence de l’onde en utilisant l’algorithme Ncorr [117]. L’image de référence est construite en réalisant la moyenne de toutes les images enregistrées en présence des ondes. Nous mesurons le champ de déplacement dans une fenêtre rectangulaire de dimensions 1.8 × 1.6 cm dont le haut est situé légèrement sous la surface du gel.

Nous présentons deux exemples de champs de déplacement instantanés mesurés dans un gel de module µ = 90 Pa et d’épaisseur h = 1 cm. La figure D.6a montre la norme du déplacement (codée en niveaux de gris) à laquelle nous avons superposé des flèches représentant le vecteur déplacement u pour une fréquence d’excitation de 120 Hz. L’am- plitude des déplacements est de l’ordre de la dizaine de micromètres, ce qui correspond à un déplacement d’un pixel. Le vecteur d’onde n’est pas parallèle à la surface, il forme avec cette dernière un angle d’environ 45◦_{. Les ondes que nous observons à la surface possèdent} un vecteur d’onde kx qui est la projection du vecteur d’onde k selon la direction x. L’am- plitude du déplacement semble amortie plus rapidement dans la direction verticale que le long de la surface. Le champ de déplacement obtenu pour une fréquence d’excitation de 40 Hz fait l’objet de la figure D.6b. Nous observons des déplacements dans la totalité de

Figure D.5 : Schéma du montage permettant la mesure du champ de déplacement dans une tranche (xz) d’un gel de module de cisaillement µ et d’épaisseur h. Nous excitons des ondes planes à la surface du gel à l’aide d’un pot vibrant et nous déduisons, par corrélation d’images, le champ de déplacement en suivant le mouvement de particules dispersées dans le gel que l’on illumine à l’aide d’une nappe laser. Nous mesurons le champ de déplacement dans un rectangle de dimensions 1.8 × 1.6 cm.

D.2. ONDES PROPAGATIVES 1 5 10 1 5 10 20 c b a

Figure D.6 : a Champ de déplacement mesuré dans une tranche (xz) d’un gel (µ = 90 Pa et h= 2.3cm) excité à la fréquence de 120 Hz. La source se situe en haut à gauche hors de l’image et nous visualisons les déplacements dans une zone de dimensions 1.8 × 1.6 cm. b Champ de déplacement obtenu dans les mêmes conditions mais pour une excitation à 40 Hz. Nous observons des mouvements dans toute l’épaisseur de l’échantillon et la formation d’un motif carré. c Carte de la relation de dispersion des ondes se propageant dans la direction x dans un gel d’Agar de module µ= 90Pa et h = 2.3 cm.

l’épaisseur de l’échantillon. La norme de u ne semble pas être amortie dans la direction verticale. Nous remarquons la présence d’un motif carré dont nous interpréterons la for- mation par la suite.

Nous rapprochons ces deux champs de déplacement de la relation de dispersion du gel que l’on présente dans la figure D.6c. La relation de dispersion fait apparaître une unique branche quand f = 120 Hz, le déplacement est atténué avant d’atteindre le bas de l’échantillon. Au contraire, plusieurs modes sont présents pour f = 40 Hz quand nous ob- servons des mouvements dans toute l’épaisseur du gel. Nous pouvons alors confirmer le lien entre le confinement dans la direction verticale et la présence de plusieurs modes en surface. Ce lien entre relation de dispersion et champ de déplacement dans une tranche paral- lèle à la direction de propagation peut également être rendu quantitatif en mesurant le vecteur d’onde associé aux mouvements verticaux dans la direction x et en le comparant aux mesures effectuées en surface. Nous analysons par transformée de Fourier fréquentielle et spatiale les champs de déplacement vertical déduits de séquences d’images enregistrées pour une fréquence d’excitation constante, f. Nous isolons alors le spectre spatial associé associé à f. La figure D.7a montre le spectre spatial obtenu en soumettant un gel (µ = 90

-2000 0 2000 -2000 0 2000 a b -1 1

Figure D.7 : a Spectre spatial obtenu à partir de la mesure du champ de déplacement vertical dans un hydrogel (µ = 90 Pa et h = 2.3 cm) pour une fréquence d’excitation de 120 Hz. b Champ d’onde correspondant au spectre présenté en a. On observe à la surface uniquement la composante selon x du vecteur d’onde.

Pa et h = 2.3 cm) à une excitation de fréquence constante de 120 Hz. L’amplitude du signal est représentée en niveaux de gris (plus un pixel est foncé, plus le signal est fort). Le spectre est composé d’un unique pic correspondant à une onde se propageant dans le volume du gel dont nous représentons le champ d’onde dans la figure D.7b. L’atténuation des ondes semble plus forte dans la direction verticale que le long de la surface. Nous trouvons la composante selon x du vecteur d’onde, kx= 1530 ±300 (1/m) : soit une valeur en accord avec celle obtenue lors des mesures en surface.

Le spectre spatial mesuré pour une fréquence d’excitation de 40 Hz fait l’objet de la figure D.8a. Le spectre est notablement différent de celui observé pour f = 120 Hz. Nous remarquons la présence de deux pics correspondant à des vecteurs d’ondes possédant des composantes égales selon l’axe x et opposées selon l’axe z. La projection du vecteur d’onde sur la direction de propagation donne kx = 804 ± 400 (1/m), un résultat en accord avec la relation de dispersion. Nous ne détectons toutefois pas la présence des modes multiples observés en surface du fait de l’étroitesse spatiale de notre fenêtre de mesure des déplace- ments. Le champ d’onde associé à ce spectre, présenté dans la figure D.8b, fait apparaître un motif carré. Ce motif est créé par interférence entre l’onde incidente, correspondant au pic entouré en rouge dont nous représentons le champ d’onde dans la figure D.8c, et l’onde réfléchie au fond de la cuve, correspondant au pic entouré en vert dont nous représentons le champ d’onde dans la figure D.8d. Les visualisations des ondes incidentes et réfléchies sont obtenues par transformée de Fourier inverses du spectre spatial sur lequel nous filtrons l’un des deux pics.

La mesure des champs de déplacement permet de valider notre hypothèse d’ondes se propageant dans le volume des gels. La présence de modes multiples semble être liée à l’interaction entre l’onde incidente et l’onde réfléchie au fond de la cuve.

D.3. INSTABILITÉ DE FARADAY ÉLASTIQUE