5.3 Résolution numérique du CRN
5.3.1 Résolution d’un PSR
Les modèles de réseaux de réacteurs que nous avons développés, en Fortran, s’articulent autour d’un programme proposé par Glarborg et al. (1986) et amélioré par Kee et al. (1989) pour le logiciel de cinétique chimique CHEMKIN II.
L’objectif de ce calcul de PSR à cinétique détaillée est l’obtention du terme source chimique ˙ωk qui apparaît dans l’équation Ykpour chaque espèce χk (notamment NO et CO). Pour une cinétique détaillée, nous rappelons que ce terme source est exprimé par :
˙ ωk(Yk, T ) = Nr X i=1 νikqi(T, Yk) (5.23) Les vitesses de réactions qi(T, Yk) sont déterminées à l’aide des librairies CHEMKIN II (Kee et al., 1989). Le schéma cinétique utilisé dans cette thèse est le GRI 3.0 du Gas Research Institute (http ://www.me.berkeley.edu/gri-mech/version30/text30.html). Ce mécanisme réactionnel est décrit par 53 espèces et 325 réactions. Il contient su ffi-samment d’informations pour reproduire les principaux chemins de formation du NO (NO thermique par le mécanisme de Zeldovitch, NO Précoce par le mécanisme de Fe-nimore ou par la voie du NNH) ce qui justifie notre choix.
Le système d’équations algébriques non-linéaires (ou algébro-différentielles dans le cadre instationnaire) à résoudre pour le PSR nécessite de lui définir à la fois des condi-tions initiales et aux limites d’entrée.
En entrée du réacteur, nous imposons le débit masse ˙m, la composition Yke pour chaque espèce χk (ou équivalent en fraction molaire Xke) et l’enthalpie massique d’entrée He comme l’illustre la figure 5.1.
En réalité, le programme utilise plutôt une température d’entrée Teque nous recalculons à partir de la composition et de l’enthalpie massique d’entrée He par dichotomie. Nous rappelons en effet qu’au sein du réseau, nous transportons l’enthalpie massique H en raison de ses attrayantes propriétés (grandeur conservative).
L’enthalpie massique H, qui est définie dans les équations 5.2, 5.3 et 5.6, s’exprime en fonction de l’enthalpie massique hk de chaque espèce. Cette enthalpie hk possède une forte dépendance à la température T qui est traduite numériquement par une fonction polynômiale (Tables JANAF) :
hk(T ) RT = 5 X i=1 ai i T i−1+a6 T (5.24)
Cette relation "Enthalpie - Température" sert également à définir l’enthalpie initiale du PSR. En effet, on choisit la composition d’entrée Ye
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et on impose une température élévée (typiquement 2000 K) pour initier le mélange réac-tif. La compétition convection - cinétique chimique induit 2 régimes de fonctionnement pour le PSR. La courbe d’hystérésis (T = f (τ)) qui est présentée en figure 5.4 se divise en une branche chaude qui accueille les fortes températures susceptibles d’engendrer du NOet une branche froide.
Figure 5.4 – Courbe hystérésis "Température - Temps de séjour" qui caractérise un réacteur parfaitement agité (PSR)
Pour que le PSR reste allumé et fonctionne sur la branche chaude, le temps de séjour τ doit être supérieur à la valeur limite imposée par le point d’extinction au-delà duquel le PSR s’éteint et bascule sur la branche froide. S’il s’y trouve déjà, sa température est basse (très proche de celle de l’entrée) et la cinétique est très lente. Toutefois, un très long temps de séjour permettra d’atteindre la limite d’allumage, d’initier le mélange et de basculer sur la branche chaude. On provoque bien ainsi un phénomène d’hystérésis.
La définition stationnaire de notre réseau de réacteurs nous incite à ne chercher que les solutions stationnaires (d/dt= 0) du système d’équations algébriques non-linéaires (masse, enthalpie et espèces) associé au PSR. Pour cela, on utilise un algorithme de Newton modifiésusceptible d’amortir les non-linéarités induites par la raideur du schéma cinétique. Ces non-linéarités sont principalement dues à la dépendance exponentielle de la température que l’on trouve au sein des lois d’Arrhénius, elles-même incluses dans les vitesses de réactions qi(T, Yk).
L’objet de cet algorithme est de faire converger une suite de vecteurs φ contenant des solutions approchées en vue d’atteindre la véritable solution. Pour ce faire, on définit un vecteur de résidu F et on évalue sa valeur pour chaque vecteur φ en sachant qu’il prend une valeur nulle pour la solution exacte, soit :
Chaque vecteur φ contient les variables du système, soit dans notre cas : φ =
T, Y1, . . . , Yk, . . . , YNesp T
(5.26)
En proposant une solution initiale φ(0), l’algorithme génère une suite {φ(n)} pour conver-ger vers la solution du système d’équations non linéaires F (φ) = 0. La formulation première de cet algorithme est :
φ(n+1)= φ(n)− ∂F ∂φ !−1 φ(n) Fφ(n) (5.27)
Toutefois, évaluer la matrice jacobienne ∂F/∂φ est coûteux en temps et la convergence requiert alors une estimation pertinente de la solution initiale φ(0). Dans la nouvelle formulation, on remplace la jacobienne par sa valeur à l’itération précédente soit :
J(n)= J(n−1)= ∂F∂φ !
φ(n−1)
(5.28)
De surcroît, on emploie un paramètre d’amortissement λ(n) pour accélérer le calcul de φ(n+1)connaissant φ(n)en écrivant l’algorithme sous la forme :
φ(n+1)= φ(n)−λ(n)
J(n)−1Fφ(n)
(5.29) Il n’est pas nécessaire de calculer l’inverse de la jacobienne pour résoudre le système linéaire en introduisant un vecteur∆φ(n)de correction non-amorti tel que :
J(n)∆φ(n)= Fφ(n)
(5.30)
Le choix du paramètre λ(n)est imposé par une condition d’amortissement qui évalue la solution φ(n+2)pour valider le choix de la solution φ(n+1). Cette condition d’amortisse-ment impose une diminution en amplitude du pas d’avanced’amortisse-ment qui se traduit par :
|J(n)−1Fφ(n+1) |< |
J(n)−1Fφ(n)
| (5.31)
Cette condition restreint la solution φ(n+1) à rester dans la région où la solution exacte doit se trouver. Si la solution φ(n+1) échoue, on retente l’étape avec λ(n)/2 en sachant que l’on a toujours 0 < λ(n)≤ 1 ou alors on propose une nouvelle jacobienne.
Les itérations de l’algorithme se poursuivent jusqu’à ce que la norme du vecteur de cor-rection non-amorti∆φ(n)soit inférieure à la tolérance (absolue A et relative R) imposée par l’utilisateur. La convergence est ainsi atteinte lorsque :
5.3. RÉSOLUTION NUMÉRIQUE DU CRN 105
Dans le cas extrême où la convergence n’aurait pas lieu malgré les itérations réalisées en diminuant le paramètre d’amortissement λ(n)ou en proposant une nouvelle jacobienne J(n), l’algorithme utilise une résolution temporelle. Ainsi, les équations instationaires sont alors résolues en prenant de très petits pas de temps afin de garantir la convergence en s’écartant très peu de la solution précédente. Dans cette méthode robuste mais lente, les dérivées temporelles sont approchées par une méthode d’Euler rétrograde :
dφk dt ≈ φn+1 k −φn k δt (5.33)
Dès lors, l’algorithme de Newton peut être relancé avec la solution issue de cette inté-gration temporelle et cette procédure sera répétée jusqu’à convergence. A la suite de cet algorithme, un échec nécessiterait de diminuer le pas de temps δt ou de proposer une autre solution initiale φ(0)plus pertinente ou encore de réduire la précision imposée par le biais des tolérances absolues A et relatives R.