Découpage dans l’espace chimique

Dans un premier temps, nous avons appliqué des lois uniformes de coupe sur les champs de température T et de richesse φ pour des raisons de simplicité.

A l’image des travaux de Falcitelli et al. (2002c), nous avions défini une loi régulière pour la température qui nécessitait 3 paramètres : une précision de découpe∆T = 100K et les bornes extrêmes de coupe Tmin = 400K et Tmax= 2400K.

T_c,i = Tmin+ ^Tmax− Tmin

N −1 ^{(i − 1) i}= (1, . . . , N) (4.28) Toutefois, de telles lois de coupe nécessitent de changer les paramètres (limites d’in-flammabilité, température adiabatique maximale) pour chaque mélange réactif. Afin d’accroître la généralisation du découpage à tout mélange réactif et pour améliorer la précision autour des zones à haute formation de NO (hautes températures, richesses stoechiométriques), une nouvelle formulation est proposée.

Pour ce faire, nous n’appliquons plus le découpage à la température T ou à la richesse φ mais à la fraction de mélange moyenne_ezet à l’avancement cinétique moyen_ec. Ces 2 grandeurs sont les plus répandues dans les modèles de combustion turbulente et ne dépendent pas du mélange réactif traité ni de la définition de la variable d’avancement. Dans notre approche utilisant le modèle LWP à pdf présumée, nous construisons la variable d’avancement_ecà partir de la fraction massique du fuel fY_f :

ec= ^Yg max f − fY_f g Ymax f − gYmin f (4.29)

Grâce à la pdf et à son support D, les valeurs de gY^max_f et de gY^min_f sont connues :

g

Y^max_f = αYg^max_f |z₁+ (1 − α)Yg^max_f |z₂= αz1+ (1 − α) z2=ez (4.30) g

Y^min_f = α gY^min_f |z₁+ (1 − α) gY^min_f |z₂= α min [0, (z1− zst)/(1 − zst)]

+ (1 − α) min [0, (z2− zst)/(1 − zst)] (4.31) Le nouvel algorithme déploie une loi géométrique de coupe sur la température adiaba-tique du mélange afin de raffiner le découpage de l’écoulement autour des zones stoe-chiométriques. Il faut souligner que nous ne découpons pas à partir de la température locale mais que seule la température adiabatique du mélange réactif Tad(z) est utilisée pour le découpage. L’algorithme de découpe dans l’espace chimique est donc :

1. Dans le domaine de calcul, on recherche zminet zmaxainsi que la température mi-nimum Tminsur les entrées (indicee) puisqu’elles sont à l’origine des extrema de z(scalaire passif se mélangeant) : Tmin= min [Te(zmin), Te(zmax)]

2. En utilisant la réaction globale du modèle CFD, on tabule la courbe de tempé-rature adiabatique du mélange, Tad(z) entre les valeurs extrêmes de la fraction de mélange, zminet zmax. On détermine ainsi la température maximale Tmaxde la courbe tabulée et le zT_max correspondant.

3. Après avoir calculé l’écart de température maximum∆Tmax = Tmax− Tmin, on impose un écart de référence∆Timppour le découpage et on en déduit le nombre entier n d’intervalles∆Timpà placer sur∆Tmaxavec une loi régulière.

4. La loi géométrique qui porte sur l’écart∆Tc,i entre deux températures de coupe T_c,iest définie par la relation suivante :∆Tc,i = Tc,i− T_c,i−1. La forme de la suite

∆Tc,i
est donnée par :

4.2. DÉCOUPAGE EN ZONES STATISTIQUEMENT HOMOGÈNES 79

5. Cette loi géométrique a pour objet d’affiner les intervalles ∆Tc,iautour des hautes températures. Un rapport K² est imposé entre l’intervalle le plus large ∆Tc,1 (basses températures) et l’intervalle le plus fin ∆Tc,n (situé en dessous la tem-pérature maximale). Ce rapport K²provient des relations :

∆Tc,1 = ∆Tc,1q⁰= K.∆Timp (4.33) ∆Tc,n = ∆Tc,1qⁿ⁻¹ = ∆Timp/K (4.34) 6. Avec ces 2 relations, on en déduit la raison q de la suite géométrique :

q= ¹ K2

!1/(n−1)

(4.35) 7. En partant de T_c,1 = Tmin, on définit les intervalles∆Tc,i et par conséquent la

po-sition des points de coupe Tc,ien température.

8. Afin de faire coïncider Tc,navec la température maximale en conservant à la fois la valeur de n et Tc,1 = Tmin, on corrige chaque intervalle∆Tc,1en le multipliant par un coefficient ∆Tcorrqui s’écrit :

∆Tcorr= ∆Tmax/ n X

i=1

∆Tc,i (4.36)

9. On projette les points de coupe corrigés Tc,i sur la courbe tabulée Tad(z) afin d’obtenir pour chaque Tc,i les points de coupe zc, j associées en pauvre z < zst et en riche z > zst. Cette projection est illustrée sur la figure 4.3.

Figure 4.3 – Découpage chimique intermédiaire : Projection des points de coupe Tc,i sur T_ad(z) pour obtenir les points de coupe zc, jen pauvre z< zstet en riche z> zst

10. Une fois que les points de coupe zc, j sont définis à l’aide de la loi géométrique portant sur les ∆Tc,i, le découpage en température est retiré. On lui préfère un découpage suivant l’avancement cinétique c. On définit encore une fois c (z) à partir de la fraction massique de fuel Yf (z) et de ses valeurs extrêmes Yf,min(z) et Y_f,max(z) en s’aidant du domaine de définition présenté en figure 4.1 :

c(z)= ^{Yf,max(z) − Yf (z)}

Y_f,max(z) − Yf,min(z) ^(4.37)

11. Les nk + 1 points de coupe cc,k sur l’avancement c sont alors imposés par une simple loi uniforme entre cmin= 0 et cmax= 1 :

c_c,k= ^cmax− cmin nk

(k − 1)+ cmin (4.38) 12. Le découpage dans l’espace chimique (z, T ) est enfin délimité par les points de coupe en fraction de mélange z_{c, j} et en avancement c_c,k. Il reste toutefois borné par les droites de température adiabatique Tad(z) et de mélange entre les gaz frais T_mel(z). Le découpage final dans l’espace chimique est illustré en figure 4.4.

Figure 4.4 – Découpage final dans l’espace chimique. Intersections des points de coupe z_{c, j}et des points c_c,kau sein du domaine borné(z, T )

L’algorithme développé traite désormais de manière automatique tout type de mélange réactif en disposant de sa stoechiométrie zst. En effet, par le calcul de la température adiabatique en fonction de z, il adapte le découpage pour l’avancement cinétique c. Un degré de liberté est laissé dans le choix de K (classiquement égal à 2) et permet de gérer la précision ou le type du découpage (loi régulière pour K= 1).

Nous savons toutefois que ce découpage dans l’espace chimique ne peut suffire en lui-même. Un sur-découpage dans l’espace physique est nécessaire pour considérer les pro-priétés de l’écoulement (direction privilégiée, zone de recirculation) ou les particularités de la géométrie étudiée (entrées multiples).

4.2. DÉCOUPAGE EN ZONES STATISTIQUEMENT HOMOGÈNES 81