4.2 Compensation via les transistors d’échantillonnage
5.1.1 Réglage(s) analogique(s) de l’erreur de bande-passante
commutateurs. . . 118
5.2 Compensation par modulation des tensions . . . . 119
5.2.1 Variation de la face arrière . . . 119 5.2.2 Variation de la tension de Grille-Source . . . 127
5.3 Compensation par modulation de la largeur W . . . . 138
5.3.1 Principe . . . 138 5.3.2 Conséquences sur le processus d’échantillonnage . . . 139
5.4 Méthodologie de comparaison des différentes compensations143
5.4.1 Estimation des tensions optimales de compensation. . . 144
5.5 Résultats de simulation . . . . 153
5.5.1 Condition de simulation . . . 153 5.5.2 Performance . . . 155
5.6 Conclusion . . . . 160
N
ous avons vu précédemment, que l’erreur de bande passante est un facteur limitant la performance des TI-ADC. Pour trouver le paramètre analogique qui compense au mieux cette erreur, il est nécessaire d’avoir un modèle précis de cette erreur. Pour cela, la première partie de ce chapitre est consacrée à la modélisation de l’erreur de bande passante puis, basé sur le modèle proposé, différents paramètres de réglages analogiques vont être proposés et étudiés. Enfin, une calibration analogique de l’erreur de bande-passante va être présentée dans une dernière partie afin de comparer les performances des techniques de compensation proposées selon le niveau de la raie de distorsion et de la quantification du réglage de compensation.5.1 Modélisation de l’erreur de bande-passante
Nous avons vu au chapitre1que le désappariement de bande passante dans un CAN-ETest lié aux différentes fonctions de transfert des T/Hsentrelacés qui vont chacune filtrer le signal d’entrée de manière différente. La conséquence de cet échantillonnage non uniforme sur le spectre de sortie du signal reconstitué est la présence de raies de distorsion. Pour annuler ces raies de distorsion, il faut avoir un échantillonnage uniforme sur chaque voie du CAN-ET ce qui revient à égaliser les fonctions de transfert entre elles.L’expression de la fonction de transfert d’un T/H est rappelée par l’équation (5.1) qui a été démontrée dans le chapitre 3 comme étant le ratio de deux polynômes de degré 4 (P et Q) dont les coefficients (Am,1, Bm,1, Cm,1, Dm,1, Am,2, Bm,2, Cm,2 et Dm,2) dépendent de la valeur des paramètres (Rb,Cb,Cp et Ron) du modèle linéaire des transistors d’échantillonnage.
Hm(w) = Pm(jw) Qm(jw) =
1 + Am,1(jw) + Bm,1(jw)2+ Cm,1(jw)3+ Dm,1(jw)4
1 + Am,2(jw) + Bm,2(jw)2+ Cm,2(jw)3+ Dm,2(jw)4 (5.1) Si nous souhaitons parfaitement annuler les raies de distorsion dues à l’entrelace-ment non idéal, il est nécessaire d’égaliser tous les coefficients de P et de Q avec ceux de chaque fonction de transfert associée à un T/H entrelacé. Pour que cela soit réali-sable mathématiquement, il faut être capable d’ajuster ces coefficients séparément et donc avoir à disposition au moins 8 paramètres de réglage différents (4 paramètres qui sont associées au modèle de SWtop et 4 autres pour le modèle de SWbot). Cette forte contrainte sur le nombre de paramètres à ajuster revient à réaliser une compensation très complexe à implémenter ce que nous ne souhaitons pas. De plus, comme notre objectif est de repousser le niveau de ces raies de distorsion aux alentours de -85dB à la fréquence de Nyquist, il n’est pas nécessaire d’ajuster parfaitement chaque coefficient. Pour connaitre le nombre de coefficients à égaliser parmi ceux constituants P et Q tout en gardant une précision suffisante pour atteindre un SNDR d’environ 80dB, nous allons nous placer dans le cas de deuxT/Hsentrelacés qui ont respectivement les mêmes fonctions de transfert qui sont définies sur le modèle de l’équation (5.1) et que nous noterons H0 et H1. Les coefficients de P et Q associés à H0 et H1 sont calculés à partir des valeurs en phase de suivi des paramètres Rb−top/bot,Cb−top/bot,Cp−top/bot et Ron−top/bot qui sont résumées dans le tableau 3.1.
En appliquant l’équation (1.9) à notre cas de deux T/Hentrelacés (M=2), il résulte que la valeur duSNDRen fonction de la pulsation w s’exprime par l’équation suivante :
SN DR = 20.log10 |H0(w) + H1(w)| |H0(w − π) − H1(w − π)|
!
(5.2) D’après l’équation (5.2), si H0 = H1 alors le SNDR est infini1 et lorsqu’une diffé-rence existe entre les deux fonctions de transfert le SNDR décroît. Pour connaitre la 1. Le bruit de quantification n’est pas pris en compte ici dans le calcul du SNDR car nous nous intéressons uniquement aux effets d’un désappariement de bande passante
valeur du SNDR en fonction du nombre de coefficients communs entre les polynômes P0, P1 et Q0, Q1, nous avons effectué plusieurs simulations en fixant toujours P0 et Q0 comme des polynômes de degré 4 et en faisant varier le degré de P1 et Q1 entre 0 et 4. Les résultats de ces simulations sont affichés sur la figure5.1 où les figures 5.1a et5.1b
tracent respectivement leSNDR et la différence de module |H0− H1| en fonction de la fréquence normalisée et les degrés de P1 et de Q1.
(a) SNDR en fonction de la fréquence normalisée et du degrés maximal des po-lynômes P et Q 106 107 108 109 1010 -450 -400 -350 -300 -250 -200 -150 -100 -50 0 50 (b) |H0− H1| en fonction de la fréquence normalisée et du degrés maximal des po-lynômes P et Q
Figure 5.1 – Évolution en fonction de la fréquence normalisée et du degrés maximal des polynômes P et Q du (a) SNDR et de (b) le module de la différence des fonctions de transfert
Pour interpréter ces deux figures, nous allons prendre l’exemple de la courbe bleu ciel où deg(P1) = 1 et deg(Q1) = 2. Dans ce cas, les fonctions de transfert H0 et H1 s’expriment sous la forme suivante :
H0(w) = P0(jw) Q0(jw) = 1 + A0,1(jw) + B0,1(jw)2+ C0,1(jw)3+ D0,1(jw)4 1 + A0,2(jw) + B0,2(jw)2+ C0,2(jw)3+ D0,2(jw)4 H1(w) = P1(jw) Q1(jw) = 1 + A1,1(jw) 1 + A1,2(jw) + B1,2(jw)2 (5.3)
Dans ces conditions, les polynômes P0 et P1 ont un coefficient en commun et Q0 et Q1 ont en deux. Le fait d’avoir ôté les degrés 4, 3 et 2 de P1 et les degrés 4 et 3 de Q1 se traduit par un SNDR de l’ordre de 50 dB. Sachant que l’objectif est d’atteindre 80dB deSNDR, il faut que la simplification de la fonction de transfert permette d’atteindre au moins 100 dB afin de prendre en compte une compensation non idéale. Par consé-quent et d’après ces résultats, la fonction de transfert ne peut pas être simplifiée avec des polynômes P et Q de degré inférieur à 3. En effet, si on prend par exemple le cas extrême où la fonction de transfert est associée à celle d’un filtre passe-bas du premier ordre (deg(P1) = 0 et deg(Q1) = 1), nous notons que le SNDR à une valeur d’environ
30 dB à la fréquence de Nyquist, ce qui est trop faible.
En conclusion, le désappariement de bande passante d’un CAN-ET se modélise comme la différence en fréquence des trois premiers coefficients des polynômes P et Q utilisés pour modéliser la fonction de transfert de chaque T/H en phase de suivi. Maintenant que cette erreur est modélisée en fonction de paramètres linéaires, il faut désormais trouver quels paramètres analogiques permettent de la compenser au mieux.
5.1.1 Réglage(s) analogique(s) de l’erreur de bande-passante
Nous venons de montrer d’après la figure 5.1a que si les trois premiers coefficients des polynômes P et Q pour chaque fonction de transfert sont parfaitement égalisés alors le SNDR est de l’ordre de 100 dB. Pour pouvoir régler séparément ces six coeffi-cients, il est donc nécessaire d’avoir à disposition six réglages analogiques. Or comme nous voulons minimiser la complexité de la compensation, il n’est donc pas concevable d’appliquer une compensation où autant de réglages sont ajustés. De ce fait, nous allons dans un premier temps ajuster uniquement la valeur d’un seul paramètre analogique et si cela n’est pas suffisant, nous augmenterons le nombre de réglages nécessaires tant que le SNDR n’atteint pas 80dB.
Pour ajuster la valeur des coefficients via un seul paramètre, il est nécessaire de trouver un paramètre parmi tous ceux du modèle passif des transistors d’échantillon-nage qui est commun à tous coefficients des monômes de P et Q. D’après les équations (3.7) qui expriment l’expression analytique de chaque coefficient de P et Q en fonc-tion des paramètres Rb,Cb,Cp et Ron, nous remarquons que tous ses paramètres sont communs aux coefficients de P et Q. Par conséquent, ils sont théoriquement tous de bons candidats pour compenser l’erreur de bande passante. Parmi ces paramètres, nous pouvons éliminer les paramètres Cp et Cb et Rb car ils sont difficilement ajustables de manière analogique puisqu’ils représentent soit des parasites, soit la résistance de body. En conséquence, seul l’ajustement des résistances à l’état passant des deux commuta-teurs d’échantillonnage (Ron−top et/ou Ron−top) sont des solutions viables.
Pour avoir un ordre de grandeur des variations de chaque coefficient de P et de Q en fonction de la variation des résistances Ron−top et Ron−bot, il faut observer les figures
5.2a et5.2b. D’après ces courbes, nous observons que chaque coefficient de P (courbes en trait plein) et Q (courbes en trait continu) varient linéairement en fonction des résis-tances Ron−bot et Ron−top mais avec des pentes différentes. Nous remarquons également que les coefficients de P varient moins que ceux de Q quelque soit la résistance ajustée. Cette différence de variation va engendrer une variation plus importe des pôles que des zéros.
Pour quantifier la performance d’une compensation de bande passante qui agit uni-quement sur la résistance Ron−bot par exemple, nous avons simulé une calibration nu-mérique idéale à l’aide de MATLAB. Pour cela, nous avons défini deux fonctions de transfert (Href et Hcal) sur le modèle de l’équation (5.1) qui ont un désappariement
0 2 4 6 8 10 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
(a) Variation des coefficients des poly-nômes P et Q selon la variation du pa-ramètre Ron−top 0 2 4 6 8 10 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
(b) Variation des coefficients des poly-nômes P et Q selon la variation du pa-ramètre Ron−bot
Figure 5.2 – Variation des coefficients des polynômes P et Q selon la variation de la résistance (a) Ron−top et(b) Ron−bot
aléatoire entre chacun de leurs coefficients respectifs (A0,1 6= A1,1; · · · A0,2 6= A1,2). Pour compenser aux mieux les désappariements introduits, la valeur de Ron−bot est ajustée via un script MATLAB qui maximise leSNDR à la fréquence de Nyquist. L’écart relatif entre les coefficients de Href et ceux de Hcal ainsi que la valeur duSNDR
avant et après la compensation idéale sont représentés respectivement sur la figure5.3a
et la figure5.3b par des marqueurs en forme de croix et des marqueurs ronds.
(a) Écart relatif entre les coefficients
0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 40 60 80 100 120 140 160 (b) SNDR en fonction de la fréquence normalisée
Figure 5.3 – Performance et écart relatif entre les coefficients de Href et ceux de Hcal avant et après la compensation idéale via uniquement la résistance Ron−bot
Les résultats obtenus avec un seul réglage de compensation sont intéressants puisque le SNDR obtenu après compensation est supérieur à 80 dB à la fréquence de Nyquist malgré qu’une forte différence existe encore entre les coefficients respectifs de Href et ceux de Hcal. De ce fait, nous pouvons conclure qu’il n’est pas nécessaire d’ajuster d’autres paramètres du modèle linéaire pour compenser le désappariement de bande passante.2