Réglage des paramètres de déconvolution

Comme présenté à la section2.2, il est nécessaire de régler manuellement plusieurs paramètres pour obtenir une déconvolution optimale. Cette section a pour but de détailler la méthode suivie pour choisir le bon paramètre pour la déconvolution. Pour ces tests nous avons utilisé des images simulées de microscopie confocale telles que celles présentées en section2.1, c'est-à- dire quatre séries de quatre sources ponctuelles disposées à distances verticales et horizontales variables de 20 et 30 pixels. Cependant, pour accentuer les eets et avoir une comparaison plus facile, nous avons utilisé un pixel beaucoup plus grand (50 nm).

2.5.1 Réglage du paramètre de la régularisation Tikhonov

La régularisation Tikhonov, présentée en section2.2, est une régularisation quadratique empê- chant l'amplication du bruit de la déconvolution en appliquant un lissage par les diérences nies sur l'image. L'équation (2.15) rappelle l'expression de cette régularisation.

φprio(x) = µΣi,j[xi+1,j − xi,j]2+ µΣi,j[xi,j+1− xi,j]2. (2.15)

L'expression à minimiser φMAP(x) s'écrit dans le cas de la déconvolution à une image :

φMAP(x) = (Hx − y)T W (Hx − y) + µ



Σi,j[xi+1,j− xi,j]2+ Σi,j[xi,j+1− xi,j]2



. (2.16)

Le paramètre à régler est ici le paramètre µ qui permet d'ajuster la force de la régularisation à appliquer lors de la déconvolution. La g. 2.11 montre plusieurs résultats de déconvolution avec diérents réglages du paramètre µ et les compare à l'image originale (en g. 2.11-A). Si le paramètre µ est trop élevé, le lissage sera trop fort et l'image déconvoluée pourra devenir plus oue que l'original (g. 2.11-B image de gauche). Si le paramètre µ est trop faible, la déconvolution ampliera le bruit de l'image (g. 2.11-B image de droite). Le bon réglage du paramètre donne une déconvolution ecace et minimise l'amplication du bruit et les artéfacts qui y sont liés.

Comme énoncé précédemment, la régularisation Tikhonov n'est pas très ecace pour gérer le bruit et même avec un réglage du paramètre le plus optimal possible, on retrouve des artéfacts sous forme d'anneaux autour des structures de l'image.

2.5.2 Réglage du paramètre de la régularisation à préservation de bords

La régularisation à préservation de bords, présentée en section 2.2, est une régularisation non quadratique dont le but est identique à la régularisation Tikhonov. Cette régularisation de type L2-L1 agit comme une régularisation quadratique pour les faibles fréquences spatiales de l'image et de manière linéaire pour les hautes fréquences. Cela permet de déconvoluer plus

Image TEM00

2: Good 3: Bad

1: Bad

Déconvolution (régularisation Tikhonov)

A

B

1000nm

Figure 2.11  Exemple de déconvolution à une image utilisant la régularisation Tikhonov montrant plusieurs réglages du paramètre µ. En A] est l'image originale prise avec le faisceau T EM00 et en B] sont présentés plusieurs exemples de déconvolution avec des paramètres

µ diérents (ex : 1, 0.1, 0.01). Le paramètre utilisé pour l'image centrale donne le meilleur résultat de déconvolution, sans amplication du bruit ni d'artéfacts ni de sur-lissage. Barre d'échelle : 1 µm.

facilement sans ajouter d'artéfacts liés à l'amplication du bruit. L'équation (2.17) rappelle l'expression de cette régularisation de type L2-L1 utilisée ici.

φprio(x) = λ0Σ r  ||∇ˆx(r)|| θr − ln  1 +||∇ˆx(r)|| θr  . (2.17)

Pour cette régularisation, il y a deux paramètres à régler, le paramètre λ0, qui joue le même

rôle que le paramètre µ de la régularisation Tikhonov, et le paramètre θr. Comme mentionné

à la section 2.2 le paramètre θr sera réglé de manière globale, c'est-à-dire le même pour tous

les pixels de l'image. Il faudra donc tester un certain nombre de couples de paramètre λ0− θr

pour trouver le bon réglage et obtenir une déconvolution de bonne qualité. La g.2.12montre plusieurs résultats de déconvolution avec diérents réglages du couple de paramètre λ0− θr

et les compare à l'image originale (en g.2.11-A). Les images de gauche et de droite de la g. 2.12-B montrent deux exemples de mauvais réglages des deux paramètres. Dans ce cas, il est plus dicile de régler les paramètres que dans le cas de la régularisation Tikhonov puisqu'il ne s'agit plus de simplement d'augmenter ou de réduire un paramètre selon le résultat obtenu. On remarquera cependant que les deux paramètres sont partiellement liés. Lorsque θr augmente

λ0

θr similaire et ainsi garder un bon réglage de la première partie de l'équation (2.17). Vu la manière dont les deux paramètres sont liés, il est conseillé de tenter de régler θr en premier et

d'ajuster λ0 ensuite. Bien évidement cela n'empêchera pas de faire des réglages successifs de

ces deux paramètres.

Image TEM00

Déconvolution (régularisation à préservation de bords)

A

B

2: Good 3: Bad

1: Bad

1000nm

Figure 2.12  Exemple de déconvolution à une image utilisant la régularisation à préservation de bords montrant plusieurs réglages des paramètres λ0 et θr. A] est l'image originale prise

avec le faisceau T EM00 et en B] sont présentés plusieurs exemples de déconvolution avec des

paramètres λ0 diérents (ex : 1, 0.01, 0.0001). Les paramètres utilisés pour l'image centrale

donnent le meilleur résultat de déconvolution, sans amplication du bruit ni artéfacts ni sur- lissage. Barre d'échelle : 1 µm.

Dans le cas de la déconvolution à deux images, les paramètres à régler restent identiques. La g.2.13montre plusieurs résultats de déconvolution à deux images avec diérents réglages du couple de paramètre λ0− θr et les compare à l'image originale (en g.2.13-A à gauche).

En regardant les images de gauche et de droite des gs. 2.12 et 2.13, on remarque que les résultats de déconvolution peuvent être drastiquement diérents lorsque les paramètres sont mal réglés. Il est donc important d'eectuer un bon échantillonnage des valeurs de paramètres pour trouver les bonnes  zones  de valeurs de paramètres et ensuite faire un réglage n des paramètres pour obtenir le meilleur résultat possible.

On rappellera que, dans le cas présent, les méthodes proposées par [118] et [122] pour trouver automatiquement les paramètres de déconvolution ne peuvent pas s'appliquer puisque les tailles de nos PSF (largeur en nombre de pixels) sont hors des valeurs recommandées pour ces méthodes (largeur de l'ordre de la dizaine pixels). On rappellera également que nous prenons des images avec des PSF aussi grandes (en nombre de pixels) puisque nous voulons

Images

Déconvolution (régularisation à préservation de bords)

TEM00 TE01

A

B

Figure 2.13  Exemple de déconvolution à deux images utilisant la régularisation à préser- vation de bords montrant plusieurs réglages des paramètres. En A] sont présentées les images originales prises avec les faisceaux TEM00 et TE01 et en B] sont présentés plusieurs exemples

de déconvolution avec des paramètres λ0 diérents (ex : 1, 0.01, 0.0001). Les paramètres utili-

sés pour l'image centrale donnent le meilleur résultat de déconvolution, sans amplication du bruit ni artéfacts ni sur-lissage. Barre d'échelle : 1.2 µm.

échantillonner correctement le trou du faisceau beigne TE01.