4 Dynamique quantique 1
4.5 Réalisation numérique
Avant de
présenter
les résultatsnumériques
que nous avons obtenus à l’aide des méthodes décritesci-dessus,
nous allons brièvement exposer comment ces méthodess’implémentent
dans un calcul "réel".Nous
esquissons
notamment ladépendance
de la convergence des résultatsnumériques
avec les différentsparamètres
caractérisant la taille finie de la baseSturmienne et la dilatation
complexe
de l’Hamiltonien. Cesparamètres
sont:-
n max
, la valeur maximale du nombre
quantique
n dans(4.17), qui joue
le rôle du nombrequantique principal.
-
a, le
paramètre
d’échelle de la base Sturmienne(4.17).
Il définit la résolution des fonctions d’onde àreprésenter
par la baseSturmienne,
en r et p.-
K
max
,
l’ordre maximal dans la série de Fourier(4.12),
c’est-à-dire le nombremaximal de
photons échangés
entre l’atome et lechamp.
Cette valeur me-sure le nombre effectif de canaux d’ionisationqui génèrent
lecouplage
aucontinuum
pendant
l’excitation par micro-onde.- 03B8, l’angle
de rotation de la dilatationcomplexe (4.41).
La recherche des valeurs et vecteurs propres de
H03B8
s’effectue par la solutionnumérique
d’unproblème
aux valeurs propresgénéralisé
detype (4.23),
définipar des matrices A et B
complexes symétriques (cf.
4.2.1 et4.3) finies,
parconsé-quence de la troncature de la base infinie de
l’espace
de Hilbert. Comme résultat nous obtenons unspectre
discret dequasiénergies
de l’Hamiltonien tourné. Acause de
l’emploi
d’une base finie pourreprésenter
notresystème physique,
il estimpossible
degénérer
desspectres
continus tournés d’unangle
-203B8 parrapport
à l’axe réel dans le
plan complexe (cf. 4.3).
Enrevanche,
on obtient une série de valeurs propres voisinesalignées approximativement
lelong
d’une droite etformant un continuum effectif
(fig. 4.7),
issues d’un "seuil de continuum effectif"n
sim
c
.
La
figure
4.7 montre lespectre
de l’Hamiltonien tourné(4.42)
pour le modèle unidimensionnel(4.30)
de l’atome. Dans cesconditions,
le continuum tourné n’estpas
dégénéré.
Enrevanche,
cela est le cas pour l’atome réeltridimensionel,
à cause du nombrequantique supplémentaire
~. Dans une basetronquée,
cetteFIG. 4.7 -
Spectre
de l’Hamiltonien tournéH03B8 (eq. 4.42)
d’un atomed’hydrogène
(unidimensionel)
dans unchamp
demicro-onde,
obtenu par ladiagonalisation
numérique
dans une base Sturmienne(4.30) tronquée.
Enconséquence
de la taillefinie de la
base,
les continua sont discrétisés etapparaissent
comme uneligne
de valeurs propres discrètes. Deplus,
il y a undécalage
du seuil de continuum vers desénergies plus
basses. Cela définit un seuil de continuum effectifnsimc (comparable
à celui des
expériences nexpc [8, 10, 32]) qui dépend
de la taille de la base.(a)
F = 1
10-4
a.u., 03C9 = 310-3
a.u., 0 =0.13,
03B1 =8,
nmax = 250. Ledécalage
duseuil de continuum est
petit. (b)
Mêmesparamètres qu’en (a),
sauf nmax = 50. Ledécalage
du seuil de continuum estbeaucoup plus important.
seuil de continuum effectif
nsimc.
Lafigure
4.8 montre comment ce faitcomplique
l’allure du
spectre
dans leplan complexe.
Un des
avantages majeurs
de la dilatationcomplexe (4.41)
est laséparation
des continua effectifs de l’axe réel. Par
conséquent,
l’effet de sa discrétisation estnégligeable
tant que l’écart entre deux valeurs propres voisines estpetit
devant leurslargeurs.
Avec une base suffisammentgrande,
cecipeut
être réalisé pourtout
énergie
àl’exception
duvoisinage
immédiat dupoint
de branchement ducontinuum : une matrice finie ne
peut
pasreprésenter
correctement la série infinie deRydberg près
du seuil d’ionisation[118].
Sans rotationcomplexe,
le continuum discrétisé est localisé lelong
de l’axe réel etinteragit
fortement avec lesrésonances,
ce
qui
demande une taille de la basenumérique beaucoup plus importante
pourobtenir des résultats
numériques convergés.
A
part
le continuumdiscrétisé,
lespectre
obtenu pardiagonalisation
numé-rique
estcomposé
de valeurs proprescomplexes
discrètes(cf. 4.3).
Une foisdécou-vertes par la rotation des continua
(4.41),
leurspositions
sontindépendantes
del’angle
de rotation sur un ceitain intervalle de 03B8.Quand
la taille de la baseStur-mienne est accrue, les valeurs propres
convergent
vers laposition
de la résonanceexacte et la taille de l’intervalle de convergence de 03B8
aggrandit.
D’un
point
de vuepratique,
les valeurs propres avec unepartie imaginaire
importante (y comprises
celles des continuadiscrétisés)
fournissent descontribu-tions à la
probabilité
d’ionisation(4.61) qui
saturentaprès
untemps
très court et nejouent
ainsiqu’un
rôlenégligeable
sur une échelle detemps expérimentale
de
typiquement quelques
centaines depériodes
duchamp
externe. Deplus,
nous avons observé que les éléments de matricecorrespondants
dans(4.61)
sont trèspetits.
Parconséquent,
seulement les états propres avec un taux d’ionisationrela-tivement faible et un recouvrement
important
des vecteurs propres associés avec l’état initial contribuent de manièrenon-négligeable
à ladynamique
de notresystème.
Nous avons observé que ces valeurs propresconvergent plus
vite quecelles avec des taux d’ionisation
importants.
En d’autrestermes,
laprobabilité
d’ionisation converge
beaucoup
mieux que les résonances individuelles.Dans tous nos calculs nous avons
soigneusement
contrôlé la convergence de laprobabilité
d’ionisation parrapport
àl’angle
de rotation 03B8(4.41),
leparamètre
d’échelle 03B1 de la base Sturmienne
(4.17),
la taille de la base Sturmienne nmax, etle nombre de "blocs de
photons" Kmax inclus
dans le calculnumérique.
Il existe en fait un test
simple
et efficace de la convergence des résultatsnumériques.
Si l’on utilise les états propres de l’Hamiltonien tourné(4.42),
laprobabilité
d’ionisation devrait être zéro à t = 0. Dans le calcul de cettequantité
à
partir
de(4.61),
rien n’assure ce résultat. Onobserve,
enfait,
quePion(t
=0)
peut prendre
des valeurs non-nulles si la taille de la base(en
nmax ouKmax)
esttrop petite
ou si 03B8 ou 03B1 ne sont pas bien choisis.Ce critère
simple
est très utile enpratique,
bienqu’il
ne soitprobablement
passuffisant pour assurer la convergence. Un
phénomène
similaire a été observé dans le calcul de la section efficace dephotoionisation
d’atomes enchamps statiques
FIG. 4.8 -
Spectre
de l’Hamiltonien tourné(4.42)
d’un atomed’hydrogène
réel(tridimensionel)
dans unchamp
micro-onde. Suite à la brisure de ladégénéres-cence des continua par
rapport
au nombrequantique ~ (induite
par la taille finie de la baseemployée
pour ladiagonalisation numérique),
il y aplusieurs
"qua-sicontinua" issus du même seuil de continuum effectif
nsimc.
Il en résulte unestructure nettement
plus compliquée
duspectre
dans leplan complexe,
parrap-port
au modèle unidimensionel de l’atome(cf. fig. 4.7). F
= 9.64833610-8
a.u.,[118]
où l’onpeut
obtenir des valeursnégatives
de la section efficace pour unetaille insuffisante de la base.
Comme nous l’avons mentionné
ci-dessus,
la base finie utilisée pour lasimula-tion
numérique
nepeut
pasreproduire
la série infinie deRydberg auprès
du seuil de continuum. Cela n’est pas trèsimportant
enpratique,
car aussi dans lesexpé-riences
[8, 10, 32]
l’ionisation nepeut
pas êtredistinguée
d’une excitation d’états deRydberg
suffisamment élevés(cf. 5.2).
Toutes lesexpériences
décrites dans la littérature[8, 10, 32] comprennent
par "ionisation" les deux derniers processus d’excitation ensemble.De même pour nos simulations
numériques : L’énergie
du seuil de continuumeffectif
peut
être estimée par la valeur dupotentiel
Coulombien à la distance maximum du noyauengendrée
par la base Sturmiennetronquée [118],
Cela définit le seuil de continuum effectif par
Dans le
spectre
de l’Hamiltonien tourné ce seuil effectif se manifeste par undé-calage
des continua discrétisés vers desénergies plus
basses(cf. fig.
4.7(b)).
En
changeant
03B1 et nmax, onpeut s’approcher
dans la simulationnumérique
aux seuils effectifsnexpc
desexpériences.
Nous avons vérifié que lesénergies complexes
des résonances ne
changent
pas avec unchangement
densimc,
saufquand
ils sontapprochées
par unquasi-continuum.
De tels passages
correspondent
à l’ouverture d’un canal d’ionisationsupplé-mentaire et
peuvent produire
des résultats nonconvergés.
Unléger changement
des
paramètres (03B1,
nmax ou03B8) permet
de contourner de tellesinstabilités, qui
peuvent
aussi seproduire
suite auchangement
d’unparamètre physique
tel quel’amplitude (réduite)
duchamp
micro-onde. Lafigure
4.9 montre l’effet d’unpas-sage d’une résonance par un continuum effectif
(induit
par unchangement
del’amplitude
de lamicro-onde)
sur lesparties
réelles etimaginaires
des valeurspropres. On voit que l’effet est très localisé en
F0
etqu’il
induit une discontinuité brutale dans les deuxaspects
duspectre.
Un faiblechangement
de 03B1 de 03B1 = 64.1(fig. 4.9)
à 03B1 = 62.1(fig.
5.15(b)
et(c)) permet
d’éviter cette instabilité.La
figure
4.10 montrePion
obtenue àpartir
duspectre
de lafigure
4.9(trait
pointillé) et, respectivement,
de lafigure
5.15(b)
et(c) (trait continu).
Sur cettefigure,
la discontinuité des niveaux dequasiénergie
àF0 ~
0.04 observée sur lafigure
4.9 a étésupprimée. Ainsi,
cettefigure
4.10 fournit une estimation pour l’incertitudeglobale
de nos résultatsnumériques,
sur tout l’intervalle deF0.
Le
décalage
du seuil du continuum induit par(4.75) peut
êtreplus grand
que 03C9(cf. fig. 4.7).
Celaimplique
que le nombre dephotons
nécessaire pour l’ionisation effective de l’électron deRydberg
est diminué.Pourtant,
cela n’affecte engénéral
devant un : c’est surtout
l’absorption
despremières photons qui
détermine ladynamique
du processus d’ionisation[33].
En
conséquence
de(4.61)
on n’a besoin que d’une zone deFloquet
duspectre
de
H03B8
pour calculer laprobabilité
d’ionisation.Typiquement,
celacorrespond
au calcul d’une
petite
fraction des valeurs propres, de l’ordre de1%
à10%.
Cepourquoi,
nous avons utilisél’algorithme
de Lanczos[124]
pour la solution denotre
problème
aux valeurs propresgénéralisé (4.23),
avec des matrices A etB bandes
complexes symétriques
creuses. Cetalgorithme permet
le clacul dequelques
valeurs propres autour d’une valeur initialearbitraire,
sans consommertrop
de mémoireet/ou temps
CPU.Nous avons utilisé une version stable de cet
algorithme [125] qui
avait étédé-veloppée
essentiellementpendant
l’étude de l’atomed’hydrogène
dans unchamp
magnétique
intense[118]
et de l’atome de hélium[126]. L’algorithme
fournit les valeurs proprescomplexes
et ladécomposition
des vecteurs propres sur la base Sturmienne.L’expansion
de l’état initial dans cette base[95]
ainsi que lesélé-ments de matrice de
l’opérateur
de la dilatationcomplexe R(03B8) (4.56) impliquent
des fonctions
hypergéométriques.
Ilspeuvent
être calculés enemployant
le groupedynamique SO(4, 2)
de l’atomed’hydrogène [66].
Les coefficientsd’expansion
etles
parties imaginaires
des résonancespermettent
finalement le calcul de la pro-babilité d’ionisation en fonction dutemps, d’après (4.61).
Pour finir ce
chapitre,
nousindiquons quelques
valeurstypiques
des para-mètresnumériques
utilisés dans nossimulations,
bienqu’elles puissent changer
considérablement dans des situations
physiques exceptionelles.
Le
paramètre
d’échelle 03B1 de la base Sturmienne esttoujours
choisiproche
dunombre
quantique principal
de l’état initial de l’atome. Cecigarantit
que la basereprésente
bien l’état initial et les états voisins.L’angle
de rotation est de l’ordre de 03B8 ~0.03...0.1,
pour les valeurs de n0(~ 20 ... 60) employées
dans laplupart
de nos simulations. Cette valeur est nette-ment inférieure que les valeurstypiques
pour la modélisation des états faiblement excités dans unchamp
de laser intense[6, 117, 127].
Pour le modèle unidimensionel de
l’atome,
nous pouvons choisir n0 au voisi-nage de60,
comme dans lesexpériences
actuelles[8, 10, 32]. Kmax vaut
de l’ordre de 10 et nmaxpeut
monter à des valeurscomprises
entre 200 et 300. La taille de la matrice est ainsi de l’ordre dequelques milliers,
et il y environ 500 valeurspropres dans une zone de
Floquet.
Pour la simulation de l’atometridimensionel,
nous utilisons les lois d’échelle
classiques (3.19)
et choisissons n0 = 23. Ainsi les valeurs de nmax et deKmax
sont réduites. La taille de la matrices’approche
dequelques
dizaines demilliers,
avec environ 1000 valeurs propres dans une zone deFloquet.
Pour cette valeur du nombrequantique principal
et à unepulsation
ré-duite 03C90 =0.6,
ladiagonalisation
de l’Hamiltonien tourné demande toutl’espace
FIG. 4.9 - Parties réelles
(a)
et(b)
desquasiénergies
associées aux états deFloquet possédant
un recouvrement ~5%
avec l’étatinitial | n0
= 63 >(cf.
fig. 5.15),
en fonction de lapulsation
réduiteF0
duchamp
micro-onde.03C9/203C0 =
36.02
GHz,
03B1 =64.1,
03B8 =0.03,
= maxn280, Kmax =
23. Induit par lechangement
de
F0,
il y a une discontinuité àF0 ~ 0.04, qui correspond
au passage d’uncontinuum effectif
auprès
d’une(ou
d’une famillede) résonance(s).
Le choix d’une valeur de 03B1légèrement
différentepermet
de contourner cetteinstabilité,
comme on le voit sur lafigure
5.15(b)
et(c) (avec
les mêmes valeurs de03B8,
nmax etKmax,
FIG. 4.10 - Probabilité d’ionisation de
l’état | no
= 63 > obtenue àpartir
desspectres
de lafigure
4.9(03B1
=64.1;
traitpointillé)
et de lafigure
5.15(03B1
=62.1;
traitcontinu).
La discontinuité observée àF0 ~
0.04 sur lafigure
4.9 a étésupprimée.
Lafigure permet
une estimation de l’incertitude de nos résultats81
vertragen.
Nous avons maintenant à notre
disposition
tous les moyenstechniques
néces-saires pour simuler l’interaction d’un atome
d’hydrogène
avec unchamp
oscillantextérieur
(cf. chapitre II).
Laprésente partie,
étant lapartie principale
de cerapport,
sera divisé en deuxchapitres.
Dans une
première étape (cf. chapitre 5),
nous étudierons le modèle unidi-mensionnel d’un atomeexposé
à une micro-onde. Des modèles similaires ontdéjà
été
employés
par d’autres auteurs afind’interpréter
lesexpériences qui
ont été effectuées dans le domaine micro-onde. Nous allons comparer nos résultats àquelques-unes
de cesétudes,
ainsiqu’aux
résultatsexpérimentaux publiés.
Dans le deuxième
chapitre (6),
nousprésenterons
les résultats obtenus àpartir
du modèle "réaliste" de
l’atome,
donc d’une simulation sans restriction sur la di-mensionalité del’espace
desphases
accessible à l’électron deRydberg. Après
unecomparaison
avecl’approche
unidimensionnelle(cf. 6.1)
onexploitera
la flexibilitéde notre méthode et on décrira les
caractéristiques principales
de l’excitation de l’atome tridimensionnel(cf. 6.2).
A la lumière de cesrésultats,
une discussion dela situation
expérimentale
actuelle(cf. 6.2.4)
dans le domaine micro-onde suivra.Nous étudierons enfin la
dynamique
d’un atome tridimensionnel dans lerégime
optique (cf. 6.3)
et notamment la stabilisationadiabatique (cf. 2)
et conclurons avec la révélation d’un trait commun aux deuxrégimes
deparamètres physiques.
85
L’atome de Rydberg
unidimensionnel
L’hypothèse
fondamentale de toutes les études de l’excitation et de l’ionisation d’un atome deRydberg exposé
à une micro-onde consiste dans l’"unidimensio-nalité" essentielle de ce processus[7, 31, 38, 39].
Parconséquent,
le gros de ces études[8, 10, 28, 33, 35, 40] part
tout de suite d’un modèle de l’atome avec un seuldegré
deliberté,
et seulementquelques-unes
ontentrepris
de tester ce modèle enl’opposant
à ladynamique
non-restreinte[31, 38, 39],
pourquelques
valeursprécises
desparamètres physiques.
Les différentes
approches
unidimensionnelles aboutissent souvent à desimages
différentes,
mais pas nécessairementcontradictoires,
pourl’explication
desrésul-tats
expérimentaux,
suite aux diversesapproximations
au-delà de l’unidimensio-nalité effective de l’excitationatomique.
Une
première étape
sur notre chemin vers unedescription générale
et "exacte" despropriétés
dutransport quantique
dans ce domaine sera ainsi une simulation de l’excitation et de l’ionisation d’un atome deRydberg unidimensionnel,
sans aucune autreapproximation.
D’uncôté,
celapermettra
lacomparaison
et la "refo-calisation" des différents modèles1D,
par lapremière
étudequi prend
encompte
tous les différents
aspects
de ladynamique.
De l’autrecôté,
c’est laprépara-tion nécessaire à
l’incorporation
desapproches
unidimensionnels dans le cadregénéral
d’unedynamique
non restreinte. La seule différence entre nos simulationsuni- et tridimensionnelles sera en fait le
degré
de libertéatomique
deplus,
et ladescription
de tout autreaspect
restera strictementidentique.
Nous commencerons donc par une courte revue du
développement
expéri-mental et
théorique
de l’étude de l’ionisation d’un atome deRydberg
par une micro-onde.Nous essayons de
prendre
encompte
toutes les contributionsimportantes
sur ce
sujet,
mais nous serons sélectifs dans lepoids
que nous leurdonnerons,
à la mesure des
priorités
que nouspoursuivrons pendant
la suite de ce travail. Ce choix depriorités
est un choixsubjectif.
Il n’est pas uneconséquence
d’unelimitation
quelconque
de notreméthode,
maisplutôt
de délaistemporels
finis et5.1 Les différents points de
vueAu cours des
expériences
sur l’ionisation ou l’excitation d’un état deRydberg
par un
champ
micro-ondequi
ont été initiées par le travail de JimBayfield
etPeter M. Koch en 1974
[9],
un trèsgrand
nombre de donnéesexpérimentales
ontété accumulées
[8, 10, 31].
Celles-ci montrent une richesse et unecomplexité
aussiétonnantes que
stimulantes,
aussi bien pour lesexpérimentateurs
que pour les théoriciens.Afin de
comprendre
ladépendence globale
desphénomènes
observés vis-à-vis des différentsparamètres
externes(c’est-à-dire
définissant laperturbation),
on a d’abordessayé
de réduire lesystème physique
à un modèle aussisimple
quepossible.
Cetteapproche
estlargement
due aux travauxthéoriques [7, 16, 128,
129, 130]
de Boris V.Chirikov,
JoeFord,
GiulioCasati,
ItaloGuarneri,
FelixIz-raïlev,
Dima L.Shepelyansky
et FrancescoVivaldi, qui
ont réussi à établir un lienentre un atome
d’hydrogène préparé
dans un état deRydberg
etl’application
standard
("standard map")[128]
et sa versionquantifiée.
Ainsi ils ont pu mettreen évidence la relation fondamentale
entre,
d’unepart,
la"métamorphose"
del’espace
desphases classique
d’une structureglobalement régulière
à une struc-ture mixte(cf.
1.1.2 et3.3),
et d’autrepart
le seuil d’ionisation en fonction del’amplitude
de laperturbation
externetypiquement
observé dans lesexpériences.
Ce succès a été
parmi
lespremières
contributionsqui évoquaient
de manière relativementsimple
etunivoque
lapertinence
d’un caractèreirrégulier
de lady-namique classique
au niveau du mondequantique.
Il a montré l’efficacité desno-tions de la
dynamique classique
non-linéaire et de seshomologues
du domaine du "chaosquantique" (et
la nécessité dudéveloppement
de ces derniers étant encore en "status nascendi" à cetteépoque)
dans ladescription
dessystèmes quantiques
complexes.
L’ionisation par unchamp
micro-onde devenait ainsi unreprésentant
paradigmatique qui peut
être étudié dans des conditions de laboratoire avec desmoyens
expérimentaux
relativement modestes.De
plus,
l’étude del’application standard, puis
del’application
deKepler
("Kepler map") [39, 131],
dans leurs versionsquantifiées,
a abouti à laprédic-tion d’un
phénomène
universel pour lessystèmes
non-autonomesqui,
suite à sonanalogie
avec la localisationd’Anderson,
a étébaptisé
"localisationdynamique"
("dynamical localization") (cf. 1.1.1).
Des calculsnumériques précurseurs
des nôtres[38, 39],
ontsouligné
la fiabilité de cetteprévision
fondée surl’approxi-mation de la
dynamique
par desapplications stroboscopiques,
dans les limites cernés par un certain nombred’hypothèses
dedépart.
L’effet a finalement été confirméexpérimentalement
parplusieurs
groupesindépendants [8, 28, 31],
dans des conditionsexpérimentales
suffisamment différentes pourjustifier
l’attribut d’universalité.Un autre
phénomène universel,
celui des "fluctuations de conductivitéuniver-selles",
a été observé lors des étudesthéoriques
del’application
deKepler [16].
Pourtant,
sonorigine
ainsi que sapersistence
dans dessystèmes
réels sontCependant,
les études de laboratoire de la localisationdynamique
ont aussirévelé des
phénomènes
que nousappelerons
ici "locaux"[10]
dontl’explication
a été au-delà de laporté
de la théorie de la localisationdynamique
de Chirikov etal.
(cf. 1.1).
Il a donc falluemployer
des modèlesplus
détaillés. Celaimpliquait
une modélisation
plus
fine de l’atomed’hydrogène
et la résolution consécutive del’équation
deSchrödinger
avec lepotentiel
choisi. Comme la démarchethéorique
de Chirikov et
al.,
ainsi que la démarcheexpérimentale,
a été depréparer
l’atome dans un état initial de hauteexcentricité,
cequi
était certainement motivé par lasimple
facilité de traiter unobjet
avec un nombre dedegrés
de liberté aussi réduit quepossible,
lesapproches théoriques
de "deuxièmegénération"
suivaient cetexemple.
Ces travaux ont été effectués parplusieurs
groupes, avec destechniques
et des
objectifs
relativement divers etplus spécialisés.
Ian
Percival,
Derek Richards et J. G.Leopold, qui
avaient d’abord étudié leproblème classique tridimensionnel,
à l’aide de simulations Monte Carlo[100,
Dans le document
Atomes de Rydberg en champ micro-onde : régularité et chaos
(Page 75-89)