Quelques espaces de Sobolev

Les espaces de Sobolev ont ´et´e introduits au d´ebut du si`ecle et ont permis de r´esoudre bon nombre de probl`emes concernant les ´equations aux d´eriv´ees partielles rest´es sans r´eponse jusque l`a.

Nous nous limiterons aux espaces les plus utiles en gardant bien `a l’esprit que la th´eorie sous-jacente est beaucoup plus vaste.

Dans ce qui suit, sauf mention explicite du contraire, on suppose l’ouvert Ω born´e.

2.3.1 L’espace H¹(Ω)

D´efinition 2.16

On note H¹(Ω) l’espace fonctionnel lin´eaire d´efini par : H¹(Ω) ={u∈L²(Ω)

∂u

∂xi

∈L²(Ω), 1≤i≤3}

que l’on munit du produit scalaire not´e ((u, w))_1,Ω : ((u, w))_1,Ω =

Z

Ω

uw+

3

X

i=1

∂u

∂x_i

∂w

∂x_i

! dv et par le fait mˆeme d’une norme induite :

kuk_1,Ω = ((u, u))1,Ω)^1/2 = Z

Ω

u²+

3

X

i=1

∂u

∂x_i 2!

dv

!1/2

Remarque 2.9

Dans la d´efinition de l’espace H¹(Ω), il est important de noter que l’on consid`ere la fonction u et ses d´eriv´ees partielles comme des distributions r´eguli`eres associ´ees `a des fonctions qui sont non seulement dansL¹_loc(Ω) mais dansL²(Ω) (voir la figure2.7). Si on d´enoteTu la distribution associ´ee

`

a u, alors on a :

< Tu, φ >=

Z

Ω

uφ dv ∀φ∈ D(Ω)

et le terme de droite de cette expression est parfaitement d´efini puisque u ∈ L²(Ω). De plus, si u∈H¹(Ω), il existe des fonctions f_i ∈L²(Ω) telles que :

< ∂T_u

∂x_i, φ >=−< T_u, ∂φ

∂x_i >=− Z

Ω

u∂φ

∂x_i dv = Z

Ω

f_iφ dv ∀φ∈ D(Ω)

En effet, si de telles fonctions fi existent, alors de la relation 2.16, on a ^∂T_∂x^u

i = fi au sens des distributions, ce que l’on note abusivement _∂x^∂u

i =f_i. Remarque 2.10

Si une fonction u est dans H¹(Ω), alors u et _∂x^∂u

i sont automatiquement dans L²(Ω) de sorte que H¹(Ω)⊂L²(Ω) et que :

Le produit scalaire ((u, w))1,Ωsemble naturel car en vertu de l’in´egalit´e de Cauchy-Schwartz2.26, toutes les int´egrales impliqu´ees sont finies et la lin´earit´e de l’int´egration permet de v´erifier ais´ement les propri´et´es d’un produit scalaire.

Remarque 2.11

Le produit scalaire et la norme de L²(Ω) ont ´et´e not´es ((u, w))0,Ω et kuk_0,Ω par analogie avec l’espaceH¹(Ω), puisque l’on peut dire dans ce cas que la fonction et ses d´eriv´ees«d’ordre 0»sont dansL²(Ω).

Lors de la r´esolution des ´equations aux d´eriv´ees partielles, il nous faudra introduire des condi-tions aux limites, ce qui nous am`ene `a parler de la restriction `a la fronti`ere Γ d’une fonction de H¹(Ω). Bien que cela semble tout-`a-fait naturel de le faire, il faut s’assurer que cette restriction au bord ait un sens du point de vue math´ematique. Heureusement, bien que nous ne le justifierons pas de mani`ere tout-`a-fait rigoureuse, ces valeurs au bord sont bien d´efinies. Pour s’en convaincre en dimension 1, on peut faire le raisonnement suivant. On suppose que Ω =]a, b[ et quew∈H¹(]a, b[).

On peut donner un sens `a la valeur `a la fronti`ere w(b) (et par un argument similaire `a w(a)) en consid´erant le fait que l’on a :

Chacun des termes de droite de cette ´equation est bien d´efini en vertu de l’in´egalit´e de Cauchy-Schwartz carw(x)etw⁰(x) sont dansL²(]a, b[). Il en ressort de plus, toujours en utilisant l’in´egalit´e de Cauchy-Schwartz que :

|w(b)| ≤ w⁰(x)

0,Ω

(x−a) (b−a) 0,Ω

+kw(x)k_0,Ω

1 (b−a)

0,Ω

≤Ckwk_1,Ω (2.28) Dans cette in´egalit´e, la constante C ne d´epend que de la g´eom´etrie c.-`a-d. deaet b.

Remarque 2.12

Le raisonnement pr´ec´edent n’est plus valide si la fonctionwn’est que dansL²(Ω). On ne peut donc pas parler de la valeur au bord (sur la fronti`ere de Ω) d’une fonction deL<sup>2</sup>(Ω) autrement que dans un sens tr`es faible.

D´efinition 2.17

La restriction au bord Γ d’une fonction dew∈H¹(Ω) est appel´eetrace au bordde wet est not´ee w|_Γ ou encore γ0(w).

F Th´eor`eme 2.4

L’ensemble des traces au bord des fonctions deH¹(Ω) forme un sous-espace deL²(Γ) not´eH^1/2(Γ).

Plus succinctement, on a :

γ0(H¹(Ω)) =H^1/2(Γ)$L²(Γ) (2.29) D´emonstration : voir Reddy [30] ou Raviart-Thomas [29].F

Remarque 2.13

De cette d´efinition, on conclut imm´ediatement que si g ∈ H^1/2(Γ), alors il existe forc´ement au moins une fonctionwg ∈H¹(Ω) dont g est la trace au bord c.-`a-d. :

γ₀(w_g) =w_g|_Γ =g (2.30)

Cette remarque sera essentielle lors de l’imposition des conditions aux limites dans les ´equations aux d´eriv´ees partielles d’ordre 2. Dans le cadre d’une m´ethode d’´el´ements finis, pour une condition aux limitesgdonn´ee, nous construirons explicitement la fonctionw_g deH¹(Ω). La fonctionw_g sera appell´ee le rel`evement de la condition aux limitesg.

Le raisonnement qui nous a men´e `a l’in´egalit´e 2.28 peut ˆetre g´en´eralis´e `a la fronti`ere d’un domaine quelconque en plusieurs dimensions.

F Th´eor`eme 2.5 (Continuit´e de la trace au bord) Siw∈H¹(Ω), il existe une constanteC telle que :

kγ₀(w)k_0,Γ≤Ckwk_1,Ω (2.31)

o`u :

kγ₀(w)k_0,Γ= Z

Γ

(γ₀(w))² ds 1/2

Le r´esultat est ´egalement vrai si on remplace Γ par une partie non nulle Γ₀ de Γ. En dimension 1, on remplace tout simplement la normek · k_0,Γpar la valeur absolue comme dans l’´equation2.28.F Ce dernier r´esultat est connu sous le nom de continuit´e de la trace au bordet g´en´eralise l’´ equa-tion2.28. Il signifie simplement que la trace au bord d’une fonctionwdeH¹(Ω) d´epend continˆument de la fonctionw. Une autre mani`ere de voir les choses consiste `a dire que si wtend vers 0, alors sa trace au bord tend ´egalement vers 0.

D´efinition 2.18

On d´efinit l’espaceH₀¹(Ω) comme la fermeture deD(Ω) pour la norme || · ||_1,Ω. Ainsi, pour chaque v∈H₀¹(Ω), il existe une suitev_i de fonctions deD(Ω) et telle que :

i→∞lim ||v−v_i||_1,Ω= 0

Les fonctions de H₀¹(Ω) s’annulent donc au bord et on peut ´ecrire : H₀¹(Ω) ={w∈H¹(Ω)|w = 0 sur Γ}

On peut aussi d´efinir :

H_Γ¹₀(Ω) ={w∈H¹(Ω)|w = 0 sur Γ₀}

o`u Γ0 est une partie de la fronti`ere Γ du domaine Ω. En dimension 1, on a par exemple : H¹(]a, b[) ={w(x)∈L²(]a, b[)|w⁰(x)∈L²(]a, b[)}

et

H₀¹(]a, b[) ={w∈H¹(]a, b[)|w(a) =w(b) = 0}

tandis que l’on pourrait poser :

H_Γ¹₀(]a, b[) ={w∈H¹(]a, b[)|w(a) = 0}

ou encore :

H_Γ¹₀(]a, b[) ={w∈H¹(]a, b[)|w(b) = 0}

IExemple 2.15

Choisissons encore Ω =]0,1[. La fonctionf(x) =x^3/4 est dansH¹(]0,1[). En effet : Z 1

0

(x^3/4)²dx= Z 1

0

(x^3/2)dx= 2 5 <∞ De plus,f⁰(x) = (3/4)x^−1/4 et on a :

Z 1 0

(f⁰(x))²dx= 9 16

Z 1 0

x^−1/2dx= 9 8 <∞

Il convient toutefois de remarquer que la fonction f⁰(x) n’est pas d´efinie enx= 0. J

IExemple 2.16

Choisissons cette fois Ω =]−1,1[ et la fonction de Heaviside (voir la figure 2.4) restreinte `a cet intervalle. Il est facile de montrer que H(x) ∈L<sup>2</sup>(]−1,1[). Par contre, nous avons vu qu’au sens des distributions,T<sub>H</sub><sup>0</sup> =δ0 et que la distribution de Dirac n’est pas r´eguli`ere. On ne peut donc pas associer `a cette distribution une fonction deL<sup>1</sup><sub>loc</sub>(]−1,1[) et encore moinsL<sup>2</sup>(]−1,1[). La fonction de Heaviside n’est donc pas dans H<sup>1</sup>(]−1,1[). Il en est de mˆeme, en une dimension, de toutes les fonctions qui poss`edent une discontinuit´e de premi`ere esp`ece dans Ω. J

F Th´eor`eme 2.6 L’expression :

|u|_1,Ω=

n

X

i=1

Z

Ω

∂u

∂x_i 2

dv

!1/2

(2.32) est une norme sur les espaces H₀¹(Ω) etH_Γ¹

0(Ω).

Esquisse de la d´emonstration :

Il faut tout d’abord remarquer la diff´erence entre cette norme (notation avec une seule barre) et la norme habituelle sur H¹(Ω) (notation avec 2 barres). C’est l’absence du terme en u². Il nous faut donc d´emontrer les 3 propri´et´es d’une norme. La seule propri´et´e qui pose des difficult´es est la premi`ere qui requiert qu’une norme ne s’annule que pour la fonctionup.p.

= 0. Il est en effet ´evident que la quantit´e 2.32 est toujours positive ou nulle. De plus, si |u|_1,Ω = 0, on peut imm´ediatement conclure que toutes les d´eriv´ees partielles de u sont nulles (p.p.) et donc que u est une constante.

La conclusion vient du fait que puisque u est nulle au bord (ou sur une partie Γ0 du bord), cette constante est forc´ement 0.F

Remarque 2.14

Il est extrˆemement important de noter que la quantit´e 2.32 n’est pas une norme sur H¹(Ω). Le raisonnement pr´ec´edent ne peut en effet s’appliquer puisque les fonctions de H¹(Ω) ne s’annulent pas toutes au bord.

D´efinition 2.19

Deux normes k · k₁ et k · k₂ sur un espace de Hilbert V sont dites ´equivalentes s’il existe des constantes C1 etC2 telles que :

C₁ kwk₂ ≤ kwk₁≤C₂ kwk₂ ∀w∈V (2.33)

F Th´eor`eme 2.7 (In´egalit´e de Poincar´e)

Les normes k · k_1,Ω et| · |_1,Ω sont des normes ´equivalentes sur les espaces H₀¹(Ω) et H_Γ¹₀(Ω) (mais pas sur H¹(Ω)).

D´emonstration (voir Raviart-Thomas [29]). F

F Th´eor`eme 2.8 (In´egalit´e de Poincar´e)

Soit Ω un ouvert de Rⁿ born´e dans au moins une direction. Il existe alors une constanteC qui ne d´epend que de Ω et telle que :

||v||_0,Ω ≤C(Ω)|v|_1,Ω ∀v∈H₀¹(Ω) (2.34) D´emonstration :

Nous reprenons ici la d´emonstration de Lucquin [24]. Par d´efinition deH₀¹(Ω), il suffit de d´emontrer le r´esultat pour v∈ D(Ω) et comme ces derni`eres fonctions s’annulent au voisinage de la fronti`ere de Ω, on peut les prolonger par 0 dans toutRⁿ. On supposera pour fixer les id´ees que Ω est born´e dans la direction x1 et donc que la composante x1 du support des fonctions v est inclus dans un intervalle ]a, b[. On a alors :

v(x₁,x⁰) = Z x1

a

∂v

∂x1

(u,x⁰)du carv(a,x⁰) = 0. L’in´egalit´e de Cauchy-Schwarz nous donne alors :

v(x1,x⁰)

2 ≤(x1−a) Z x1

a

∂v

∂x1

(u,x⁰)

2

du≤(b−a) Z b

a

∂v

∂x1

(u,x⁰)

2

du

Il reste `a int´egrer sur les autres variables d’espace, soit sur x<sup>0</sup>. On a ainsi, en vertu de la derni`ere

Une derni`ere int´egration par rapport `ax₁ donne :

||v||_0,Rn ≤(b−a)²

1||_0,Ω par prolongement par 0.

Les normes k · k_1,Ω et | · |_1,Ω sont donc des normes ´equivalentes sur les espaces H₀¹(Ω) et un r´esultat similaire existe pour H_Γ¹

0(Ω) (voir [24]). Le r´esultat est en g´en´eral faux pour H¹(Ω). F et de la norme induite :

kuk_2,Ω =

Les d´eriv´ees sont ici encore prises au sens des distributions. On a aussi : kuk²_2,Ω=kuk²_0,Ω+

Puisque l’on requiert que les d´eriv´ees d’ordre 2 soit dans L²(Ω), les fonctions de H²(Ω) sont plus r´eguli`eres que celles de H¹(Ω). Il en est de mˆeme pour la trace au bord.

D´efinition 2.21

Siw ∈H²(Ω), alors la fonction∂w/∂n d´efinie sur la fronti`ere Γ est appel´ee la trace normale de w au bord que l’on note γ₁(w). Rappelons que :

γ1(w) = ∂w

∂n =∇w·n o`u nest le vecteur normal unitaire `a Γ.

F Th´eor`eme 2.9

L’ensemble des traces au bord des fonctions deH²(Ω) forme un sous-espace deL²(Γ) not´eH^3/2(Γ).

Plus succinctement, on a :

γ₀(H²(Ω)) =H^3/2(Γ)$H^1/2(Γ)$L²(Γ) (2.35) De plus, l’ensemble des traces normales au bord des fonctions de H²(Ω) forme un sous-espace de L²(Γ) qui n’est autre que H^1/2(Γ). On a :

γ₁(H²(Ω)) =H^1/2(Γ)$L²(Γ) D´emonstration (voir Raviart-Thomas [29]). F

F Th´eor`eme 2.10

Si g ∈ H^3/2(Γ) et h ∈ H^1/2(Γ), alors il existe au moins une fonction wgh ∈ H²(Ω) (dite de rel`evement des conditions aux limites) dont g est la trace au bord c.-`a-d. :

γ₀(w_gh) = w_gh|_Γ=g et dont h est la trace normale au bord c.-`a-d.

γ1(wgh) = ∂w_gh

∂n Γ

=h De plus, on a la continuit´e de la trace au bord c.-`a-d. :

kγ₀(w)k_0,Γ+kγ₁(w)k_0,Γ=kgk_0,Γ+khk_0,Γ≤C kwk_2,Ω (2.36)

En dimension 1, on remplace tout simplement la normek · k_0,Γ par la valeur absolue.

D´emonstration (voir Raviart-Thomas [29]). F

Remarque 2.15

Ce r´esultat sera essentiel lors de l’imposition des conditions aux limites dans les ´equations aux d´eriv´ees partielles d’ordre 4. Nous supposerons de plus que le r´esultat est vrai lorsque les conditions aux limites surw et∂w/∂nne sont donn´ees que sur des parties de la fronti`ere Γ.

D´efinition 2.22

L’espace H₀²(Ω) est d´efini par : H₀²(Ω) =

w∈H²(Ω)

w= ∂w

∂n = 0 sur Γ

Il est de toute ´evidence possible de construire des variantes des espaces pr´ec´edents. Il s’agit de sous-espaces de H²(Ω) pour lesquels la fonction w et sa trace normale s’annulent seulement sur certaines parties de la fronti`ere. Par exemple, on pourrait prendre :

w∈H²(Ω)

w= 0 sur Γ0,∂w

∂n = 0 sur Γ1

o`u Γ<sub>0</sub> et Γ<sub>1</sub> sont des parties de la fronti`ere Γ disjointes ou non et qui ne recouvrent pas forc´ement toute la fronti`ere Γ.

F Th´eor`eme 2.11 L’expression :

|u|_2,Ω = Z

Ω

(∇²u)²dv 1/2

(2.37) est une norme sur l’espace H₀²(Ω).

D´emonstration (voir Ciarlet [9]). F

Remarque 2.16

Il est important de remarquer que tout comme la norme 2.32 n’est pas une norme sur H¹(Ω), la quantit´e 2.37 n’est pas une norme sur H²(Ω). Le r´esultat pr´ec´edent peut ´egalement s’´etendre au cas o`u la fonction et sa trace normale ne s’annnulent que sur des parties Γ0 et Γ1 respectivement.

Cette g´en´eralisation est cependant assez d´elicate.

La situation est plus simple en dimension 1 et on a par exemple : H²(]a, b[) =

w(x)∈L²(]a, b[)

w⁰(x)∈L²(]a, b[), w⁰⁰(x)∈L²(]a, b[) ainsi que :

H₀²(]a, b[) =

w(x)∈H²(]a, b[)

w(a) =w(b) =w⁰(a) =w⁰(b) = 0 La norme 2.37 se r´eduit dans ce cas `a :

|u|_2,]a,b[= Z b

a

(u⁰⁰(x))² dx ^1/2

(2.38)

F Th´eor`eme 2.12

La quantit´e 2.38 est une norme ´equivalente `a la norme k k_2,Ω sur l’espace H₀²(]a, b[) ainsi que sur les espaces suivants :

– V1 =

w∈H²(]a, b[)|w(a) =w(b) = 0 – V₂ =

w∈H²(]a, b[)|w(a) =w⁰(b) = 0 – V3 =

w∈H²(]a, b[)|w⁰(a) =w(b) = 0 – V4 =

w∈H²(]a, b[)|w(a) =w⁰(a) = 0 – V₅ =

w∈H²(]a, b[)|w(b) =w⁰(b) = 0 mais pas sur l’espace :

X=

w(x) =H²(]a, b[)

w⁰(a) =w⁰(b) = 0 Esquisse de la d´emonstration :

Les deux premi`eres propri´et´es d’une norme ne posent aucune difficult´e particuli`ere. Par contre, si |u|_2,]a,b[ = 0, on en d´eduit que u⁰⁰(x) = 0 (presque partout !) et donc que u(x) = cx+d. Les conditions aux limites permettent alors de montrer que u(x) = 0 lorsque u(x) ∈ V₁, V₂, V₃, V₄ ou V₅. Par contre, siu(x)∈X, on ne peut que conclure que u(x) =d.F

Remarque 2.17

On peut de mani`ere g´en´erale d´efinir les espaces H<sup>m</sup>(Ω) en ajoutant les d´eriv´ees partielles jusqu’`a l’ordre m.

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