Espaces fonctionnels lin´ eaires

D´efinition 2.10

Unespace fonctionnel lin´eaireest un ensembleS de fonctions d´efinies sur un ouvert Ω et v´erifiant : 1. Siu∈S etβ ∈R, alorsβu∈S;

2. Siu∈S etw∈S, alors (u+w)∈S; C’est donc un espace vectoriel de fonctions.

IExemple 2.13

L’ensemble des fonctions continues sur un ouvert Ω, not´e C⁰(Ω), est un espace fonctionnel lin´eaire.

De mˆeme, l’ensemble des fonctionskfois diff´erentiables, not´eC^k(Ω), est aussi un espace fonctionnel lin´eaire. Par contre, l’ensemble :

S ={u∈C⁰(Ω)|u(0) = 1}

n’est pas un espace fonctionnel lin´eaire. En effet, si u et w sont dans S alors leur somme v´erifie (u+w)(0) = 2 et la somme n’appartient donc pas `aS. J

L’un des espaces fonctionnels qui nous sera le plus utile est l’espace L²(Ω).

D´efinition 2.11

On note L²(Ω) l’ensemble des fonctions de carr´e sommable c.-`a-d.

L²(Ω) =

u: Ω→R Z

Ω

(u(x))² dv <∞

Remarque 2.7

La d´efinition pr´ec´edente est beaucoup plus subtile qu’elle n’y paraˆıt. La th´eorie de Lebesgue ne fait pas de distinction entre des fonctions qui ne diff`erent que sur un ensemble dit demesure nulle. Pour fixer les id´ees, mentionnons simplement qu’un ensemble de mesure nulle contient tr`es peu de points.

Les ensembles finis ou d´enombrables de points sont de mesure nulle. Par exemple, la fonction : f(x) =

0 si xest un nombre irrationnel 1 si xest un nombre rationnel

sera identifi´ee `a la fonction f(x) = 0 car les nombres rationnels sont d´enombrables et donc de mesure de Lebesgue nulle.

Par la suite, nous ne ferons pas de distinction entre 2 fonctions qui ne diff`erent que sur un ensemble de mesure nulle. On ´ecrira par exemple :

u₁p.p.

= u₂

signifiant ainsi que les fonctions u1 et u2 sont ´egales presque partout (p.p.) c.-`a-d. sauf peut-ˆetre sur un ensemble de mesure nulle.

F Th´eor`eme 2.2

L²(Ω) est un espace fonctionnel lin´eaire. F D´emonstration :

Pour d´emontrer que L²(Ω) est un espace fonctionnel, il nous faut ´etablir que si u est de carr´e sommable, alorsβu est de carr´e sommable. Mais :

Z

Ω

(βu(x))² dv =β² Z

Ω

(u(x))² dv <∞

et la premi`ere propri´et´e est d´emontr´ee. La deuxi`eme propri´et´e concernant la somme de 2 fonctions requiert un r´esultat pr´eliminaire qui lui-mˆeme est tr`es important.

♣Lemme 2.2 (In´egalit´e de Cauchy-Schwartz) Siu etw sont des fonctions deL²(Ω), alors :

Z

Ω

uw dv

≤ Z

Ω

u²dv

1/2Z

Ω

w²dv 1/2

(2.20) D´emonstration :

Soit tun nombre r´eel quelconque. La fonction (u+tw)² ´etant positive quel que soitt, on a : 0≤

Z

Ω

(u+tw)² dv ∀t∈R ce qui peut ´egalement s’´ecrire :

0≤ Z

Ω

u²dv+ 2t Z

Ω

uw dv+t² Z

Ω

w²dv ∀t∈R ou encore :

0≤At²+Bt+C ∀t∈R

o`u :

Il s’agit donc d’un polynˆome de degr´e 2 en la variabletqui est toujours positif. Cela n’est possible que si le discriminant B² −4AC est n´egatif ou nul c.-`a-d. B² −4AC ≤ 0. En rempla¸cant les valeurs de A, B et C, on trouve imm´ediatement l’in´egalit´e de Cauchy-Schwartz ce qui termine la d´emonstration du lemme.♣

Nous sommes en mesure de d´emontrer que la somme de deux fonctions deL²(Ω) est ´egalement dansL²(Ω). En effet : ce qui compl`ete la d´emonstration du th´eor`eme.

♠Corollaire 2.1

On a l’inclusionL²(Ω)⊂L¹_loc(Ω).

D´emonstration :

Ce r´esultat d´ecoule de l’in´egalit´e de Cauchy-Schwartz. En effet, si f(x) ∈ L²(Ω) et si A est un compact inclus dans Ω, alors :

Z

o`u vol A est le volume de A (ou l’aire suivant la dimension) qui est forc´ement fini. Les fonctions de L<sup>2</sup>(Ω) sont en quelque sorte encore plus r´eguli`eres que celles de L¹_loc(Ω) comme en t´emoigne la figure2.7.♠

IExemple 2.14

D(Ω) L²(Ω) L¹_loc(Ω)

Figure 2.7 – Espace L²(Ω)

Choisissons, pour les exemples qui suivent, Ω =]0,1[. La fonction f(x) =x^−1/4 est dans L²(]0,1[), et ce mˆeme si elle n’est pas continue enx= 0. En effet :

Z 1 0

(x^−1/4)² dx= Z 1

0

x^−1/2 dx= 2<∞

Par contre, la fonctionf(x) =x^−1/2 n’appartient pas `aL²(]0,1[) car : Z 1

0

(x^−1/2)² dx= Z 1

0

x⁻¹dx= lnx|¹₀ =∞

Toutefois, si on choisit un intervalle ]a, b[ ne comprenant pas l’origine, la fonctionf(x) =x^−1/2 sera dansL²(]a, b[). J

La notion d’espace fonctionnel lin´eaire n’est pas suffisante pour atteindre notre objectif de r´esoudre les ´equations aux d´eriv´ees partielles. Il nous faut introduire une m´etrique sur les espaces fonctionnels qui nous permettra de traiter ais´ement des questions de convergence des m´ethodes d’´el´ements finis. Une m´etrique permet de mesurer la «distance»entre 2 fonctions. Auparavant, nous d´efinissons le produit scalaire dans un espace fonctionnel qui nous m`enera `a la notion de m´etrique et donc de norme.

D´efinition 2.12

Un produit scalaire sur un espace fonctionnel lin´eaireS est une application d´efinie sur le produit S×S qui associe `a un couple (u, w) deS×S un scalaire not´e ((u, w))_S et v´erifiant les propri´et´es suivantes :

1. ((u, w))S = ((w, u))S ∀u, w ∈S;

2. ((βu, w))S = ((u, βw))S=β((u, w))S ∀β∈R et∀u, w∈S; 3. ((u₁+u₂, w))_S= ((u₁, w))_S+ ((u₂, w))_S ∀u₁, u₂, w∈S;

4. ((u, u))_S ≥0, le produit scalaire n’´etant ´egal `a 0 que si et seulement si up.p.

= 0 ;

L’espace des fonctions de carr´e sommable L²(Ω) fournit un premier exemple de produit scalaire.

On d´efinit en effet le produit scalaire dans cet espace fonctionnel par : ((u, w))_0,Ω=

Z

Ω

uw dv (2.21)

et on v´erifie relativement facilement les 4 propri´et´es du produit scalaire. En fait, seule la derni`ere pose des difficult´es puisque ((u, u))0,Ω peut ˆetre nul et ce, mˆeme si u ne s’annule pas en quelques points (plus pr´ecis´ement sur un ensemble de mesure nulle). En pratique, comme nous l’avons d´ej`a mentionn´e, on ne fait pas de distinction entre 2 fonctions qui ne diff`erent que sur un ensemble de mesure nulle.

D´efinition 2.13

Unenormesur un espace fonctionnel lin´eaireS est une application deS dansR qui associe `a une fonctionu de S un scalaire not´ekuk_S et qui v´erifie les trois propri´et´es suivantes :

1. La norme d’une fonction est toujours positive :

kuk_S >0, ∀u∈S; kuk_S = 0⇔up.p.

= 0 (2.22)

2. Siβ est un scalaire, alors :

kβuk_S =|β| kuk_S ∀β ∈R, ∀u∈S (2.23) o`u |β|est la valeur absolue de β.

3. L’in´egalit´e triangulaire:

ku+wk_S ≤ kuk_S+kwk_S ∀u, w∈S (2.24)

Toute application v´erifiant ces trois propri´et´es est une norme. Un espace lin´eaire peut poss´ e-der plusieurs normes. En particulier, si un espace lin´eaire poss`ede un produit scalaire, il poss`ede automatiquement une norme diteinduite.

D´efinition 2.14

La norme induite sur l’espaceS par le produit scalaire ((·,·))_S est d´efinie par : kuk_S = ((u, u))^1/2_S

Il est facile de v´erifier que la norme induite est bel et bien une norme. Nous avons d´ej`a introduit un produit scalaire sur L²(Ω) par la relation 2.21. La norme induite par ce produit scalaire est donc :

kuk_0,Ω= ((u, u))^1/2_0,Ω= Z

Ω

u²dv 1/2

(2.25) ce qui semble raisonnable, vu la d´efinition de cet espace. Suivant cette notation, l’in´egalit´e de Cauchy-Schwartz s’´ecrit plus succinctement sous la forme :

|((u, w))_0,Ω| ≤ kuk_0,Ωkwk_0,Ω (2.26) Remarque 2.8

Pour en finir avec la notion d’espace fonctionnel lin´eaire, il nous faudrait parler de la compl´etude d’un espace. Pour ce faire, il faut d´efinir la notion de suite de Cauchy et s’assurer que toute suite de Cauchy est convergente dans S. On dit alors que l’espace S est complet. Encore ici, cela nous entraˆınerait dans des consid´erations non essentielles `a une bonne compr´ehension de la suite.

D´efinition 2.15

Un espace fonctionnel lin´eaire muni d’un produit scalaire (et donc d’une norme induite) et qui est complet est un espace de Hilbert.

F Th´eor`eme 2.3

L’espace lin´eaireL²(Ω) muni du produit scalaire 2.21 est un espace de Hilbert.F

Les espaces de Hilbert jouent un rˆole fondamental en ´el´ements finis ainsi que certains espaces de Sobolev que nous introduisons dans la section suivante.

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