Probl` eme type

Nous consid`ererons l’´equation aux d´eriv´ees partielles suivante :















p(x)u(x)−∇·(q(x)∇u) = r(x) dans Ω u(x) = g(x) sur Γ₀ q(x)∂u

∂n = h(x) sur Γ₁

(6.1)

On suppose que la fonction p(x) est positive ou nulle et que 0< q1 ≤q(x)≤q2 sur le domaine Ω.

Nous supposerons de plus que les fronti`eres Γ0 et Γ1 constituent une partition de la fronti`ere Γ du domaine c.-`a-d. Γ<sub>0</sub>∩Γ<sub>1</sub> = ∅ et Γ<sub>0</sub> ∪Γ<sub>1</sub> = Γ . Il faut de plus sp´ecifier la r´egularit´e des conditions aux limites. Puisqu’il s’agit d’un probl`eme d’ordre 2, on travaillera dans H¹(Ω) et l’imposition de u(x) sera l’unique condition essentielle. Il s’en suit que l’espace fonctionnel appropri´e est l’espace H_Γ¹

0(Ω). On doit donc supposer queg(x)∈H^1/2(Γ₀) ce qui nous permettra d’effectuer le rel`evement de la condition aux limites essentielle par une fonction ug(x) deH¹(Ω).

Sous ces conditions, les hypoth`eses du th´eor`eme de Lax-Milgram sont v´erifi´ees. On obtient de plus la formulation variationnelle (laiss´ee en exercice) :

137

♠ Trouverδu(x)∈H_Γ¹₀(Ω) telle que :

a(δu, w) =l(w)−a(ug, w) ∀w(x)∈H_Γ¹₀(Ω) o`u :

a(δ_u, w) = Z

Ω

(p(x)δ_u(x)w(x) +q(x)∇δ_u·∇w) dv et :

l(w) = Z

Ω

r(x)w(x)dv+ Z

Γ1

h(x)w(x)ds Ce probl`eme g´en´eralise naturellement le probl`eme5.1 du chapitre5.

6.2 Le maillage

Il est de toute ´evidence plus difficile de concevoir un maillage en dimension 2 ou 3. En effet, d´ecouper un domaine de forme quelconque en sous-domaines de formes g´eom´etriques simples n’est pas une mince tˆache. Plusieurs techniques de g´en´eration de maillage existent avec des avantages et inconv´enients de toutes sortes. Nous ne mentionnerons `a ce sujet que le mailleur GMSH disponible gratuitement `a l’adresse :

http://geuz.org/gmsh/

qui produit des maillages de triangles en dimension 2 et de t´etra`edres en dimension 3.

Dans la majeure partie de ce chapitre, nous nous limiterons `a des maillages tr`es simples compor-tant peu d’´el´ements. Les applications de fin de chapitre permettront au lecteur de voir des exemples concrets et relativement r´ealistes.

Avant de parler de maillage, il faut d´ecider de la forme g´eom´etrique des ´el´ements. En dimension 1, ce choix est facile mais d´ej`a en dimension 2, des variantes existent. Il faut choisir une forme g´eom´etrique simple. En dimension 2 nous consid`ererons les triangles et les quadrilat`eres tandis qu’en dimension 3 nous nous limiterons aux t´etra`edres. En fait, la vaste majorit´e des mailleurs modernes produisent des triangles en dimension 2 et des t´etra`edres en dimension 3. Il est en effet beaucoup plus difficile de d´ecomposer un domaine en quadrilat`eres (en dimension 2) et en hexa`edres (en dimension 3).

La forme g´eom´etrique des ´el´ements ´etant choisie, on suppose que nous avons un maillage com-portantnel ´el´ements tel qu’illustr´e `a la figure 6.10.

6.2.1 Les noeuds

Sur chaque ´el´ementK, on d´efinitn^K_g noeuds g´eom´etriques. Tr`es souvent, les noeuds g´eom´etriques correspondent aux sommets du triangle, du quadrilat`ere ou du t´etra`edre. Le choix des noeuds g´eom´etriques d´eterminera la transformation `a l’´el´ement de r´ef´erence.

Comme en dimension 1, on introduit ´egalement les nC noeuds de calcul o`u on ´evaluera les valeurs des variables essentielles du probl`eme. On supposera ici encore, bien que ce ne soit pas absolument n´ecessaire, que les noeuds de calcul comprennent les noeuds g´eom´etriques. Le nombre total de noeuds de l’´el´ementK est not´en^K_c .

On place les coordonn´ees de tous les noeuds (g´eom´etriques et/ou de calcul) du maillage dans le tableau coor de dimension nnoeuds multipli´ee par la dimension d’espace d(d= 2 ou d). Enfin, le tableau de connectivit´e des noeuds connec contient, pour chaque ´el´ement K les num´eros de ses n^K_c noeuds de calcul (en pla¸cant les noeuds g´eom´etriques en premier).

6.2.2 Les degr´es de libert´e

On associe `a chaque noeud de calcul un certain nombre de degr´es de libert´e (au total n<sup>K</sup><sub>d</sub> sur chaque ´el´ement), d´ependant du nombre de variables essentielles du probl`eme. Ici encore, on num´erotera en dernier les degr´es de libert´e qui sont impos´es par les conditions aux limites essentielles du probl`eme donn´e. On a donc la partition :

U =









 u₁ u2

... unddl











=







 U^I

U^C









o`u nddld´esigne le nombre total de degr´es de libert´e du maillage.

Rappelons qu’on associe `a chaque degr´e de libert´e une fonction de Ritz qui sera construite

´

el´ement par ´el´ement. La m´ethode de Ritz-Galerkin nous m`enera `a la r´esolution d’un syst`eme lin´eaire global de la forme :

AδU =F +S (6.2)

suivant une notation similaire `a celle des ´el´ements unidimensionnels (voir la relation 5.19).

6.2.3 Num´erotation des degr´es de libert´e

S’il est relativement simple de num´eroter les degr´es de libert´e en dimension 1, il faut ˆetre beau-coup plus prudent en dimension sup´erieure. En effet, cette num´erotation a une influence majeure sur la structure de la matrice globale qui sera assembl´ee. Nous avons vu que les matrices engendr´ees par la m´ethode des ´el´ements finis sont creuses c.-`a-d. contiennent une part importante de z´eros.

Cette structure d´epend directement du tableau adres qui d´etermine si un degr´e de libert´e i est connect´e ou non `a un autre degr´e de libert´ej. Si tel est le cas, le coefficienta<sub>ij</sub> de la matrice globale sera non nul. Sinon, on a tout simplementaij = 0. Pour que 2 degr´es de libert´e soient connect´es, il faut et il suffit qu’ils apparaissent tous deux dans une mˆeme ligne du tableauadres. C’est une autre fa¸con de dire que les supports des fonctions de Ritz associ´ees `a ces degr´es de libert´e s’intersectent.

Introduisons imm´ediatement un peu de terminologie. On d´efinit la largeur de bande de la ligne idu syst`eme6.2 par la relation :

l_i= max

j≥i|a_ij6=0(j−i+ 1)

Il s’agit tout simplement de la distance entre la diagonale de la matrice et le dernier terme non nul de la ligne i. En d’autre termes, a_ij = 0 pour j ≥i+l_i. De mˆeme, la largeur de bande maximale l_max est la plus grande valeur des l_i c.-`a-d. :

lmax= max

i li

Il est important de concentrer les termes non nuls de la matrice au voisinage de la diagonale principale de fa¸con `a diminuer l’espace-m´emoire requis. Cela revient `a minimiser les largeurs de bande. On obtient ainsi une matrice dite matrice bande ou plus pr´ecis´ement une matrice dite en ligne de ciel. Cela est particuli`erement important si on utilise une d´ecomposition LU pour la r´esolution du syst`eme lin´eaire global. En effet, cette m´ethode pr´eserve la structure bande de la matrice de sorte que l’on peut stocker la d´ecompositionLU sans augmenter la m´emoire n´ecessaire.

Sur chaque ligne du syst`eme, les termes au del`a d’une distance li de la diagonale sont nuls et resteront nuls apr`es la d´ecomposition LU. Il suffit pour s’en convaincre de regarder l’algorithme de la d´ecomposition LU (voir Fortin, r´ef.[17]) :

l_ij =a_ij −

j−1

X

k=1

l_iku_kj et u_ij = a_ij−

i−1

X

k=1

l_iku_kj lii

En pratique, on donne une num´erotation quelconque des degr´es de libert´e dans le tableau numer. Par la suite, on passe les tableaux numer et connec `a un programme d’optimisation qui renum´erotera les degr´es de libert´e (en modifiant le tableaunumer) et cr´eera le tableauadressuivant un certain crit`ere d’optimisation. On voudra par exemple minimiser la largeur de bande maximale l_max de la matrice ou encore minimiser :

X

i

li

qui est une indication de l’espace-m´emoire n´ecessaire. Diff´erents algorithmes de num´erotation des degr´es de libert´e existent et nous ne mentionnerons que celui de Cuthill-McKee [22].

Pour illustrer ce point, on pr´esente `a la figure 6.1 un exemple typique de matrice creuse (de dimension 60 par 60) semblables `a celles obtenues par ´el´ements finis. On indique seulement les termes non nuls par un point. Si on renum´erote les degr´es de libert´e `a l’aide de l’algorithme de Cuthill-McKee, on obtient la deuxi`eme matrice de la figure6.1. On remarque ais´ement la diminution de la largeur de bande entre les deux matrices illustr´ees. Ainsi, entre les deux num´erotations (entre les deux vecteurs numer), la largeur de bande maximale l_max est pass´ee de 35 `a 12. Il en r´esulte une ´economie d’espace-m´emoire et g´en´eralement une plus grande rapidit´e de r´esolution du syst`eme lin´eaire.