El´ ´ ements finis multidimensionnels
6.11 Exemples et applications
Dans cette section, nous pr´esentons quelques exemples simples sur des maillages de petite taille pour illustrer la m´ethode et les diff´erentes ´etapes `a suivre. Nous terminons par des applications dans diff´erents domaines.
IExemple 6.5
Nous pouvons d`es maintenant passer `a un exemple relativement simple. La g´eom´etrie du domaine est le carr´e [0,1]2. On r´esoudra l’´equation de Poisson :
−∇2u(x) = 1
avec des conditions essentielles homog`enes sur toute la fronti`ere (ug(x) = 0).
1 2 3
11 12 13
6 8
4 5
9 10
7
K1
K2
K3
K14
K15
K16
K5 K10
K13
K4 K6
K11
K7
K8
K9
K12
Figure 6.10 – Num´erotation des ´el´ements et des noeuds
– Le maillage
On utilise le maillage de la figure6.10 constitu´e de 16 ´el´ements et de 13 noeuds. Nous choi-sissons une interpolation lin´eaire sur chaque ´el´ement (nC =nKg = 3). Le tableau coor prend la forme :
Coordonn´ees des noeuds Tableau coor
Noeud Composante x1 Composante x2 Noeud Composantex1 Composantex2
1 0,0000 0,0000 8 1,0000 0,5000
2 0,5000 0,0000 9 0,3333 0,6667
3 1,0000 0,0000 10 0,6667 0,6667
4 0,3333 0,3333 11 0,0000 1,0000
5 0,6667 0,3333 12 0,5000 1,0000
6 0,0000 0,5000 13 1,0000 1,0000
7 0,5000 0,5000
Num´eros des noeuds Tableauconnec
Noeuds Noeuds
El´´ ement #1 #2 #3 El´´ ement #1 #2 #3
1 1 2 4 9 5 10 7
2 2 5 4 10 8 10 5
3 2 3 5 11 11 6 9
4 6 1 4 12 10 9 7
5 3 8 5 13 8 13 10
6 6 4 9 14 12 11 9
7 9 4 7 15 12 9 10
8 4 5 7 16 13 12 10
On construit le tableau numer en 2 ´etapes en ´evitant dans un premier temps de num´eroter les degr´es de libert´e qui sont fix´es par les conditions aux limites essentielles. On obtient ainsi :
Num´erotation Tableaunumer
Noeud u
1 ?
2 ?
3 ?
4 1
5 2
6 ?
7 3
8 ?
9 4
10 5
11 ?
12 ?
13 ?
−→
Num´erotation Tableaunumer
Noeud u
1 6
2 7
3 8
4 1
5 2
6 9
7 3
8 10
9 4
10 5
11 11
12 12
13 13
Enfin, on peut d´eterminer le tableau d’adressage adres `a l’aide des tableaux de connectivit´e connec et de num´erotationnumer(voir les exercices de fin de chapitre) :
Num´eros des ddls
– Les syst`emes ´el´ementaires
Il reste `a construire les syst`emes ´el´ementaires. On peut directement utiliser la relation 6.11 puisque dans cet exemple, p(x) = 0, ug(x) = 0 et qK = fK = 1 pour tous les ´el´ementsK.
La num´erotation des noeuds (et donc des degr´es de libert´e) fait en sorte qu’on obtient exac-tement le mˆeme syst`eme ´el´ementaire pour les ´el´ements 5, 11, et 16.
Ici encore, le mˆeme syst`eme ´el´ementaire est aussi valable pour les ´el´ements 6, 10 et 15.
Pour le troisi`eme ´el´ement (ainsi que pour les ´el´ements 4, 13 et 14), on a :
– L’assemblage
Un syst`eme lin´eaire de dimension 13 par 13 doit ˆetre assembl´e `a partir des syst`emes ´el´ emen-taires que nous venons d’obtenir. On utilise exactement la mˆeme technique qu’en dimension 1 et nous nous limiterons `a en rappeler bri`evement les principales ´etapes. `A l’aide du tableau adres, on ´ecrit le syst`eme ´el´ementaire du premier ´el´ement sous la forme :
1
On fait de mˆeme pour tous les ´el´ements et on obtient (en exercice) :
1
qui est encore ici de la forme de la partition 5.19.
– Imposition des conditions aux limites
Pour ce probl`eme, les conditions aux limites essentielles sont homog`enes (nulles). Les incon-nues u6 jusqu’`a u13 prennent donc la valeur 0.
Il reste `a consid´erer le vecteur S des conditions naturelles. En principe, le vecteur SC est connu mais cela ne semble pas ´evident lorsqu’on regarde le syst`eme global obtenu. Il faut donc y regarder de plus pr`es. Consid´erons donc l’expression :
s1 =sK31 +sK34+sK32 +sK26+sK27 +sK18
Le raisonnement qui suit pourra s’appliquer aux termess2 jusqu’`a s5. On a : sK31 =
Z
∂K1
sK1(x)ψ3K1(x)ds en rappelant que puisqueq(x) = 1 :
sK1 = ∂u 1 sur le troisi`eme sommet de l’´el´ementK1 et s’annule sur les 2 autres sommets. Elle s’annule donc identiquement sur le cˆot´e C1K1 entre les sommets 1 et 2 ce qui permet d’´eliminer le premier terme de cette derni`ere expression. Il en est de mˆeme pour les autres coefficients et on a : que l’on regroupe de la mani`ere suivante :
s1 =
Regardons les deux premiers termes. La simplification est imm´ediate si on constate `a l’aide
terme qui fait intervenir le saut de la variable secondaire `a l’interface entre ces 2 ´el´ements adjacents. En se rappelant la relation2.19, on constate que ce saut est nul car autrement un terme source (une simple couche) serait pr´esent `a cet endroit. Il en va de mˆeme pour les 5 autres couples d’int´egrales curvilignes et par cons´equent, on as1 = 0. Le mˆeme raisonnement montrerait que les termess2 `a s5 sont ´egalement nuls (voir les exercices de fin de chapitre).
– Solution du syst`eme lin´eaire
Il r´esulte de tout cela un syst`eme lin´eaire de dimension 5 que l’on peut r´esoudre par d´ ecom-positionLU. Pour ce faire, on r´esout successivement les ´equations 6.14 et6.15. On obtient ainsi :
Une fois cette ´etape franchie, on peut calculer (au besoin) le vecteurSI par la relation6.15.
Le calcul nous donne le vecteur :
SI=
Il peut ˆetre int´eressant de regarder d’un peu plus pr`es l’interpr´etation de ce vecteur sou-vent appel´e vecteur des r´eactions. On v´erifie sans difficult´e que la somme de ce vecteur est
−0,999 998 519, la question ´etant de savoir pourquoi. Consid´erons le premier terme de ce vecteur qui s’´ecrit :
sK11+sK24 =
o`u φ1(x) est la fonction de Ritz associ´ee au noeud 1 du maillage c.-`a-d. la fonction lin´eaire par ´el´ement qui vaut 1 au noeud num´ero 1 et qui vaut 0 `a tous les autres noeuds. Il en est de mˆeme pour toutes les autres composantes du vecteur SI qui valent donc respectivement :
Z
∂Ω
∂u
∂nφi(x)ds, pouri= 1,2,3,6,8,11,12 et 13
Il est ainsi facile de constater que lorsque l’on somme le vecteur SI, on obtient : Z et la somme du vecteurSI est une tr`es bonne approximation.
– Pr´esentation des r´esultats
On pr´esente les r´esultats `a la figure 6.11. On peut y constater la simplicit´e de mˆeme que la sym´etrie de la solution. On aurait pu en fait limiter les calculs au quart de la g´eom´etrie initiale. On aurait ainsi gagn´e en pr´ecision.
J
IExemple 6.6
Nous sommes maintenant en mesure d’aborder un probl`eme plus r´ealiste, mais aussi de plus grande taille. Nous ne pourrons plus expliciter les d´etails de tous les calculs. On consid`ere un probl`eme de
Figure 6.11 – Isovaleurs de la fonctionu(x) et vue tridimensionnelle
(0,0) (0,3)
(0,6) (6,6)
(6,4)
(6,2)
(6,0) T = 100
T = 100
q= 1
q= 0.2
q∇T·n= 1
q∇T·n= 1 q∇T·n= 0
q∇T·n= 0 q∇T·n= 0
q∇T ·n= 0
q∇T ·n= 0
Figure 6.12 – G´eom´etrie et conditions aux limites
Figure 6.13 – Transfert thermique
transfert de chaleur dans une plaque m´etallique constitu´ee de 2 mat´eriaux de conductivit´e thermique diff´erente tel qu’illustr´ee `a la figure 6.12.
La partie gauche de la plaque est maintenue `a une temp´erature de 100oC (condition aux limites essentielle) et elle est suppos´ee parfaitement isol´ee sur les parois sup´erieure et inf´erieure de mˆeme que dans la partie en forme de U (condition aux limites naturelle nulle). Enfin, un flux de chaleur de 1 est impos´ee aux deux extr´emit´es `a droite. Ce probl`eme requiert la solution de l’´equation de la chaleur :
−∇·(q(x)∇T) = 0 o`u q(x) est la conductivit´e thermique.
On a r´esolu ce probl`eme sur le maillage de la figure 6.13. La transformation vers l’´el´ement de r´ef´erence est lin´eaire (voir la figure6.7) tandis que les fonctions d’interpolation ˆψsont quadratiques (voir le tableauC.4) Le maillage est constitu´e de 4992 triangles (2633 sommets et 7624 arˆetes) ce qui r´esulte en un syst`eme lin´eaire de 10 257 degr´es de libert´e.
Les isovaleurs de temp´erature sont ´egalement illustr´ees sur cette figure. On constate ais´ement la diff´erence de comportement entre les deux moiti´es du domaine. La partie de la plaque o`u la conductivit´e thermique est la plus grande (moiti´e sup´erieure) ´evacue la chaleur beaucoup plus facilement, ce qui ´evite une augmentation de la temp´erature. La temp´erature en sortie (sur l’axe x= 6) est d’un peu moins de 126°C sur la partie inf´erieure et de 105,2°C sur la partie sup´erieure.
J
Kˆ
(0,0) 1
(1,0) 2 (0,1)
3
(13,0) 4
(23,0) 5
(23,13) 6
(13,23) (0,23) 8 7
(0,13) 9 10
ξ η
Figure 6.14 – ´El´ement de r´ef´erence triangulaire de degr´e 3 (nKg = 10)
6.12 Exercices
1. Obtenir la formulation variationnelle ´el´ementaire de la page141.
2. V´erifier les relations entre le jacobien JK et l’aire (page 147) en dimension 2 et le volume (page 150) en dimension 3 pour les transformations lin´eaires de l’´el´ement r´eel vers l’´el´ement de r´ef´erence.
3. Construire le tableauadres de la page155.
4. Assembler le syst`eme ´el´ementaire de la page157.
5. Dans le terme de droiteS du syst`eme de la page 157, v´erifier que s3 = 0.
6. Toujours dans le terme de droite S du syst`eme de la page157, simplifier au maximum l’ex-pression de s6 ets7.
7. Obtenir les coefficientsaK11etaK12dans la relation6.11`a partir de la formulation variationnelle
´el´ementaire6.9.
8. Une formulation variationnelle fait apparaˆıtre le terme suivant dans un domaine bidimension-nel :
Z
K
q(x)∇ψjK(x)·∇ψKi (x)dv
o`uKest un ´el´ement triangulaire (`a cˆot´es droits) et lesψiK(x) sont les fonctions d’interpolation quadratiques (P2). Donner le nombre de points d’int´egration minimal permettant d’´evaluer exactement ce terme siq(x) est lin´eaire dans l’´el´ement. Mˆeme question si cette fois on a un
´el´ement quadrangulaire (`a cˆot´es droits) et des fonctions d’interpolation Q2.
(0,0)
(3,2)
1 2 3
4 5 6
7 8 9
10 11 12 (2.25,1.75)
Figure 6.15 – Maillage et num´eros de degr´es de libert´e
9. La figure 6.14 illustre un ´el´ement bidimensionnel de degr´e 3 de type Lagrange. Donner l’ex-pression de la fonction ˆψ4(ξ, η).
10. On donne le maillage de la figure6.15. Le tableau de connectivit´e est :
Connectivit´e Tableauconnec
El´´ ement Noeud #1 Noeud #2 Noeud #3
1 1 4 5
2 1 5 2
3 2 5 6
4 2 6 3
5 4 7 8
6 4 8 5
7 5 8 9
8 5 9 6
9 7 10 11
10 7 11 8
11 8 11 12
12 8 12 9
Une condition de Dirichlet homog`ene a ´et´e impos´ee sur la paroi de droite (degr´es de libert´e 10 `a 12) et des conditions de Neumann sur les 3 autres parois. On a utilis´e des ´el´ements triangulaires lin´eaires et le tableau d’adressage est le mˆeme que le tableau de connectivit´e.
(2,1)
Apr`es avoir r´esolu le probl`eme, on a trouv´e la solution :
U =
a) Donnez l’expression de la transformation lin´eaireTK12 qui envoie l’´el´ement de r´ef´erence sur le douzi`eme ´el´ement. servant de la figure 6.16.
Remarque : Il vous faudra inverser la transformation g´eom´etriqueTK appropri´ee pour d´ e-terminer `a quelle coordonn´ee de l’´el´ement de r´ef´erence correspond le point (4,3).