Principes g´ en´ eraux

Une fois le probl`eme formul´e sous forme variationnelle, il reste `a le discr´etiser c.-`a-d. `a le faire passer d’un probl`eme de dimension infinie `a un probl`eme approch´e de dimension finie. Ce probl`eme discr´etis´e sera ensuite r´esolu par les techniques d’alg`ebre lin´eaire classiques : r´esolution de syst`emes alg´ebriques lin´eaires ou non lin´eaires, de probl`emes aux valeurs propres, etc.

La m´ethode de Ritz est une technique de discr´etisation de probl`emes variationnels et est en quelque sorte le pr´ecurseur de la m´ethode des ´el´ements finis. Soit donc un probl`eme variationnel v´erifiant les hypoth`eses du th´eor`eme de Lax-Milgram :

♠trouveru∈V telle que :

a(u, w) =l(w) ∀w∈V (4.1)

o`u la fonction u v´erifie les conditions aux limites essentielles homog`enes (le cas des conditions aux limites non homog`enes n´ecessite la construction d’une fonction de rel`evementu_gmais ne pose pas de difficult´es th´eoriques suppl´ementaires). On se donne maintenantN fonctionsφ_j ∈V, j = 1,2,· · · , N appel´eesfonctions d’interpolation de Ritzou plus simplement fonctions de Ritzv´erifiant elles aussi les conditions essentielles homog`enes. On suppose ensuite que l’on peut ´ecrire :

u(x)'u^N(x) =

N

X

j=1

u_jφ_j(x) (4.2)

Dans cette expression, les N coefficients u_j sont `a d´eterminer et le probl`eme est maintenant de dimension finieN. L’ensemble de toutes les combinaisons lin´eaires possibles des fonctionsφj forme un sous-espace de dimension N de V not´e V^N (toujours en supposant que les fonctions φ_j sont choisies dans V d`es le d´epart et qu’elles sont lin´eairement ind´ependantes). On consid`ere donc l’approximation suivante du probl`eme variationnel4.1:

♠trouveru^N ∈V^N telle que :

a(u^N, w^N) =l(w^N) ∀w^N ∈V^N (4.3)

63

ou encore : La bilin´earit´e de anous permet d’´ecrire :

N

X

j=1

u_ja(φ_j, w^N) =l(w^N) ∀w^N ∈V^N

On va maintenant construire un syst`eme lin´eaire (parce que le probl`eme de d´epart 4.1est lin´eaire) dont les inconnues sont les coefficients uj. Soit donc N nouvelles fonctions ˜φi, i = 1,2,· · · , N appartenant `a l’espace V^N. Puisque l’´equation pr´ec´edente est vraie quelle que soit la fonction w^N ∈V^N, elle est valide pour chacune des fonctions ˜φ_i et on a :

o`u la matrice A et les vecteursU etF ont pour coefficients :



Si les fonctions φ_j et ˜φ_i sont bien choisies, ce syst`eme lin´eaire est inversible et on peut d`es lors d´eterminer les inconnues ui et ainsi obtenir une approximation u^N(x) de la fonction u par la relation4.2. Un choix naturel pour les fonctions ˜φ_i consiste `a prendre tout simplement ˜φ<sub>i</sub> =φ<sub>i</sub>, et ce pour tout i. C’est la m´ethode de Ritz ou m´ethode de Rayleigh-Ritz. Dans le cas o`u ˜φ_i 6=φ_i, on parle de la m´ethode de Petrov-Galerkin.

Dans cet ouvrage, nous insisterons davantage sur la m´ethode de Ritz, bien qu’il existe des applications int´eressantes de la m´ethode de Petrov-Galerkin, notamment pour les probl`emes de convection-diffusion.

Remarque 4.1

On remarque que le coefficientA_ij du syst`eme lin´eaire4.4 est de la forme : A_ij =a(φ_j,φ˜_i)

Lorsque la forme bilin´eaire est sym´etrique, il n’y a pas de confusion possible mais dans le cas g´en´eral, il faut faire attention `a l’ordre des indicesietj.

4.2 Exemples

Nous voyons dans cette section quelques exemples d’applications de la m´ethode de Ritz. Nous en profiterons au passage pour mettre en ´evidence les forces et ´eventuellement les faiblesses de cette approche.

IExemple 4.1

Consid´erons le probl`eme en dimension 1 :















−u⁰⁰(x) = ln(x) dans ]0,1[

u(0) = 0 du

dx(1) = 1

Puisque la seule condition essentielle (sur u) est nulle, le rel`evement est inutile (ug = 0) et on peut travailler directement avec u qui, dans ce cas, sera ´egal `a δ_u. La formulation variationnelle correspondante (laiss´ee en exercice) est :

♠trouveru∈V =

w∈H¹(]0,1[|w(0) = 0 Z 1

0

u⁰(x)w⁰(x)dx=w(1) + Z 1

0

ln(x)w(x)dx ∀w∈V (4.5)

Les fonctionsφ_j doivent appartenir `a l’espaceV et v´erifier les conditions aux limites essentielles homog`enes. Dans ce cas, il suffit d’avoir φj(0) = 0. Cela mis `a part, ce choix est arbitraire si on s’assure que φ_j ∈V. On peut prendre par exemple :

φj(x) =x^j

et on s’assure facilement que toutes les conditions sont bien remplies. Le coefficient g´en´eral de la matriceA pour la m´ethode de Ritz est donc :

aij = Z 1

0

φ⁰_j(x)φ⁰_i(x)dx= Z 1

0

ijx^i+j−2dx= ij i+j−1 tandis que le vecteurF a pour coefficients :

fi =φi(1) + Z 1

0

ln(x)φi(x)dx= 1 + Z 1

0

ln(x)xⁱ dx= 1− 1 (i+ 1)²

Ce syst`eme lin´eaire est ensuite r´esolu par les techniques habituelles de d´ecompositionLU (voir par exemple Fortin, r´ef. [17]). En faisant varier la tailleN, si tout se passe bien, on doit se rapprocher d’une ´eventuelle solution analytique. Dans cet exemple, cette solution est :

u(x) = 3x² 4 −1

2x²lnx

dont la d´eriv´ee est :

u⁰(x) =x−xlnx

et on s’assure facilement que l’´equation diff´erentielle ainsi que les conditions aux limites sont v´ e-rifi´ees. En se servant du logiciel Matlab [25], on a r´esolu ce syst`eme pour obtenir les r´esultats de la figure 4.1 pour N = 1,3 et 5. On y a superpos´e la solution analytique u(x) (en trait plein) et la solution num´erique u^N(x). Il est aussi int´eressant de regarder le comportement de u⁰(x) et (u^N)⁰(x). On remarque imm´ediatement qu’il est plus difficile d’approcheru⁰(x). On peut affirmer que ce comportement est assez g´en´eral. Nous en reparlerons lorsque nous aborderons les questions de convergence.

Enfin, il ne faut pas se leurrer sur la taille du syst`eme lin´eaire n´ecessaire pour obtenir une bonne approximation de u(x). Dans cet exemple, une dimension de 5 semble suffire mais ce n’est certes pas toujours aussi facile... J

IExemple 4.2

Consid´erons le probl`eme en dimension 1 :















−u⁰⁰(x) +u = 0 dans ]0,1[

u(0) = 1

du

dx(1) +u(1) = 0

La condition essentielle n’est impos´ee qu’enx= 0 et on choisit donc : V =

w∈H¹(]0,1[)|w(0) = 0 On multiplie par w∈V et on int`egre :

Z 1 0

u⁰(x)w⁰(x) +u(x)w(x)

dx− du dxw

1 0

= 0 ∀w∈V

Le terme de bord est nul en x= 0 mais enx= 1, on a ^du_dx(1) =−u(1). Il en r´esulte : Z 1

0

u⁰(x)w⁰(x) +u(x)w(x)

dx+u(1)w(1) = 0 ∀w∈V

On rel`eve maintenant les conditions aux limites essentielles. On poseu=δu+ug et on peut choisir tout simplement la fonctionug = 1 qui appartient `aH¹(]0,1[) et qui satisfait la condition essentielle.

On a alors∀w∈V :

Z 1 0

δ_u⁰(x)w⁰(x) +δu(x)w(x)

dx+δu(1)w(1)

=− Z 1

0

u⁰_g(x)w⁰(x) +u_g(x)w(x)

dx−u_g(1)w(1)

Figure 4.1 – Solutions u(x) et u⁰(x) pourN = 1,N = 3 etN = 5

Puisque ug = 1,u⁰_g= 0, il reste : Z 1

0

δ⁰_u(x)w⁰(x) +δu(x)w(x)

dx+δu(1)w(1)

=− Z 1

0

w(x)dx−w(1) ∀w∈V

qui est la formulation variationnnelle correspondant au probl`eme initial.

Pour la m´ethode de Ritz, on peut ici encore choisir φ_i(x) =xⁱ, i= 1,2,· · ·, N. La matrice A correspondante a pour coefficients :

a_ij = Z 1

0

φ⁰_j(x)φ⁰_i(x) +φ_j(x)φ_i(x)

dx+φ_j(1)φ_i(1)

= Z 1

0

ijx^i+j−2+x^i+j

dx+ 1

= ij

i+j−1 + 1

i+j+ 1+ 1 tandis que le vecteurF a pour coefficients :

fi =− Z 1

0

φi(x)dx−φi(1) =− Z 1

0

xⁱdx−1 =−

1 + 1 (i+ 1)

Il est facile de s’assurer que la solution analytique de l’´equation diff´erentielle de d´epart estu(x) = e^−x ce qui nous permet de comparer `a la figure 4.2, les solutions analytique et num´erique pour N = 2. Ici encore, la comparaison est excellente suru et un peu moins convaincante sur u<sup>0</sup>(x). La situation s’am´eliore cependant tr`es rapidement lorsqueN augmente. J

IExemple 4.3

On consid`ere maintenant un probl`eme bidimensionnel dont la g´eom´etrie est le carr´e de cˆot´es de longueur 1 et les conditions aux limites sont d´ecrites `a la figure 4.3. On doit r´esoudre l’´equation aux d´eriv´ees partielles :







−∇²u = 10 dans Ω

u = g sur Γ (gd´ecrite `a la figure4.3)

Des conditions essentielles ´etant prescrites sur toute la fronti`ere, on choisit V =H<sub>0</sub><sup>1</sup>(Ω) et comme toujours, on multiplie parw∈V et on int`egre sur le domaine Ω. On obtient :

Z

Ω

∇u·∇w dv = Z

Ω

10w dv

Figure 4.2 – M´ethode de Ritz (N = 2)

u= 0

u=y u=x

u= 0

Figure 4.3 – G´eom´etrie et conditions aux limites

On effectue le rel`evement des conditions aux limites en posant u = δu+ug. Le choix de ug est ici plus d´elicat malgr´e le fait que la g´eom´etrie du probl`eme soit tr`es simple. On peut prendre par exemple la fonctionu_g(x, y) =xy. En rempla¸cant, on trouve la formulation variationnelle :

♠trouverδ_u∈V telle que : Z

Ω

∇δ_u·∇w dv= Z

Ω

10w dv− Z

Ω

∇u_g·∇w dv

Il nous reste `a construire les fonctions de Ritz φ. Parmi les choix possibles, on peut prendre les N =m² fonctions de la forme :

φi(x, y) = sin(i1πx) sin(i2πy) que l’on ordonne de la fa¸con suivante :

φ₁(x, y) = sin(πx) sin(πy) φ2(x, y) = sin(πx) sin(2πy)

...

φm(x, y) = sin(πx) sin(mπy) φ_m+1(x, y) = sin(2πx) sin(πy) φm+2(x, y) = sin(2πx) sin(2πy)

...

φ2m(x, y) = sin(2πx) sin(mπy) ...

φ_m²(x, y) = sin(mπx) sin(mπy) On a ainsi une relation sur les indices de la forme :

i= (i₁−1)m+i₂ 1≤i₁, i₂ ≤m

Ces fonctions s’annulent sur la fronti`ere du domaine et v´erifient une propri´et´e d’orthogonalit´e tr`es particuli`ere :

a_ij = Z

Ω

∇φ_j·∇φ_idv =

0 si i6=j

π²

4 (i²₁+i²₂) si i=j

La matriceAest donc diagonale ce qui est toutefois exceptionnel. De plus, on v´erifie non sans peine que :

f_i = Z

Ω

10φ_idv− Z

Ω

∇u_g·∇φ_i dv = 10 Z

Ω

φ_i dv− Z

Ω

(y, x)·∇φ_i dv

= 10 π²

(−1)ⁱ¹−1 i1

(−1)ⁱ² −1 i2

Figure 4.4 – M´ethode de Ritz en dimension 2 : fonctions δ_u(x) et u(x)

Le syst`eme lin´eaire r´esultant est bien sˆur tr`es simple `a r´esoudre. En prenant N = 5<sup>2</sup> = 25, on a obtenu le r´esultat de la figure 4.4pour la fonctionδ<sub>u</sub> qui rappelons-le, s’annule sur la fronti`ere du domaine. La fonction u=δ_u+u_g =δ_u+xy est illustr´ee `a la figure4.4. J

Nous terminons ce chapitre par quelques remarques g´en´erales sur la m´ethode de Ritz. Les principales faiblesses de cette m´ethode sont :

– la construction de la fonction de rel`evement ug qui doit v´erifier les conditions aux limites essentielles prescrites, ce qui peut ˆetre difficile particuli`erement en dimension 2 ou 3 ;

– le choix et la construction des fonctions de Ritzφ_iqui doivent ˆetre lin´eairement ind´ependantes et v´erifier les conditions essentielles homog`enes ;

– le calcul des coefficients aij et fi du syst`eme lin´eaire qui peut n´ecessiter l’´evaluation d’int´ e-grales sur des domaines complexes. On peut ´eventuellement recourir aux m´ethodes d’int´ egra-tion num´eriques si le besoin s’en fait sentir.

– Les inconnues ui du syst`eme lin´eaire n’ont pas de signification physique particuli`ere.

Les remarques pr´ec´edentes sont particuli`erement justifi´ees en dimension 2 ou 3 o`u les g´eom´etries peuvent ˆetre extrˆemement vari´ees et complexes. Il est alors pratiquement impossible de construire les diff´erentes fonctions n´ecessaires. Cela est dˆu `a l’approche globale de la m´ethode de Ritz, en ce sens que l’on cherche `a construire les fonctions u_g et φ_i en consid´erant tout le domaine Ω.

La m´ethode des ´el´ements finis contourne cette difficult´e par une approche plus localis´ee et une construction plus syst´ematique des fonctionsφi.

4.3 Exercices

D´eterminer pour les probl`emes suivants une famille de fonctions φ<sub>i</sub> permettant d’appliquer la m´ethode de Ritz et obtenir la fonction de rel`evement des conditions aux limites essentielles.

En dimension 1 :

1. 

En dimension 2 : 7.















−∇·(q(x)∇u) =f dans le carr´e ]0,1[²

u= 1 sur les cˆot´esx= 0 ety= 0 q(x)∂u

∂n = 2 sur les autres cˆot´es 8. On souhaite r´esoudre le probl`eme suivant par la m´ethode de Ritz :

d² dx²

EId²u(x) dx²

=f(x) dans ]0,1[,

o`uEIest une constante. Proposer des choix de fonctionsug(x) etφi(x) permettant de r´esoudre ce probl`eme avec les conditions aux limites suivantes :

u(0) = 1, u⁰(0) = 2, u(1) = 4, EId²u(1) dx² =M (Utiliser de pr´ef´erence des fonctions polynˆomiales).

9. R´esoudre par la m´ethode de Ritz le probl`eme suivant :















−∇·k∇T = q dans le carr´e ]0,1[×]0,1[

T = 0 sur les cˆot´esx= 1 ety= 1

∂T

∂n = 0 sur les autres cˆot´es

o`u ketq sont des constantes. On prendra une seule fonction de Ritz : φ1(x) = (1−x²)(1−y²)

10. R´esoudre par la m´ethode de Ritz le probl`eme suivant :



















− d dx

(x²+ 1)du dx

= 2−2x+ 6x² dans l’intervalle ]0,1[

u(0) = 1

u⁰(1) = −1 a) Obtenir la formulation variationnelle ; b) Choisir les fonctions de Ritz appropri´ees ;

c) Construire le rel`evement des conditions aux limites esssentielles ; d) Obtenir les coefficients aij etfi du syst`eme lin´eaire correspondant ;

e) R´esoudre le syst`eme en utilisant deux fonctions de Ritz.

11. On suppose que l’on a un probl`eme variationnel de la forme : a(u, w) =l(w)

o`u la forme bilin´eairesym´etriqueaet la forme lin´eairelv´erifient les hypoth`eses du th´eor`eme de Lax-Milgram dans un espace de HilbertV.

Montrer que si on utilise la m´ethode de Ritz pour discr´etiser ce probl`eme, on obtient une matriceA d´efinie positive.

Rappel: Une matrice sym´etriqueAest dite d´efinie positive si quel que soit le vecteur colonne (non nul)x= [x₁, x₂, x₃,· · · , x_n]^T, on a :

x^TAx= (Ax)·x=

n

X

i,j=1

Aijxixj >0

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