Quaternions

Le corps desquaternions,H, est un corps non commutatif, contenant comme sous-corpsR, et de dimension 4 comme espace vectoriel surR. On peut le décrire comme une algèbre de matrices 2×2 complexes :

H:=

L’addition et la multiplication dansHsont celles des matrices. Puisque le déterminant est

|α|²+ |β|², seule la matrice nulle n’est pas inversible et on obtient un corps.

On distingue les éléments suivants :

Les multiples réels de 1 fournissent le sous-corpsR⊆H. La famille (1, I, J, K) est une base deHvu comme espace vectoriel surR. On observe que

I²=J²=K²= −1, IJK= −1,

relations desquelles on déduit aisément les autres multiplications des éléments de la base : IJ= −JI=K, JK= −KJ=I, KI= −IK=J.

L’ensemble {x0+x1I|x0,x1∈R} est un sous-corps deHisomorphe àC(ce n’est pas le seul car les rôles de I, J et K sont interchangeables dansH⁽²⁶⁾). La famille (1, J) est une base

25. Ces groupes sont aussi notés²An−1(q²).

26. En faisant agir les automorphismesφqdéfinis plus bas, on voit qu’on peut même changer le triplet (I, J, K) en son image par n’importe quelle rotation deR³, donc en particulier I enq1I+q2J+q3K pourq1,q2,q3∈Rtels queq₁²+q₂²+q²₃=1, ce qui donne une famille de sous-corps deHisomorphes àCparamétrée par la sphèreS².

11. QUATERNIONS 77

deHvu comme espace vectoriel surC. Plus précisément, on a q = x₀+x₁I+x₂J+x₃K, oùx₀, . . . ,x₃∈R

= (x₀+x₁I)1+(x₂+x₃I)J.

Dans cette écriture, on fera attention queβ=x₂+x₃I et J ne commutent pas (en fait, Jβ= β¯J).

Le centre deHestR: en effet, siq∈Z(H), écrivons comme ci-dessusq=α+βJ, avec α,β∈C. DeqI=Iq, on déduitβ=0, et deαJ=Jα=α¯J, on déduitα∈R.

Leconjuguéd’un quaternionq=x₀+x₁I+x₂J+x₃K est q¯=x₀−x₁I−x₂J−x₃K.

La conjugaison a les propriétés suivantes : 1° q₁q₂=q¯₂q¯₁;

2° N(q) :=qq¯=q q¯ =x₀²+x₁²+x₂²+x²₃∈R, en particulierq⁻¹=_N(q)^q¯ . Un quaternion est

– réel si ¯q=q;

– imaginaire pursi ¯q= −q.

L’ensemble des quaternions imaginaires purs est Im(H)={x₁I+x₂J+x₃K} et on a H=R⊕Im(H).

Lemme 11.1. — La normeN :H^×→R^×∗est un morphisme de groupes multiplicatifs. Son noyauker(N)={q∈H|N(q)=1}est un groupe isomorphe àSU(2).

Démonstration. — On a

N(q₁q₂)=q¯₂q¯₁q₁q₂=q¯₂N(q₁)q₂=N(q₁)N(q₂), la dernière égalité étant vraie car N(q1)∈R=Z(H).

La description matricielle (23) donne l’interprétation du noyau comme le groupe SU(2) (prop. 10.3).

Bien sûr, N s’identifie à la norme euclidienne usuelle dansH=R⁴, donc le groupe SU(2) est homéomorphe à la sphère deR⁴.

Soitqun quaternion tel que N(q)=1. Considérons la conjugaison (au sens du groupe multiplicatif (non abélien) (H^×,×))

φq:H −→ H x 7−→ q xq⁻¹ Puisqueq⁻¹=q, on a¯

φq(x)=qxq¯ ⁻¹,

doncφqagit par l’identité surRet préserve la décompositionH=R⊕Im(H). En outre, N(φq(x))=q xq⁻¹qxq¯ ⁻¹=N(x),

doncφqagit par isométries surR⁴. En restreignantφqà Im(H), on obtient ainsi un mor-phisme de groupes

φ: SU(2) −→ O(3) q 7−→ φq|Im(H).

Comme le groupe SU(2), homéomorphe à la sphère deR⁴, est connexe, l’image deφest connexe donc incluse dans SO(3).

Théorème 11.2. — Le morphismeφainsi défini est surjectif, de noyau{±1}. Par consé-quent,

SO(3)'SU(2)/{±1}=PSU(2).

Démonstration. — Le noyau deφest constitué des quaternionsq de norme 1 tels que q xq⁻¹=xpour toutx∈Im(H), soitq x=xqpour toutx∈Im(H). Comme c’est toujours vrai pourx∈R, cela impliqueq x=xqpour toutx∈H, doncq∈Z(H)=Retq= ±1.

Soitq∈Im(H) tel queqq¯=1. Alorsq²= −qq¯= −1 et φq(q) = q,

φ²q(x) = φq²(x)=x pour toutx∈Im(H),

doncφq|Im(H), qui est une rotation, est obligatoirement le renversement d’axeRq⊆Im(H).

L’image deφcontient ainsi les renversements etφest surjective par le th. 8.7.

Exercice 11.3. — On a vu dans la prop. 10.4 l’isomorphisme SL(2,R)'SU(2). On a donc aussi un morphisme surjectif SL(2,R)→O(3) de noyau d’ordre 2. Le but de cet exercice est de construire directement un tel morphisme dans un cadre un peu plus général.

SoitKun corps de caractéristique différente de 2 et soit V l’espace vectoriel (de dimension 4) des matrices 2×2 à coefficients dansK.

a) Montrer quef: M7→tr(M²) est une forme quadratique sur V.

b) Montrer que SL(2,C) agit par isométries sur V par P·M :=PMP⁻¹et que ces isométries laissent toutes stable l’espace vectoriel W :=I^⊥₂(de dimension 3).

c) Montrer que la restriction def à W est de type〈1, 1,−2〉.

d) On en déduit un morphisme SL(2,K)→O(W,f|W). Montrer qu’il est surjectif et déterminer son noyau.

L’isomorphisme entre PSU(2) et SO(3) a été montré en trouvant, grâce aux quaternions, une action de SU(2), identifié au groupe des quaternions de norme 1, surR³. On peut aussi regarder l’action de SU(2)×SU(2) surR⁴=H, définie en associant à un couple de quaternions (q₁,q₂), chacun de norme 1, l’endomorphisme

ψq₁,q₂(x)=q1xq¯2=q1xq⁻¹₂ deH.

Théorème 11.4. — 1° On définit ainsi un morphisme ψ: SU(2)×SU(2)→SO(4) qui est surjectif, de noyau{±(1, 1)}.

2° On a un isomorphismePSO(4)'SO(3)×SO(3).

En particulier, le groupe PSO(4) n’est pas simple.

11. QUATERNIONS 79

Démonstration. — 1° À nouveau, on a N(φq₁,q₂(x))=q1xq⁻¹₂ q2xq¯ ⁻¹₁ =N(x) donc l’image deψest bien contenue dans O(4,R) et même, par connexité de l’image, dans SO(4,R).

Le noyau deψest constitué des (q₁,q₂) tels queq₁xq₂⁻¹=xpour toutx∈Hdoncq₁x= xq₂. Faisantx=1 on déduitq₁=q₂, forcément élément de Z(H), doncq₁=q₂= ±1.

Pour montrer queψest surjective, on prendu∈SO(4,R). Le quaternionq:=u(1) vérifie N(q)=1. On aψq,1¯ ◦u(1)=q q¯ =1, doncψq,1¯ ◦ulaisseR, donc aussiR^⊥=Im(H), stable. Par le théorème précédent, il existeq⁰tel queψq,1¯ ◦u=ψq⁰,q⁰. Ceci montre queψest surjectif.

2° En composantψpar la projection sur PSO(4), on obtient un morphisme surjectif ψ˜ : SU(2)×SU(2)−→PSO(4).

Son noyau est constitué des (q1,q2) tels queq1x=εxq2pour toutx∈H, oùε= ±1. Pour ε=1, on récupère le noyau deψ; pourε= −1, on obtient (en faisantx= −1)q₂= −q₁ puisq₁x =xq₁pour tout x ∈H, doncq₁= ±1, ce qui rajoute au noyau les éléments (1,−1) et (−1, 1). Finalement le noyau de ˜ψest constitué des quatre éléments (±1,±1), donc PSO(4)'PSU(2)×PSU(2).

Remarque 11.5. — Pour toutn, on peut construire (cf.§ III.11.5) un groupe Spin(n), ap-pelégroupe spinoriel, muni d’un morphisme de groupes surjectif Spin(n)→SO(n) dont le noyau a deux éléments⁽²⁷⁾. Il est unique à isomorphisme (de groupes) près.

On a vu SO(2)'U(1) (ex. 8.2.1°). Le groupe Spin(2) est le groupe U(1) des nombres complexes de module 1, mais le morphisme Spin(2)→SO(2) est l’élévation au carré.

Le th. 11.2 entraîne Spin(3)'SU(2), et le th. 11.4 entraîne Spin(4)'SU(2)×SU(2).

On peut montrer Spin(6)'SU(4), c’est-à-dire qu’on a un morphisme surjectif SU(4)→ SO(6) dont le noyau est d’ordre 2 (exerc. III.3.9).

Cette construction peut aussi être effectuée dans le cas d’une forme quadratique (non dégénérée) quelconque surRⁿ. On obtient alors un groupe Spin(s,t) qui est un revêtement de degré 2 du groupe connexe SO⁰(s,t) (d’indice 2 dans SO(s,t)) défini dans l’ex. 8.9.3°

(exerc. III.3.10).

Exercice 11.6. — Déduire de la construction de l’exerc. 11.3 que le groupe Spin(2, 1) est iso-morphe à SL(2,R).

Exercice 11.7. — Le but de cet exercice est de montrer que le groupe SO⁰(1, 3) est isomorphe à PSL(2,C). En particulier, Spin(1, 3)'SL(2,C).

Soit V l’espace vectoriel réel (de dimension 4) des matrices hermitiennes du type M(x₀,x₁,x₂,x₃) :=

µx₀+x₁ x₂+i x₃ x₂−i x3 x₀−x₁

¶ , avecx₀,x₁,x₂,x₃∈R.

a) Montrer que GL(2,C) agit linéairement sur V par la relation P·M=PMP^∗.

b) Montrer que SL(2,C) agit par isométries sur V pour la forme quadratique de Lorentz de signature (1, 3). On en déduit un morphismeφ: SL(2,C)→O(1, 3).

c) Déterminer le noyau deφ.

d) Montrer que l’image deφest exactement le sous-groupe SO⁰(1, 3) défini dans l’ex. 8.9.3° et conclure.

27. On dit que c’est un revêtement de degré 2 de SO(n) et c’est en fait, pournÊ3, le revêtement universel de l’espace topologique SO(n).

CHAPITRE III

ALGÈBRE TENSORIELLE

1. Produit tensoriel

SoitKun corps et soient V et W desK-espaces vectoriels. Unproduit tensorielde V et W est la donnée d’unK-espace vectoriel T et d’une application bilinéairet: V×W→T, satisfaisant la propriété universelle suivante : sib: V×W→E est une application bilinéaire, il existe uneuniqueapplicationlinéairebˆ: T→E telle queb=bˆ◦t. Cela se traduit par le fait que le diagramme suivant est commutatif :

V×W E

T

b

t bˆ

Une telle paire (T,t) est nécessairement unique, à unique isomorphisme près, au sens sui-vant.

Théorème 1.1(Existence et unicité). — Étant donné desK-espaces vectorielsV et W, il existe un produit tensoriel(T,t)deVetW, unique au sens suivant : si(T,t)et(T⁰,t⁰)sont des produits tensoriels deVetW, ils sont isomorphes, c’est-à-dire qu’il existe un isomorphisme φ: T→T⁰, unique, tel que le diagramme suivant soit commutatif

V×W

T T⁰.

t t⁰

φ

On parle ainsi du produit tensoriel deVetW, notéV⊗KW. L’application bilinéaire t: V× W→V⊗KWest notée(v,w)7→v⊗w . Un élément deV⊗KWdu type v⊗w est appelétenseur décomposable; les tenseurs décomposables engendrentV⊗KW.

On notera la plupart du temps V⊗W au lieu de V⊗KW.

Démonstration. — Commençons par l’unicité. On applique la propriété universelle pour T àt⁰: V×W→T⁰, pour déduire l’existence deφ: T→T⁰unique telle quet⁰=φ◦t. La propriété universelle pour T⁰fabrique aussiψ: T⁰→T tel quet=ψ◦t⁰. Appliquant l’uni-cité dans la propriété universelle à l’application bilinéairet: V×W→T, on déduit que ψ◦φ=Id_T. De manière analogue, on aφ◦ψ=Id_T0.

Reste l’existence du produit tensoriel. Compte tenu de l’unicité, n’importe quelle construction fait l’affaire ; en voici une. SoitK[V×W] leK-espace vectoriel de base les symboles (v,w) pourv∈V etw∈W. Un élément deK[V×W] est donc une somme (finie) Pλv,w(v,w) pour des scalairesλv,wpresque tous nuls. L’application linéaire tautologique V×W→K[V×W] donnée par (v,w)7→(v,w) n’est pas bilinéaire, mais elle va le devenir si on compose par la projection sur un certain quotientK[V×W]/S. Pour trouver S, écrivons les relations dont nous avons besoin : pourv,v⁰∈V,w,w⁰∈W,λ,λ⁰∈K, les quantités suivantes doivent êtres nulles

(λv+λ⁰v⁰,w)−λ(v,w)−λ⁰(v⁰,w), (24) (v,λw+λ⁰w⁰)−λ(v,w)−λ⁰(v,w⁰). (25) Il est donc naturel de définir S comme le sous-espace vectoriel deK[V×W] engendré par toutes les expressions (24) et (25) et de poser

T :=K[V×W]/S.

On définit maintenant l’application bilinéairet: V×W→T comme la composée V×W−→K[V×W]^K[V×W]/S=T.

Elle associe à (v,w) la classe de (v,w) dans le quotient T. PuisqueK[V×W] est engendré par les éléments de type (v,w), son quotient T est engendré par les éléments de typet((v,w)), c’est-à-dire par les tenseurs décomposables.

Pour montrer qu’on a ainsi obtenu le produit tensoriel de V et W, il reste à montrer la propriété universelle : si on a une application bilinéaireb: V×W→E, on peut définir une application linéaireg:K[V×W]→E parg((v,w))=b(v,w). Puisquebest bilinéaire, g s’annule sur le sous-espace S et passe donc au quotient pour donner une application linéaire ˆb: T→E. L’identitéb=bˆ◦test claire et l’unicité de ˆbprovient du fait que T est engendré par lest((v,w)) ; or l’image det((v,w)) par ˆbest déterminée, puisque ce doit être b(v,w).

Corollaire 1.2. — Soient V,W etEdesK-espaces vectoriels. L’espace vectoriel des appli-cations bilinéairesV×W→Eest isomorphe àHom(V⊗W, E). En particulier, l’espace des formes bilinéaires surV×West isomorphe à(V⊗W)^∗.

On remarquera que l’espace vectoriel des applications bilinéaires V×W→E est aussi isomorphe à Hom(V, Hom(W, E)). Le corollaire s’écrit donc aussi

Hom(V, Hom(W, E))'Hom(V⊗W, E). (26)

Démonstration. — L’isomorphisme est obtenu en passant d’une application bilinéaire b: V×W→E à ˆb∈Hom(V⊗W, E) par la propriété universelle. Dans l’autre direction, on obtientbà partir de ˆbpar restriction aux tenseurs décomposables.

1. PRODUIT TENSORIEL 83

Proposition 1.3(Fonctorialité). — Si on a des applications linéaires f : V1→V2 et g : W1→W2, il existe une et une seule application linéaire f⊗g : V1⊗W1→V2⊗W2telle que(f⊗g)(v⊗w)=f(v)⊗g(w)pour tous v,w .

En outre,(f₁⊗g₁)◦(f₂⊗g₂)=(f₁◦f₂)⊗(g₁◦g₂).

Démonstration. — Il s’agit de compléter le diagramme commutatif : V₁×W₁ V₂×W₂

V₁⊗W₁ V₂⊗W₂

f×g

t t⁰

f⊗g

Il suffit d’appliquer la propriété universelle àt⁰◦(f×g).

La seconde assertion résulte de l’unicité de (f₁◦f₂)⊗(g₁◦g₂) quand on applique la propriété universelle. Les détails sont laissés au lecteur.

Propriétés du produit tensoriel 1.4. — SoientU,VetWdesK-espaces vectoriels. On a

K⊗V−→^∼ V k⊗v7−→kv,

(U⊕V)⊗W−→^∼ (U⊗W)⊕(V⊗W) (u+v)⊗w7−→u⊗w+v⊗w, (27)

U⊗V−→^∼ V⊗U u⊗v7−→v⊗u,

U⊗(V⊗W)−→^∼ (U⊗V)⊗W u⊗(v⊗w)7−→(u⊗v)⊗w.

Attention : la colonne de droite ne définit les isomorphismes que sur les tenseurs dé-composables, alors que tous les tenseurs ne le sont pas. Mais ces applications sont li-néaires, donc elles sont uniquement déterminées par leur valeur sur ces tenseurs parti-culiers.

Démonstration. — Dans le premier cas, l’applicationK×V→V donnée par (k,v)7→kv est bilinéaire, donc il y a une application linéaire induiteK⊗V→V, qui envoiek⊗vsur kv. L’inverse estv7→1⊗v, d’où l’isomorphisme. Les autres cas sont similaires.

On vérifie que si (v_i)_i∈Iet (w_j)_j∈J sont des bases respectives de V et W, alors (v_i⊗ w_j)_(i,j)∈I×Jest une base de V⊗W (on peut par exemple utiliser (27)). En particulier, on a en dimension finie

dim(V⊗W)=dim(V) dim(W).

Si V₁a pour base (v_1,j)_j∈I1, V₂a pour base (v_2,i)_i∈I2, W₁a pour base (w_1,l)_l∈J1et W₂a pour base (w_2,k)_k∈J2et qu’on a des applications linéairesf : V₁→V₂etg: W₁→W₂de matrices respectives A=(a_{i j})_{i∈I2,j∈I1}et B=(b_kl)_{k∈J2,l∈J1}dans ces bases, alors

(f ⊗g)(v_1,j⊗w_1,l)= X

i∈I2,k∈J2

a_{i j}b_klv_2,i⊗w_2,k,

de sorte que la matrice de f ⊗g dans les bases (v1,j⊗w_1,l)_{(j,l)∈I1×J1} de V1⊗W1et (v2,i⊗ w_2,k)_{(i,k)∈I2×J2}de V2⊗W2est

A⊗B :=(ai jb_kl)_{(i,k)∈I2×J2, (j,l)∈I1×J1}.

Par exemple, si V1, V2, W1, W2sont tous de dimension 2 et qu’on choisit sur {1, 2}×{1, 2}

On appelle aussi cette matrice leproduit de Kroneckerdes matrices A et B (on le définit de façon analogue pour des matrices de taille quelconque). Noter qu’il n’est pas commutatif (parce que l’ordre sur {1, 2}×{1, 2} n’est pas invariant par permutation des deux facteurs), mais que la matrice B⊗A est simplement obtenue à partir de A⊗B en faisant des permu-tations de lignes et de colonnes.

Exercice 1.5. — Montrer les relations

rg(A⊗B)=rg(A) rg(B) , tr(A⊗B)=tr(A) tr(B) , d´et(A⊗B)=d´et(A)^bd´et(B)^a où, dans les deux dernières égalités, A est carrée d’ordreaet B carrée d’ordreb.

Exemples 1.6. — 1° L’application

ψ: V^∗⊗W −→ Hom(V, W) (28)

α⊗w 7−→ (v7→α(v)w)

est linéaire, injective, donc un isomorphisme si dim(V)< ∞, puisque les dimensions des espaces source et but sont les mêmes. Concrètement, si (e_i)_1ÉiÉnest une base de V et que (eⁱ)_1ÉiÉnest sa base duale, on a pourf ∈Hom(V, W) la formule

3° On peut définir plus généralement le produit tensoriel de modules sur un anneau commutatif A. La construction est la même que sur un corps, mais son comportement est plus compliqué. Si A=Z, les A-modules sont les groupes abéliens et on a par exemple Z^k⊗ZZ^l=Z^kl, mais aussi (Z/nZ)⊗ZQ=0, (Z/3Z)⊗Z(Z/2Z)=0 et (Z/3Z)⊗Z(Z/3Z)=Z/3Z (pourquoi ?).

4°Extension des scalaires. Si on a un corpsL⊇Ket que V est unK-espace vectoriel, puisqueLest unK-espace vectoriel, on peut former leK-espace vectoriel

V^L=V⊗KL.

On peut donner à V^Lune structure deL-espace vectoriel de la manière suivante : si`∈L, la multiplicationm<sub>`</sub>par`est un endomorphismeK-linéaire deL, donc on peut définir la multiplication par`sur V^Lcomme l’endomorphisme 1⊗m_`. Les propriétés deL-espace vectoriel sont faciles à vérifier. On dit que V^Lest obtenu à partir de V par extension des scalaires deKàL.

1. Mais attention :K(X)⊗K(Y) n’est pas isomorphe àK(X, Y) (pourquoi ?) !

2. ALGÈBRE TENSORIELLE 85

Un endomorphismeu∈EndK(V) s’étend enu^L=u⊗1∈EndL(V^L). Siua comme ma-trice A dans uneK-base (ei) de V, alorsu^La la même matrice A dans laL-base (ei⊗1) de V^L.

Par exemple, siK=RetL=C, alors V^C=V⊗RCest lacomplexificationde l’espace vectoriel réel V.

Exercice 1.7. — Quelle est l’image par l’application (28) de l’ex. 1.6 ci-dessus de l’ensemble des tenseurs décomposables ?

Exercice 1.8. — Soitf_iune forme quadratique sur unK-espace vectoriel de dimension finie V_i, pouri∈{1, 2}.

a) Montrer qu’il existe une unique forme quadratiquef₁⊗f₂sur V₁⊗V₂qui vérifie

∀v1,v2∈V (f1⊗f2)(v1⊗v2)=f1(v1)f2(v2).

b) Montrer que sif₁etf₂sont non dégénérées, il en est de même def₁⊗f₂. c) Avec les notations de § II.4.2, montrer que

〈α1, . . . ,αm〉 ⊗ 〈β1, . . . ,βn〉 = 〈αiβj, 1ÉiÉm, 1ÉjÉn〉.

d) Si (V₂,f₂) est somme de plans hyperboliques, montrer qu’il en est de même pour (V₁⊗ V2,f₁⊗f₂).

e) En déduire que le produit tensoriel des formes quadratiques définit une structure d’anneau sur le groupe de Witt W(K) (§ II.6).

Exercice 1.9. — a) Rappeler la structure deR-algèbre deC⊗RC.

b) Montrer qu’il y a deux structures deC-algèbre distinctes surC⊗RC.

c) Montrer que lesC-algèbres M(2,C) etH⊗RCsont isomorphes (Hest le corps des quater-nions,cf.§ II.11).

d) Montrer que lesR-algèbresH⊗RHet M(2,C) sont isomorphes.

2. Algèbre tensorielle

2.1. Applicationsn-linéaires. — On a vu dans la section précédente que (V₁⊗V₂)⊗V₃ et V₁⊗(V₂⊗V₃) sont canoniquement isomorphes. Aussi notera-t-on généralement sans parenthèse V₁⊗V₂⊗V₃. Par récurrence, sont canoniquement équivalents tous les choix pour étendre cette définition à un produit tensoriel

V1⊗ · · · ⊗Vn

denespaces vectoriels.

Une autre manière de voir l’unicité est d’exprimer V₁⊗ · · · ⊗V_net l’application

(v₁, . . . ,vn)7→v₁⊗ · · · ⊗vn (29) comme solution d’un problème universel. Une applicationn-linéaireV₁× · · · ×V_n→E est une application qui est linéaire par rapport à chacun des facteurs V_i.

Lemme 2.1. — L’applicationV1× · · · ×Vn→V1⊗ · · · ⊗Vndéfinie par (29) est n-linéaire et elle est universelle pour cette propriété.

L’image de cette application est à nouveau constituée destenseurs décomposables.

Démonstration. — Notons Multⁿ(V1× · · · ×Vn, E) l’espace vectoriel des applications n-linéaires de V1× · · · ×Vnvers E. On a clairement

Multⁿ(V1× · · · ×Vn, E)=Hom(V1, Multⁿ⁻¹(V2× · · · ×Vn, E)).

Il s’agit de montrer que Hom(V₁⊗ · · · ⊗Vn, E)=Multⁿ(V₁× · · · ×Vn, E), où l’isomorphisme est donné par la composition avec (29). On raisonne par récurrence surn. En appliquant (26), on obtient

Hom(V1⊗ · · · ⊗Vn, E) = Hom(V1, Hom(V2⊗ · · · ⊗Vn, E))

= Hom(V₁, Multⁿ⁻¹(V₂× · · · ×V_n), E)

= Multⁿ(V1× · · · ×Vn, E).

De la même manière que pour le produit tensoriel, si on a des applications linéaires f_i: V_i→W_i, on obtient une application linéaire unique

f₁⊗ · · · ⊗f_n: V₁⊗ · · · ⊗V_n−→W₁⊗ · · · ⊗W_n qui vérifie sur les tenseurs décomposables la relation

(f₁⊗ · · · ⊗f_n)(v₁⊗ · · · ⊗v_n)=f₁(v₁)⊗ · · · ⊗f_n(v_n).

2.2. Algèbres graduées. — Rappelons qu’uneK-algèbreest unK-espace vectoriel A muni d’un produit A×A→A qui est une application bilinéaire et qui fait de A un anneau, c’est-à-dire qu’on a :

(x y)z=x(y z) pour tousx,y,z∈A.

Elle est donc associative, mais pas nécessairement commutative. Toutes les algèbres que nous considérerons seront munies d’une unité, c’est-à-dire d’un élément 1 tel quea·1= 1·a=apour touta∈A. On a 1=0 si et seulement si A=0.

L’algèbre estgraduéesi elle est munie d’une décomposition A=M

n∈N

A_n en somme directe d’espaces vectoriels telle que

∀m,n∈N Am·An⊆Am+n. Si A a une unité, on a 1∈A₀

Par exemple, l’algèbreK[X] des polynômes à une indéterminée est graduée parK[X]= LKXⁿ. L’algèbre (commutative) A=K[X1, . . . , Xp] des polynômes à plusieurs indéterminés est également graduée si on définit An comme le sous-espace vectoriel des polynômes nuls ou homogènes de degré totaln, donc engendré par les Xⁱ₁¹· · ·Xⁱ_p^ppouri₁+ · · · +i_p=n.

Un élément non nulx∈A est dithomogènes’il existentel quex∈A_n; on dit alors que xest de degrén.

Unmorphisme d’algèbres graduéesest un morphisme d’algèbresf : A→B qui préserve la graduation :f(An)⊆Bnpour toutn∈N.

2. ALGÈBRE TENSORIELLE 87

2.3. Algèbre tensorielle. — On définit lespuissances tensoriellesd’un espace vectoriel V par T⁰V=Ket, pournÊ1,

TⁿV :=V⊗ · · · ⊗V

| {z }

nfois

=: V^⊗n.

On peut voir aussi (canoniquement) TⁿV comme le dual de Multⁿ(Vⁿ,K), l’espace vecto-riel des formesn-linéaires sur V.

L’algèbre tensoriellede V est définie par TV=M

n∈N

TⁿV. (30)

Pour en faire une algèbre, nous devons définir un produit sur TV. C’est T^mV×TⁿV −→ T^m+nV

(v₁⊗ · · · ⊗v_m,w₁⊗ · · · ⊗w_n) 7−→ v₁⊗ · · · ⊗v_m⊗w₁⊗ · · · ⊗w_n.

Compte tenu des propriétés du produit tensoriel vues plus haut, ce produit est associatif et fait de TV une algèbre, munie de l’unité 1∈K=T⁰V. Cette algèbre n’est pas commutative dès que dim(V)Ê2 : on av₁⊗v₂6=v₂⊗v₁dès quev₁etv₂ne sont pas proportionnels.

La décomposition (30) en fait une algèbre graduée. Noter la présence d’une injection canoniqueι: V,→TV puisque T¹V s’identifie à V.

Si V a pour base (ei)i∈I, alors TV a pour base lesei₁⊗ · · · ⊗ei_npourn∈Neti1, . . . ,in∈I.

Même si l’espace vectoriel V est de dimension finie, l’espace vectoriel TV est toujours de dimension infinie dès que V6=0.

Proposition 2.2(Propriété universelle). — L’algèbre tensorielle TVsatisfait la propriété universelle suivante : si f : V→Aest une application linéaire vers une algèbre avec unité A, il existe un morphisme d’algèbres, fˆ: TV→A, unique, tel que f =fˆ◦ι, c’est-à-dire le diagramme suivant est commutatif

V A

TV

f

ι fˆ

Démonstration. — Comme l’application Vⁿ −→ A

(v₁, . . . ,v_n) 7−→ f(v₁)· · ·f(v_n)

estn-linéaire, la propriété universelle de TⁿV permet de définir l’application linéaire ˆf : TⁿV→A. Reste à montrer que c’est bien un morphisme d’algèbres. Il suffit de le vérifier sur les tenseurs décomposables, qui engendrent TV ; or on a

fˆ((v₁⊗ · · · ⊗v_m)⊗(w₁⊗ · · · ⊗w_n))=f(v₁)· · ·f(v_m)f(w₁)· · ·f(w_n)

=fˆ(v₁⊗ · · · ⊗v_m) ˆf(w₁⊗ · · · ⊗w_n), ce qui montre ce qu’on veut.

Comme dans tous les cas précédents, la propriété universelle implique la fonctorialité de la construction : si on a une application linéairef : V→W, il y a un morphisme d’al-gèbres, unique, Tf : TV→TW, tel que le diagramme suivant soit commutatif :

V W

TV TW

f

ιV ιW

Tf

Le morphisme Tf n’est autre queL

Tⁿf. En outre, on a la propriété T(f◦g)=Tf◦Tg.

2.4. Tenseurs covariants et contravariants. — Ce paragraphe une tentative pour expli-quer le language et les notations utilisés en physique (et parfois aussi en géométrie dif-férentielle). Soit V un espace vectoriel et soit V^∗son espace vectoriel dual, c’est-à-dire Hom(V,K). Les « tenseurs » considérés par les physiciens sont en général des éléments d’un produit tensoriel

V^∗⊗ · · · ⊗V^∗

| {z }

pfois

⊗V⊗ · · · ⊗V

| {z }

qfois

=T^pV^∗⊗T^qV.

Un tel tenseur T est dit «pfois covariant etqfois contravariant ». Si on choisit une base (e₁, . . . ,e_d) de V, de base duale (e¹, . . . ,e^d) de V^∗, on écrit les coordonnées de T comme Tⁱ_j^1...iq

1...jp. Dans notre language, cela signifie

T= X

i₁,...,iq,j₁,...,jp

Tⁱ_j^1...iq

1...jpe^j1⊗ · · · ⊗e^jp⊗e_i1⊗ · · · ⊗e_iq

(on remarque que la famille dese^j1⊗ · · · ⊗e^jp⊗e_i1⊗ · · · ⊗e_iqest une base de T^pV^∗⊗T^qV).

En physique, on utilise la convention de sommation d’Einstein et on écrit simplement T=Tⁱ_j^1...iq

1...j_pe^j1⊗ · · · ⊗e^jp⊗e_i1⊗ · · · ⊗e_iq

(il est entendu qu’on somme sur les indices répétés en haut et en bas). On dit que les Tⁱ_j^1...iq

1...j_p

sont les coordonnées du tenseur T.

Soitv=v^je_j un élément de V. Dans une autre base (e⁰₁, . . . ,e⁰_d), définie par la matrice de passage P=(P_i^j) ete⁰_i=P_i^je_j, on av=v⁰ⁱe⁰_i, avec

v=v⁰ⁱe_i⁰=v⁰ⁱP_i^je_j, d’oùv^j=P_i^jv⁰ⁱ, ou encore

v⁰ⁱ=(P⁻¹)ⁱ_jv^j.

On dit que les coordonnées devse transforment en sens inverse des vecteurs de base (d’où la terminologie « contravariant »). Inversement, pour une forme linéaireα=αje^j =α⁰_ie⁰ⁱ, on a

α⁰_i=α(e⁰_i)=α(P_i^jej)=P_i^jαj.

3. ALGÈBRE EXTÉRIEURE 89

Les composantes deαse transforment donc dans le même sens que les vecteurs de base (d’où la terminologie « covariant »). Pour un tenseur général T=(Tⁱ_j^1...iq

1...jp) qui estp fois covariant etqfois contravariant, on vérifie que ses coordonnées dans la base (e₁⁰, . . . ,e⁰_d) sont

T⁰ⁱ

01...i_q⁰

j₁⁰...j⁰_p =(P⁻¹)ⁱ_j¹⁰· · ·(P⁻¹)ⁱ_jP_i^j· · ·P_i^jTⁱ_j^1...iq

1...jp.

Tout cela a en général lieu en présence d’une « métrique », c’est-à-dire d’une forme bili-néaire B non dégénérée sur V (produit scalaire ou forme de Lorentz ;cf.exerc. II.11.7).

On appelle B letenseur métrique(par le cor. 1.2, on peut voir B comme un élément de (V⊗V)^∗'V^∗⊗V^∗, donc comme un tenseur 2 fois covariant) et on le note par sa matrice g_{i j} =B(e_i,e_j) dans la base (e₁, . . . ,e_d) de V. Comme la forme B est non dégénérée, elle induit un isomorphisme ˆB : V→^∼V^∗(prop. II.3.2) qui identifie les vecteurs (contravariants) aux formes linéaires (covariantes). En coordonnées, on a ˆB(e_j)(e_i)=B(e_j,e_i)=g_{j i}, d’où

B(vˆ ^je_j)=v^jg_{j i}eⁱ.

On passe donc des coordonnées contravariantes (v^j) aux coordonnées covariantes (vi) par la formulevi=v^jgj i. On peut faire le même genre de manipulations avec les tenseurs.

L’exercice est laissé au lecteur.

L’isomorphisme ˆB permet aussi de transporter la métrique B en une métrique B^∗sur V^∗. On vérifie que la matriceg^{i j}:=B^∗(eⁱ,e^j) de B^∗dans la base duale (e¹, . . . ,e^d) de V^∗ est la matrice inverse de la matrice (gi j), c’est-à-diregi jg^{j k}=δ^k_i. Ce « tenseur métrique dual » permet de passer des coordonnées covariantes aux coordonnées contravariantes par la formulev^j=v_ig^{i j}. Finalement, le produit scalaire s’écrit

B(u,v)=uⁱv_i=u_ivⁱ=g_{i j}uⁱv^j=g^{i j}u_iv_j.

3. Algèbre extérieure

On a introduit dans la section précédente l’algèbre tensorielle TV=LTⁿV, où TⁿV est canoniquement le dual de Multⁿ(Vⁿ,K) (les formesn-linéaires sur V). Dans cette section, nous faisons une construction analogue pour l’espace Altⁿ(V) desformes n-linéaires al-ternéessur V, c’est-à-dire satisfaisantα(v₁, . . . ,v_n)=0 dès que deux des vecteursv₁, . . . ,v_n sont égaux.

L’algèbre extérieureVV, avec une inclusionι: V,→VV, sera la solution du problème universel pour les applications linéaires f : V→A de V vers une algèbre avec unité A, satisfaisant l’identité

f(v)²=0. (31)

Compte tenu de la propriété universelle de l’algèbre TV, l’injectionιdoit se factoriser via TV ; en même temps, comme dans les cas précédents,V

V sera engendrée par les images des tenseurs décomposables. Il est donc légitime de chercherV

V comme quotient de TV, sous la forme⁽²⁾

^V=TV/I.

2. Comme pour les anneaux, on peut définir le quotient d’une algèbre A par un idéal bilatère I, c’est-à-dire un sous-espace vectoriel I⊆A satisfaisant AI⊆I et IA⊆I. On forme alors le quotient comme espace vectoriel A/I et les propriétés AI⊆I et IA⊆A sont exactement ce qu’il faut pour que la multiplication passe au quotient.

Il faut mettre dans l’idéal I tout ce dont on a besoin pour factoriser les applications satisfaisant (31). Les éléments de la formev⊗v, pourv∈V sont de ce type, puisqu’ils sont envoyés sur 0. Il est alors naturel de définir I⊆TV comme l’idéal bilatère engendré par les éléments de typev⊗v, pourv∈V, c’est-à-dire l’ensemble des sommes finies d’éléments de TV du type

a⊗v⊗v⊗b, pourv∈V eta,b∈TV, et l’algèbre extérieurepar

^V=TV/I.

La composition V,→TV→TV/I fournit l’applicationι: V→VV.

La composition V,→TV→TV/I fournit l’applicationι: V→VV.

Dans le document ALGÈBRE 1 (Page 76-0)