Algèbre symétrique

On sera ici très bref car la construction est entièrement parallèle à celle de l’algèbre extérieure. Le problème universel à résoudre ici est celui pour les morphismes V→A où A est une algèbrecommutativeavec unité. L’algèbre solution de ce problème est l’algèbre symétriqueSV, obtenue comme le quotient

SV :=TV/J,

où J est l’idéal de TV dans lequel on a mis exactement ce qu’il faut pour que le quotient soit commutatif. Donc J est l’idéal engendré par les éléments du type

v⊗w−w⊗v.

L’idéal J est à nouveau homogène, donc se décompose en J=L

nJ∩TⁿV, et on a une dé-composition

SV=M

SⁿV, SⁿV=TⁿV/(J∩TⁿV).

En particulier, S⁰V=Ket S¹V=V, d’où l’injection canonique V,→SV. Le produit dans l’algèbre symétrique est noté sans signe particulier : par exemplev₁v₂=v₂v₁.

Une application linéairef : V→W donne une application linéaire Sf : SV→SW, avec Sf =L

nSⁿf. On a bien sûr la propriété S(f ◦g)=Sf◦Sg.

Les propriétés de SⁿV sont les suivantes.

1° L’applicationn-linéaire

Vⁿ −→ SⁿV (v1, . . . ,vn) 7−→ v1· · ·vn

5. ALGÈBRE SYMÉTRIQUE 99

est symétrique⁽⁶⁾et elle est universelle pour cette propriété ; en particulier (SⁿV)^∗ est l’espace vectoriel des formesn-linéaires symétriques sur V.

2° Si (e₁, . . . ,e_d) est une base de V, une base de SⁿV est donnée par les (e^k_i¹

En particulier, si V 6=0, l’espace vectoriel SV est toujours de dimension infinie, contrairement àVV.

3° Si V est de dimension d, l’algèbre SV est isomorphe à l’algèbre de polynômes K[X₁, . . . , X_d] : si (e₁, . . . ,e_d) est une base de V, un isomorphisme est obtenu en envoyanteisur Xi.

4° Si car(K)=0, on peut réaliser SⁿV à l’intérieur de TⁿV comme le sous-espacesⁿV destenseurs symétriques, c’est-à-dire des tenseurstsatisfaisant ¯σ(t)=tpour tout σ∈S_n; en effet, on dispose alors d’unesymétrisation

q: TⁿV −→ TⁿV

donc on obtient une décomposition de tout 2-tenseur en somme d’un tenseur anti-symétrique et d’un tenseur anti-symétrique :

T²V=a²V⊕s²V. (36)

Remarque 5.1(Foncteurs de Schur). — La décomposition (36) n’est plus valable pour TⁿV lorsquenÊ3 ; on a bien une inclusion⁽⁷⁾

TⁿV⊇aⁿV⊕sⁿV

mais elle est stricte pournÊ3. Il suffit pour s’en convaincre de calculer les dimensions : dim(T³V)=d³>dim(a³V)+dim(s³V)= somme directe de deux copies d’un espace vectoriel canonique notéS_(2,1)V (voir exerc.

5.2).

6. Une applicationn-linéairef estsymétriquesif(v_σ(1), . . . ,v_σ(n))=f(v₁, . . . ,vn) pour toutσ∈Sn. De nou-veau, on sait par définition de J que cette propriété est vraie lorsqueσest une transposition (i i+1) et il faut un petit argument pour l’étendre à toutes les permutations.

7. La somme est bien directe puisque le projecteurpest l’identité suraⁿV mais est nulle sursⁿV.

En général, on a une décomposition canonique V^⊗n= M

λ1Ê···ÊλdÊ0 λ1+···+λd=n

¡S_{(λ1,...,λd)}V¢m_λ

où lesm_λsont des entiers strictement positifs et lesS_{(λ1,...,λd)}sont lesfoncteurs⁽⁸⁾de Schur, avec (on ne note pas lesλinuls)

– S_(1,...,1

|{z}

dfois

)V'a^dV ; – S_(d)V's^dV ;

– S_{(λ1,...,λd)}V est une représentation irréductible de GL(V) (cf.??) de dimension Y

1Éi<jÉd

λi−λj+j−i j−i .

Exercice 5.2. — Soit V unK-espace vectoriel, avecKde caractéristique nulle.

a) Montrer que le sous-espace vectoriel S de V^⊗3engendré par lesv₁⊗v₂⊗v₃+v₂⊗v₁⊗v₃− v₁⊗v₃⊗v₂−v₂⊗v₃⊗v₁est à la fois dans le noyau de l’antisymétrisationpet dans celui de la symétrisationq.

b) En déduire V^⊗3⊇a³V⊕s³V⊕S.

c) Montrer que S est dans l’image de l’application linéaire injectivef : V⊗V₂

V→V^⊗3donnée parv1⊗(v2∧v3)7→v1⊗v2⊗v3−v1⊗v3⊗v2.

d) On considère l’application linéaireg: V⊗V₂ V→V₃

V donnée par la structure d’algèbre de VV (avec le fait queV₁

V=V). Montrer quegest surjective et que S=f(ker(g)). En déduire la dimension de S.

e) Soit S⁰le sous-espace vectoriel de V^⊗3engendré par lesv₁⊗v₂⊗v₃+v₂⊗v₁⊗v₃−v₃⊗v₂⊗ v₁−v₃⊗v₁⊗v2. Montrer que S⁰est isomorphe à S et que

V^⊗3=a³V⊕s³V⊕S⊕S⁰.

Les espaces S et S⁰sont des copies deS_(2,1)V, qui est donc isomorphe au noyau deg : V⊗ V₂

V→V₃ V.

8. La fonctorialité signifie que pour toutλ:=(λ1, . . . ,λd) et toute application linéairef: V→W, il existe une application linéaire canoniquement définieS_λ(f) :S_λ(V)→S_λ(W), avecS_λ(Id)=Id etS_λ(f◦g)=S_λ(f)◦S_λ(g) (cf.prop. 3.2 et § 5).

CHAPITRE IV

REPRÉSENTATIONS DES GROUPES FINIS

1. Représentations

Soit G un groupe et soit V unK-espace vectoriel. Unereprésentation linéairede G dans V est un morphisme de groupes

ρ: G−→GL(V).

En d’autres termes, on représente les éléments de G comme des automorphismes de V ou plus simplement, si V est de dimension finie et qu’on en choisit une base, comme des matrices (inversibles).

On notera la représentation (V,ρ), ou simplement, en l’absence d’ambiguïté,ρou V.

L’action d’un élémentg∈G sur V sera souvent notéeg·v(=ρ(g)(v)). C’est une action du groupe G sur V au sens de la déf. du § I.2.1.

Exemples 1.1. — 1° Si V=K, une représentation de G dans V est un morphismeρ: G→ K^×; on l’appelle uncaractèrede G. Si G est fini, l’image est un groupe cyclique (exerc.

I.1.24).

2° Si G est défini comme un sous-groupe de GL(V) (ce qui est le cas de tous les groupes classiques), l’inclusion G,→GL(V) est appelée lareprésentation standard.

3° Si (e₁, . . . ,e_n) est une base deKⁿ, on obtient une représentation deS_ndansKⁿen po-santρ(σ)(e_i)=e_σ(i). Une telle représentation est appeléereprésentation de permutation.

Lesρ(σ) sont des matrices de permutation.

4° Si G est un groupe fini, on peut composer le morphisme de groupes de Cayley (ex.

I.2.3)

G ,→ Bij(G) g 7→ (x7→g x)

avec la construction du 3° ci-dessus pour obtenir une représentation ρR: G→Bij(G)→GL(K^G),

oùK^Gest l’espace vectoriel des fonctions de G dansK. Un élémentgde G est envoyé sur la fonction G→Kcaractéristique de cet élément et siu∈K^Getg∈G, on aρR(g)(u) :g⁰7→

u(g⁻¹g⁰) pour toutg⁰∈G.

Cette représentation s’appelle lareprésentation régulièrede G.

1.1. Vocabulaire et propriétés. — Soit (V,ρ) une représentation de G.

La représentation estfidèlesiρest injective.

Ledegréde la représentation est dim(V).

Unesous-représentationest un sous-espace vectoriel W⊆V stable sous l’action de G ; on parle de sous-espace G-invariant. Dans ce cas, on a des représentations induites sur W et sur le quotient V/W.

Exemples 1.2. — 1° Le sous-espace vectoriel

V^G={v∈V| ∀g∈G g·v=v}

des vecteurs fixes sous G est un sous-espace G-invariant.

2° Si V, de base (e₁, . . . ,e_n), est une représentation de permutation du groupeS_n, l’hy-perplan

V0=©

n

X

i=1

x_ie_i|x₁, . . . ,x_n∈K,

n

X

i=1

x_i=0ª est une sous-représentation de V, ainsi que la droite supplémentaire

V1=K(1, . . . , 1).

Unmorphismeentre des représentations V₁et V₂est une application linéairef : V₁→ V₂telle que

∀g∈G f◦ρ1(g)=ρ2(g)◦f.

Dans ce cas, kerf et im(f) sont des sous-représentations de V₁et V₂et f induit un iso-morphisme de représentations

f : V₁/ ker(f)→^∼im(f).

L’espace des morphismes entre les représentations V1et V2est noté HomG(V1, V2), ou Hom(ρ1,ρ2).

Si V et W sont des représentations de G, on peut former les représentations suivantes : – V⊕W pourρ(g)=(ρV(g),ρW(g)) ;

– V⊗W pourρ(g)=ρV(g)⊗ρW(g) ; – V^∗pour ˇρ(g)=^tρ(g⁻¹) ;

– Hom_K(V, W)=V^∗⊗W pourρ(g)(f)=ρW(g)◦f ◦ρV(g)⁻¹; en particulier l’espace des morphismes de représentations de V vers W est

Hom_G(V, W)=Hom_K(V, W)^G; – T^kV,V_k

V, S^kV sont aussi des représentations de G. On a par (36) un isomorphisme de représentations

V⊗V'

2

^V⊕S²V.

1. REPRÉSENTATIONS 103

1.2. Représentations irréductibles. —

Définition 1.3. — Une représentation V estirréductiblesi ses seules sous-représentations sont 0 et V.

Toute représentation de degré 1 est bien sûr irréductible.

Exemples 1.4. — 1° Si G est abélien, queKest algébriquement clos, les seules représenta-tions irréductibles V de dimension finie de G sont de degré 1. En effet, tout espace propre (non nul) deρ(g) est une sous-représentation de V donc est égale à V ; ceci entraîne que tous lesρ(g) sont des homothéties. Toute droite D⊆V est alors une sous-représentation, donc D=V.

Ainsi les représentations irréductibles deZ/nZdansCsont données par l’image d’un générateur, qui doit être une racinen-ième de l’unité dansC. On obtient ainsi lesn repré-sentations irréductiblesρ0, . . . ,ρn−1, données par

∀k∈Z/nZ ρj(k)=exp(k j²_n^πi).

2° PournÊ3, la représentation standard du groupe diédral D_ndansR²est irréductible, puisqu’aucune droite n’est laissée stable par tous les éléments de D_n.

3° Les représentations standard de SL(V), GL(V) et Sp(V) sont irréductibles puisque ces groupes opèrent transitivement sur V {0} (si dim(V)Ê2). C’est aussi le cas pour O(n), qui opère transitivement sur la sphère unitéSⁿ⁻¹, qui engendre l’espace vectorielRⁿ.

1.3. SupplémentaireG-invariant. — Si W est une sous-représentation de V, il n’existe pas en général de supplémentaire G-invariant de W dans V.

Exemple 1.5. — Le groupe G≤GL(2,K) des matrices triangulaires supérieures se re-présente dans V=K²par la représentation standard. La droite W=Ke₁ est une sous-représentation dépourvue de supplémentaire T-invariant.

SiKest le corpsFp, on a ainsi un exemple avec un groupe G fini de cardinalp(p−1)². Néanmoins, il y a quand même un résultat général d’existence de supplémentaire G-invariant pour certains groupes finis.

Théorème 1.6. — SiGest un groupe fini tel quecar(K)-|G|et queVest une représentation deG, tout sous-espaceG-invariant admet un supplémentaireG-invariant.

Corollaire 1.7. — Sicar(K)-|G|, toute représentation deGde dimension finie est somme directe de représentations irréductibles.

On va donner deux démonstrations du théorème, une première particulière àK=Rou C, mais qui est valable aussi pour certains groupes infinis ; une seconde traitant tous les corps.

Première démonstration. — SupposonsK=RouC. On choisit un produit scalaire ou un produit scalaire hermitien sur V, noté〈,〉0. Puis on définit un autre produit scalaire par

〈v,w〉 = 1

|G| X

g∈G

〈g·v,g·w〉0. (37)

Ce nouveau produit scalaire est G-invariant : pour toutg∈G, on a

〈g·v,g·w〉 = 〈v,w〉,

si bien queρest à valeurs dans O(V) ou U(V). En particulier, si W est G-invariant, W^⊥est aussi G-invariant et fournit le supplémentaire voulu.

L’ingrédient essentiel de cette démonstration consiste à fabriquer un produit scalaire G-invariant par moyennisation d’un produit scalaire quelconque donné. Si G est un groupe topologique compact, il est muni d’une mesure de probabilité G-invariante, la mesure de Haar : en remplaçant (37) par l’intégration sur le groupe, la démonstration s’étend à ce cas.

Seconde démonstration. — On applique encore un procédé de moyennisation. Choisis-sons un projecteur quelconquep0∈End(V) d’image W. On pose

p= 1

|G| X

g∈G

ρ(g)◦p₀◦ρ(g)⁻¹∈End(V). (38)

Commeρ(g) préserve W, l’image de cet endomorphisme est contenue dans W. Six∈W, on aρ(g)⁻¹(x)∈W, doncp₀◦ρ(g)⁻¹(x)=ρ(g)⁻¹(x) etp(x)=x. Ceci montre quepest un projecteur d’image W.

Montrons que son noyau W⁰(supplémentaire de W) est invariant par G. Commençons par noter que, pour toutg₀∈G, on a

ρ(g₀)◦p◦ρ(g₀)⁻¹ = 1

|G| X

g∈G

ρ(g₀)◦ρ(g)◦p₀◦ρ(g)⁻¹◦ρ(g₀)⁻¹

= 1

|G| X

g∈G

ρ(g₀g)◦p₀◦ρ(g₀g)⁻¹=p,

c’est-à-dire ρ(g0)◦p=p◦ρ(g0). Si p(x)=0, alors p◦ρ(g0)(x)=ρ(g0)◦p(x)=0, donc ρ(g₀)(x)∈W⁰. On a donc bien trouvé un supplémentaire G-invariant de W dans V.

Lemme de Schur 1.8. — SoitG est un groupe fini tel que car(K)-|G|, soient (V1,ρ1)et (V₂,ρ2)des représentations irréductibles deGet soit f: V₁→V₂un morphisme de représen-tations.

1° Siρ1etρ2ne sont pas isomorphes, f =0.

2° Siρ1=ρ2et queKest algébriquement clos, l’application f est une homothétie.

Démonstration. — 1° Les sous-espaces ker(f) et im(f) sont G-invariants, donc triviaux.

2° Siλest une valeur propre def, alors ker(f−λId_V) est G-invariant, donc égal à V tout entier, etf est une homothétie.

Par le cor. 1.7, on peut décomposer la représentation régulièreK^G(ex. 1.1.4°) en somme K^G=M

Ri

1. REPRÉSENTATIONS 105

de représentations irréductibles. Soit (V,ρ) une représentation de G et soitv0∈V. L’appli-cation linéaire

f :K^G −→ V (u: G→K) 7−→ X

g∈G

u(g)ρ(g)(v0)

est un morphisme de représentations. En effet, pour toutg₀∈G, on a (cf.ex. 1.1.4°) f(ρR(g₀)(u)) = X

Siv₀6=0, l’applicationf n’est pas nulle, et si de plus V est irréductible de G, elle est surjec-tive. Par le lemme de Schur, il y a au moins unitel queν|R_isoit un isomorphisme. Donc V est isomorphe à l’une des représentations R_i.

On en déduit le corollaire suivant.

Corollaire 1.9. — Sicar(K)-|G|, à isomorphisme près, il n’y a qu’un nombre fini de repré-sentations irréductibles deGet chacune est de degréÉ |G|.

Corollaire 1.10. — Sous la même hypothèse, soientR₁, . . . , R_kles représentations irréduc-tibles deG. Toute représentation se décompose enV=Ln_iR_i, où les entiers naturels n_isont uniquement déterminés par la représentation.

Une démonstration plus simple de ce corollaire sera vue au §??si car(K)=0, à l’aide de la théorie des caractères, mais la démonstration qui suit est générale.

Démonstration. — Par récurrence sur la dimension de V. Supposons V=L Vi =L

Wj, où les Viet les Wj sont des représentations irréductibles, éventuellement répétées. On va montrer qu’à permutation près, les (Vi) et les (Wj) sont la même collection de représenta-tions. On dispose donc d’un isomorphisme de représentations

f :M

sont aussi des isomorphismes. Pour appliquer l’hypothèse de récurrence, il suffit de mon-trer que est encore un isomorphisme. C’est en effet le cas : six∈L

iÊ2Viest dans le noyau,f(x)∈ W1etp1g(f(x))=p1(x)=0, donc,p1g|W₁étant un isomorphisme,f(x)=0 etx=0.

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