Algèbre extérieure

Les composantes deαse transforment donc dans le même sens que les vecteurs de base (d’où la terminologie « covariant »). Pour un tenseur général T=(Tⁱ_j^1...iq

1...jp) qui estp fois covariant etqfois contravariant, on vérifie que ses coordonnées dans la base (e₁⁰, . . . ,e⁰_d) sont

T⁰ⁱ

01...i_q⁰

j₁⁰...j⁰_p =(P⁻¹)ⁱ_j¹⁰· · ·(P⁻¹)ⁱ_jP_i^j· · ·P_i^jTⁱ_j^1...iq

1...jp.

Tout cela a en général lieu en présence d’une « métrique », c’est-à-dire d’une forme bili-néaire B non dégénérée sur V (produit scalaire ou forme de Lorentz ;cf.exerc. II.11.7).

On appelle B letenseur métrique(par le cor. 1.2, on peut voir B comme un élément de (V⊗V)^∗'V^∗⊗V^∗, donc comme un tenseur 2 fois covariant) et on le note par sa matrice g_{i j} =B(e_i,e_j) dans la base (e₁, . . . ,e_d) de V. Comme la forme B est non dégénérée, elle induit un isomorphisme ˆB : V→^∼V^∗(prop. II.3.2) qui identifie les vecteurs (contravariants) aux formes linéaires (covariantes). En coordonnées, on a ˆB(e_j)(e_i)=B(e_j,e_i)=g_{j i}, d’où

B(vˆ ^je_j)=v^jg_{j i}eⁱ.

On passe donc des coordonnées contravariantes (v^j) aux coordonnées covariantes (vi) par la formulevi=v^jgj i. On peut faire le même genre de manipulations avec les tenseurs.

L’exercice est laissé au lecteur.

L’isomorphisme ˆB permet aussi de transporter la métrique B en une métrique B^∗sur V^∗. On vérifie que la matriceg^{i j}:=B^∗(eⁱ,e^j) de B^∗dans la base duale (e¹, . . . ,e^d) de V^∗ est la matrice inverse de la matrice (gi j), c’est-à-diregi jg^{j k}=δ^k_i. Ce « tenseur métrique dual » permet de passer des coordonnées covariantes aux coordonnées contravariantes par la formulev^j=v_ig^{i j}. Finalement, le produit scalaire s’écrit

B(u,v)=uⁱv_i=u_ivⁱ=g_{i j}uⁱv^j=g^{i j}u_iv_j.

3. Algèbre extérieure

On a introduit dans la section précédente l’algèbre tensorielle TV=LTⁿV, où TⁿV est canoniquement le dual de Multⁿ(Vⁿ,K) (les formesn-linéaires sur V). Dans cette section, nous faisons une construction analogue pour l’espace Altⁿ(V) desformes n-linéaires al-ternéessur V, c’est-à-dire satisfaisantα(v₁, . . . ,v_n)=0 dès que deux des vecteursv₁, . . . ,v_n sont égaux.

L’algèbre extérieureVV, avec une inclusionι: V,→VV, sera la solution du problème universel pour les applications linéaires f : V→A de V vers une algèbre avec unité A, satisfaisant l’identité

f(v)²=0. (31)

Compte tenu de la propriété universelle de l’algèbre TV, l’injectionιdoit se factoriser via TV ; en même temps, comme dans les cas précédents,V

V sera engendrée par les images des tenseurs décomposables. Il est donc légitime de chercherV

V comme quotient de TV, sous la forme⁽²⁾

^V=TV/I.

2. Comme pour les anneaux, on peut définir le quotient d’une algèbre A par un idéal bilatère I, c’est-à-dire un sous-espace vectoriel I⊆A satisfaisant AI⊆I et IA⊆I. On forme alors le quotient comme espace vectoriel A/I et les propriétés AI⊆I et IA⊆A sont exactement ce qu’il faut pour que la multiplication passe au quotient.

Il faut mettre dans l’idéal I tout ce dont on a besoin pour factoriser les applications satisfaisant (31). Les éléments de la formev⊗v, pourv∈V sont de ce type, puisqu’ils sont envoyés sur 0. Il est alors naturel de définir I⊆TV comme l’idéal bilatère engendré par les éléments de typev⊗v, pourv∈V, c’est-à-dire l’ensemble des sommes finies d’éléments de TV du type

a⊗v⊗v⊗b, pourv∈V eta,b∈TV, et l’algèbre extérieurepar

^V=TV/I.

La composition V,→TV→TV/I fournit l’applicationι: V→VV.

Proposition 3.1. — L’algèbre extérieure satisfait la propriété universelle suivante : si f : V→Aest une applciation linéaire vers une algèbre avec unité, telle que f(v)²=0pour tout v, alors f se factorise de manière unique en f =fˆ◦ι, oùfˆ:V

V→Aest un morphisme d’algèbres :

V A

VV

f

ι fˆ

Démonstration. — Par la propriété universelle de TV (prop. 2.2), on a une factorisation def par une application linéaireg: TV→A. Puisqueg(v⊗v)=f(v)²=0, l’applicationg s’annule sur l’idéal I doncg passe au quotient pour fournir un morphisme d’algèbres ˆf : VV=TV/I→A. Il est manifestement unique puisqueVV est engendrée par les tenseurs décomposables. La démonstration se résume ainsi par le diagramme

V A

TV

VV

f

ι

g

fˆ

Comme conséquence de la prop. 3.1 ou du même énoncé pour le produit tensoriel, on obtient le résultat suivant.

Proposition 3.2. — Si f : V→West une application linéaire, elle induit un morphisme d’algèbresVf :VV→VWtel queιW◦f =Vf◦ιV. En outre,V(f ◦g)=Vf ◦Vg .

3. ALGÈBRE EXTÉRIEURE 91

Décrivons maintenant de manière plus concrète l’algèbreVV. Pour cela, remarquons que I est unidéal homogènede TV, c’est-à-dire qu’on a

I=M

n

(I∩TⁿV).

En effet, un élément de I est une somme finie d’éléments de typea⊗v⊗v⊗b, poura,b∈TV etv∈V. En écrivantaetbcomme somme d’éléments homogènes, on voit que chaque a⊗v⊗v⊗best somme d’éléments homogènes qui sont dans I⁽³⁾.

Il en résulte que le quotientVV=TV/I est encore une algèbre graduée :

^V=M

V est appelée lapuissance extérieure n-ièmede V.

Puisque l’idéal I est engendré par les élémentsv⊗v, il ne rencontre T⁰V et T¹V=V

Le produit dansVV est appeléproduit extérieuret noté∧. LeK-espace vectorielVV est engendré par lesv₁∧ · · · ∧v_npourn∈Netv₁, . . . ,v_n∈V. Le fait que l’algèbreVV soit

Sif : V→W est une application linéaire, il s’ensuit qu’on a

^f =M σest une transposition du type (i i+1). Or, si cette relation est vérifiée pour des transpo-sitionsσetτet tousv₁, . . . ,v_n∈V, on a

v_τσ(1)∧ · · · ∧v_τσ(n) = ε(τ)v_σ(1)∧ · · · ∧v_σ(n)

= ε(τ)ε(σ)v1∧ · · · ∧vn,

c’est-à-dire qu’elle est vérifiée pour le produitτσ. Comme les transpositions (12), (23), . . . , ((n−1)n) engendrentSn(ex. I.1.8.2°), cela démontre (32).

3. Plus généralement, un idéal d’une algèbre graduée qui est engendré par des éléments homogènes (comme c’est le cas pour I) est homogène.

Si deux des vecteursv1, . . . ,vnsont égaux, on se ramène par une permutation adéquate au cas où ils sont consécutifs, d’où on déduit (en utilisant (32))v1∧ · · · ∧vn=0 ; l’applica-tion (v₁, . . . ,v_n)7→v₁∧ · · · ∧v_nest donc bien alternée.

Proposition 3.4. — L’algèbre graduéeVVestanticommutative, c’est-à-dire que siα∈VmV etβ∈V_n

V, on aβ∧α=(−1)^mnα∧β.

Démonstration. — Il suffit de le montrer lorsqueαetβsont des produits extérieurs d’élé-ments de V. Cela se déduit de l’identitéw∧v= −v∧w.

Proposition 3.5(Propriétés deVnV). — 1° L’application n-linéaire alternée Vⁿ −→

n

^V (v₁, . . . ,v_n) 7−→ v₁∧ · · · ∧v_n

satisfait la propriété universelle suivante : si on a une application n-linéaire alternée a: Vⁿ→E, il existe une unique application linéaireaˆ:VnV→Etelle que le diagramme

est non dégénérée. En particulier, on a un isomorphisme non canonique⁽⁴⁾ (

3. ALGÈBRE EXTÉRIEURE 93

et elle est est non dégénérée. SiVest de dimension finie, on en déduit un isomorphisme canonique

n

^(V^∗)'¡

n

^V¢_∗ .

5° SiVest de dimension finie d , on adim(VdV)=1par le point 2°. Si f ∈End(V), l’endo-morphismeVdf deVdVest donc la multiplication par un scalaire, qui estd´et(f).

Le point 4° sera utilisé notamment en géométrie différentielle : les applications deR^d dansVn(R^d)^∗sont en effet les formes différentielles surR^d.

Démonstration. — 1° Par la propriété universelle de TⁿV, l’applicationn-linéairease fac-torise ena=g◦i, oùg∈Hom(TⁿV, E) etiest l’applicationn-linéaire canonique Vⁿ→TⁿV.

Mais, parce queaest alternée,gs’annule sur I∩TⁿV, donc se factorise à travers le quotient VnV en une application linéaire ˆa∈Hom(VnV, E). L’unicité de ˆaprovient du fait queVnV est engendré par lesv1∧ · · · ∧vn.

2° et 3° Par (32), les (ei₁∧ · · · ∧ei_n)_1Éi1<···<inÉd engendrentVnV et il reste à voir qu’ils sont linéairement indépendants. C’est le cas lorsquen=d : il existe en effet une forme d-linéaire alternée non nulle, à savoir le déterminant (dans une base donnée), doncVdV n’est pas nul. Comme il est engendré pare₁∧ · · · ∧e_d, il est de dimension 1 et ce vecteur n’est pas nul.

Fixons 1Éj₁< · · · <j_d−nÉd; le seul cas où le produit extérieur dee_i1∧ · · · ∧e_in avec e_j1∧· · ·∧e_jd−nest non nul est lorsque {j₁, . . . ,j_d−n} est le complémentaire de {i₁, . . . ,i_n} dans {1, . . . ,d}. On en déduit que les (e_i1∧ · · · ∧e_in)_1Éi1<···<inÉdsont linéairement indépendants, ainsi que le point 3°.

4° Compte tenu des propriétés d’antisymétrie du déterminant, la formule proposée est alternée en lesαi et en lesv_j et fournit donc bien une application bilinéaireb:Vn(V^∗)× VnV→K. Si (e_i) est une base de V et (eⁱ) la base duale,b(eⁱ¹∧· · ·∧eⁱⁿ,e_j1∧· · ·∧e_jn)=1 ou 0 suivant quei_k=j_kpour toutkou non. Ainsi la formebest non dégénérée et on obtient une dualité dans laquelle (eⁱ¹∧ · · · ∧eⁱⁿ) est la base duale de (e_j1∧ · · · ∧e_jn).

4° On aVdf(e1∧· · ·∧e_d)=f(e1)∧· · ·∧f(e_d)=(P

fi1ei)∧· · ·∧(P

f_{i d}ei)=d´et(f)e1∧· · ·∧e_d après développement.

Remarque 3.6(Produit vectoriel). — Vous avez peut-être déjà rencontré le produit vec-toriel de deux vecteurs dans l’espace vecvec-toriel euclidien orientéR³, ou plus généralement le produit vectoriel ded−1 vecteurs dans l’espace vectoriel euclidien orientéR^d, qu’on notev₁∧ · · · ∧v_d−1en France, maisv₁× · · · ×v_d−1dans le monde anglo-saxon ; adoptons cette dernière notation pour faire la différence avec le produit extérieur. Ce vecteur est défini par la propriété

∀v∈V 〈v₁× · · · ×v_d−1,v〉 =d´et(v₁, . . . ,v_d−1,v),

le déterminant étant pris dans une base orthonormée directe (il ne dépend alors pas du choix de cette base).

D’autre part, le produit extérieur desdvecteurs d’une telle base fournissent un généra-teur canonique deVdV donc, par prop. 3.5.4°, un isomorphisme canoniqueV_d−1V'V^∗. Si on le compose avec l’isomorphisme V^∗'V donné par le produit scalaire, on peut voir

l’élémentv1∧· · ·∧v_d−1deV_d−1V comme un élément de V. Le lecteur vérifiera que ce n’est autre que le produit vectorielv1× · · · ×v_d−1.

Exemple 3.7(Grassmanniennes). — Soit V un espace vectoriel de dimension d. Pour tout sous-espace vectoriel W ⊆ V de dimension n, la droite vectorielle VnW est un sous-espace vectoriel de VnV engendré par un tenseur décomposable. On peut donc la considérer comme un point de l’espace projectifP(V_n

V). Inversement, tout point de P(V_n

V) qui correspond à une droite engendrée par un tenseur décomposable (non nul) v₁∧ · · · ∧v_ndéfinit un sous-espace vectoriel W⊆V de dimensionn, à savoir〈v₁, . . . ,v_n〉.

On a ainsi identifié l’ensemble des sous-espaces vectoriels de V de dimension fixée n à un sous-ensemble (dit « grassmannienne ») de l’espace projectifP(VnV) ; on le note G(n, V) (lorsquen=1, ce n’est autre que l’espace projectifP(V) !).

LorsqueK=R, c’est une variété différentiable de dimensionn(d−n).

Exercice 3.8. — a) Montrer que dansP(V₂

K⁴), la grassmannienne G(2,K⁴) est une qua-drique projective définie par l’« équation »ω∧ω=0.

b) Montrer que toute grassmannienne G(n, V)⊆P(VnV) est intersection de quadriques pro-jectives.

Exercice 3.9. — Le but de cet exercice est de montrer que le groupe Spin(6) mentionné dans la rem. II.11.5 est isomorphe à SU(4).

Soitbune forme sesquilinéaire hermitienne définie positive surC⁴et soithla forme her-mitienne associée.

a) Montrer que la formule

B(v1∧v2,w1∧w2) :=b(v1,w1)b(v2,w2)−b(v1,w2)b(v2,w1) définit une forme sesquilinéaire hermitienne définie positive sur∧²C⁴.

b) Le groupe SU(C⁴,h)'SU(4) agit sur l’espace vectorielC⁴, donc aussi sur∧²C⁴. Montrer qu’il agit sur ce dernier espace par isométries directes pour la forme B. On en déduit un mor-phisme de groupesφ: SU(4)→SU(∧²C⁴, B)'SU(6). est une forme bilinéaire symétrique non dégénérée surV₂

C⁴. On notefla forme quadratique associée.

d) Montrer que, pour l’action décrite en b), SU(4) agit surV₂

C⁴par isométries pourf,

Exercice 3.10. — Le but de cet exercice est de montrer que le groupe Spin(3, 3) mentionné dans la rem. II.11.5 est isomorphe à SL(4,R) et que Spin(2, 3) est isomorphe à Sp(4,R).

Soitbun produit scalaire surR⁴et soitfla forme quadratique associée.

a) Montrer que la formule

B(v₁∧v₂,w₁∧w₂) :=b(v₁,w₁)b(v₂,w₂)−b(v₁,w₂)b(v₂,w₁) définit une forme quadratique F surV₂

R⁴dont la signature est (3, 3).

b) Le groupe SL(R⁴) agit sur l’espace vectorielR⁴, donc aussi surV2R⁴. Montrer qu’il agit sur ce dernier espace par isométries directes pour la forme F. On en déduit un morphisme de groupesφ: SL(4,R)→SO(3, 3).

3. ALGÈBRE EXTÉRIEURE 95

c) Montrer que l’image deφest SO⁰(3, 3), que son noyau est {±Id} et en déduire Spin(3, 3).

d) On se donne une forme symplectiqueωsurR⁴, que l’on peut voir comme une forme li-néaire`surV₂

R⁴; on pose H :=ker(`).

e) Montrer que la restriction de F à H est de signature (2, 3).

f ) Montrer que le sous-groupe Sp(R⁴,ω)<SL(R⁴) laisse stable, via l’action définie en b), l’hy-perplan H. On en déduit un morphisme de groupesψ: Sp(4,R)→SO(2, 3).

g) Montrer que l’image deψest SO⁰(2, 3), que son noyau est {±Id} et en déduire Spin(2, 3).

3.1. Tenseurs antisymétriques. — Supposons car(K)=0. Dans ce cas, on peut réaliser VnV comme sous-espace vectoriel de TⁿV de la manière suivante. Chaqueσ∈S_ninduit un endomorphismeK-linéaire ¯σde TⁿV défini sur les tenseurs décomposables par

σ¯(v₁⊗ · · · ⊗v_n)=v_σ(1)⊗ · · · ⊗v_σ(n).

Un tenseurt∈TⁿV est ditantisymétriquesi ¯σ(t)=ε(σ)tpour toute permutationσ∈S_n. On noteraaⁿV⊆TⁿV le sous-espace vectoriel des tenseurs antisymétriques.

Considérons l’application linéaire d’antisymétrisation p: TⁿV −→ TⁿV

t 7−→ 1 n!

X

σ∈S_n

ε(σ) ¯σ(t).

On a par exemplep(v1⊗v2)=¹₂(v1⊗v2−v2⊗v1).

Proposition 3.11. — L’application linéaire p est un projecteur (p²=p), de noyauI∩TⁿV et d’image aⁿV. Elle induit donc un isomorphisme aⁿV'VnV.

On prendra garde queL

naⁿV n’est pas une sous-algèbre de TV, donc on ne peut pas décrire la structure d’algèbre deV

V ainsi.

Démonstration. — Pour toutτ∈S_n, on a τ¯(p(t))= 1

n!

X

σ∈Sn

ε(σ)¯τσ¯(t)= 1 n!

X

σ⁰∈S_n

ε(τ⁻¹σ⁰) ¯σ⁰(t)=ε(τ)p(t).

L’image depest donc contenue dansaⁿV.

Sit∈aⁿV, on ap(t)=_n!¹P

σ∈S_nε(σ)ε(σ)t=t. Doncpest l’identité suraⁿV etp²=p: c’est un projecteur d’imageaⁿV.

Montrons maintenant que I∩TⁿV est contenu dans le noyau dep. Remarquons qu’on a, avec un calcul analogue à celui déjà fait,p(¯τ(t))=ε(τ)p(t) pour toutt∈TⁿV et tout τ∈S_n.

L’espace vectoriel I∩TⁿV est engendré par lest=v₁⊗ · · · ⊗vn, oùv_i =v_i+1pour un i∈{1, . . . ,n−1}. Prenons pourτla transposition (i i+1). On a alors ¯τ(t)=t, doncp(t)= p(¯τ(t))=ε(τ)p(t)= −p(t). Comme on est en caractéristique nulle, on a bienp(t)=0.

L’applicationpse factorise ainsi en une application linéaire surjective ˆp:VnV^anV.

Soit A=(a_{i j}) une matrice 2n×2nalternée à coefficients dans un corpsKde caractéris-tique quelconque⁽⁵⁾. On lui associe

ρ(A)= X A priori, cette formule ne définit Pf(A) que si car(K)=0. Néanmoins, en développantρ(A)ⁿ, on s’aperçoit que, pour car(K)=0, le pfaffien Pf(A) est un polynôme en les coefficients de la matrice A, indépendant deK, à coefficients entiers :

Pf∈Z[a_{i j}]. (34)

Pour un corpsKquelconque, on utilise le morphisme d’anneaux canoniqueφ:Z→Kpour définir à partir de (34) le pfaffien Pf∈K[a_{i j}].

Dans le document ALGÈBRE 1 (Page 89-96)