Groupe unitaire

On définit comme dans les cas symétriques ou antisymétriques la notion de forme ses-quilinéaire hermitienne non dégénérée, d’isométrie, de vecteurs orthogonaux, de sous-espace totalement isotrope, de plan hyperbolique.

La réduction de Gauss (cf.§ 4.2) décompose une forme hermitienne sous la forme h(x)=α1x¯₁x₁+ · · · +αrx¯_rx_r.

avecα1, . . . ,αr∈K^×₀.

Le théorème de Witt reste valable (avec des modifications dans la démonstration, en particulier dans celle du lemme 5.3) et on peut définir de la même façon l’indice d’une forme hermitienne.

10. Groupe unitaire

10.1. Définition. — On définit legroupe unitaireU(V,h) d’une forme hermitiennehnon dégénérée sur un espace vectoriel V comme le groupe des isométries de (V,h). Si M est la matrice (inversible) dans une base de V de la forme sesquilinéaire hermitienne B associée, ce groupe est isomorphe au groupe

{U∈GL(V)|U^∗MU=M}.

Legroupe spécial unitaireest défini comme d’habitude par SU(V,h) :=U(V,h)∩SL(V).

10. GROUPE UNITAIRE 73

Exemple 10.1. — 1° SiK=Cetσest la conjugaison complexe, on peut trouverai∈Ctel que ¯aiai= ±αi. Ainsi, pour toute forme hermitiennehnon dégénérée surCⁿ, il existe une base dans laquelle elle s’écrit

h(x)=x¯₁x₁+ · · · +x¯_sx_s−x¯_s+1x_s+1− · · · −x¯_nx_n.

L’indice est inf(s,n−s). Le groupe unitaire associé est noté U(s,n−s,C), ou le plus souvent U(s,n−s). Il est isomorphe à différentiablesde dimensionn²(resp.n²−1).

2° SiK=F_q2(avecqpuissance de nombre premier impair) etσ(λ)=λ^q, le morphisme F^×

q² −→ F^×_q λ 7−→ λλ¯ =λ^q+1 est surjectif. En effet, un générateur du groupe cycliqueF^×

q²est d’ordreq²−1=(q−1)(q+ 1) ; il est donc envoyé sur un élément d’ordreq−1, c’est-à-dire un générateur deF^×_q. Il en résulte que tout élémentαideF^×_qpeut s’écrire ¯aiai, et donc, pour toute forme hermitienne hnon dégénérée surFⁿ

q², il existe une base dans laquelle elle s’écrit h(x)=x¯₁x₁+ · · · +x¯_nx_n=x^q+1₁ + · · · +x_n^q+1. Toutes les formes non dégénérées surFⁿ

q²sont donc équivalentes et iI existe aussi une base dans laquelle la forme s’écrith(x)=x¯₁x₁−x¯₂x₂+· · ·+(−1)ⁿ⁺¹x¯_nx_n. L’indice est doncbn/2c. En particulier, tout plan est hyperbolique.

Le groupe unitaire est noté U(n,F_q2). Il est isomorphe au groupe {U∈GL(n,F_q2)|^tU^(q)U=I_n}.

où U^(q)est la matrice obtenue à partir de U en élevant tous ses coefficients à la puissance q. On a

|U(n,F_q2)| =(qⁿ−(−1)ⁿ)qⁿ⁻¹(qⁿ⁻¹−(−1)ⁿ⁻¹)qⁿ⁻²· · ·(q²−1)q(q+1).

Exercice 10.2. — Soit M∈GL(n,F_q2) une matrice telle que^tM=M^(q). Montrer qu’il existe une matrice P∈GL(n,F_q2) tel que M=^tP^(q)P.

10.2. La dimension 2. — Comme dans le cas orthogonal, le cas de la dimension 2 peut être décrit par calcul direct. Nous envisageons les deux types de formes qui peuvent inter-venir dans les casK=CouF_q2.

En particulier, SU(2) est en bijection avec la sphère unitéS³dans l’espace euclidienR⁴.

Démonstration. — La matrice U=

Cas d’un plan hyperbolique.Dans une base hyperbolique, la forme hermitienne est don-née parh(x1,x2)=x¯1x2+x¯2x1.

Proposition 10.4. — Supposonsdim(V)=2etVhyperbolique pour la forme hermitienne h. AlorsSU(V,h)'SL(2,K0).

Exemple 10.5. — On a donc SU(1, 1)'SL(2,R) et SU(2,F_p2)'SL(2,Fp).

Démonstration. — Dans une base hyperbolique, la matrice de la forme hermitienne est H= bien un morphisme de groupes⁽²⁴⁾.

10.3. Produit scalaire hermitien. — Dans cette section uniquement, on supposeK=C et on considère une forme hermitiennehdéfinie positive sur unC-espace vectoriel V de dimensionn, c’est-à-dire satisfaisanth(x)Ê0 pour toutx∈V, avec égalité si et seulement six=0. Une telle forme est en particulier non dégénérée ; on l’appelle unproduit scalaire hermitien. On a vu qu’il existe alors une base orthonormale, c’est-à-dire une base dans laquelle la formehs’écrit

h(x)= |x1|²+ · · · + |xn|².

24. On peut décrire plus intrinsèquement le morphisme SL(2,K₀)→SU(V,h) comme suit. On considèreK comme unK₀-espace vectoriel de dimension 2. L’espace vectoriel V :=End_K0Kdes endomorphismesK₀ -linéaires deKest naturellement unK-espace vectoriel de dimension 2, puisque (Id,σ) en est une base. Si α=a+Ia⁰etβ=b+Ib⁰sont dansK, la matrice de l’endomorphismeαId+βσdeKdans la base (1, I) est µa+b (a⁰−b⁰)I²

a⁰+b⁰ a−b

¶

, dont le déterminant est ¯αα−ββ. C’est donc une forme hermitienne sur V, hyperbolique¯ puisque le vecteur (1, 1) est isotrope.

On dispose d’autre part d’une applicationK-linéaireφ: V=EndK₀K→EndK(V) qui envoieu∈V sur l’en-domorphismeφude V donné parv7→u◦v. Comme d´et(φu(v))=d´et(u) d´et(v), on voit queφuest unitaire pour la forme hermitienne d´et si et seulement si d´et(u)=1. L’applicationφinduit donc un morphisme de groupes SL(K)→U(V, d´et). On vérifie ensuite que ce morphisme est à valeurs dans SU(V, d´et) (c’est-à-dire que d´et(φu)=1 si d´et(u)=1) et qu’il est surjectif.

10. GROUPE UNITAIRE 75

Dans ce cas, les éléments du groupe U(V,h) jouissent d’une réduction particulièrement simple, similaire à celle des endomorphismes orthogonaux pour un produit scalaire eu-clidien défini positif.

Un endomorphismeude V admet toujours un adjointu^∗défini par B(x,u(y))=B(u^∗(x),y)

pour tousx,y∈V. En particulier,u∈U(V,h) si et seulement siu^∗=u⁻¹.

Dans une base orthonormale, siua pour matrice U, alorsu^∗a pour matrice U^∗. Plus généralement, on dit qu’un endomorphismeude V estnormalsiu^∗u=uu^∗. Cette notion inclut les endomorphismes unitaires (u^∗=u⁻¹), autoadoints (u^∗=u) et antiau-toadjoints (u^∗= −u).

Proposition 10.6. — Tout endomorphisme normal pour un produit scalaire hermitien se diagonalise dans une base orthonormée.

Les valeurs propres doivent être de module 1 pour les endomorphismes unitaires, réelles pour les endomorphismes autoadjoints et imaginaires pures pour les endomor-phismes antiautoadjoints.

En particulier, si l’on dispose d’une seconde forme hermitienneh⁰, on peut lui associer, puisquehest non dégénérée, un endomorphismeude V qui vérifie

∀x,y∈V B⁰(x,y)=B(x,u(y)).

On a aussi

B(u(x),y)=B(y,u(x)=B⁰(y,x)=B⁰(x,y)=B(x,u(y)),

de sorte que u^∗ = u. D’après la proposition, u se diagonalise dans une base h-orthonormée, ce qui signifie que dans cette base, la forme B⁰a une matrice diagonale





 λ1

. .. λn





, λi∈R.

La formeh⁰est définie positive si et seulement si lesλisont tous strictement positifs.

Démonstration de la proposition. — Soitu un endomorphisme normal de V. Soitλune valeur propre (complexe) deuet soit V_λl’espace propre associé. Six∈V_λ, on a

u(u^∗(x))=u^∗u(x)=λu^∗(x), doncu^∗(x)∈V_λ. Ainsiu^∗(V_λ)⊆V_λ.

Siy∈V_λ^⊥etx∈V_λ, on obtient B(x,u(y))=B(u^∗(x),y)=0, doncu(V_λ^⊥)⊆V_λ^⊥. Une récur-rence montre alors que V est somme directe orthogonale des espaces propres deu. 10.4. Propriétés des groupes unitaires. — Dans cette dernière partie, on revient au cas général d’un corps généralKet on énonce sans démonstration quelques propriétés des groupes unitaires pour une forme hermitienneh.

Centre : Le centre de U(Kⁿ,h) est constitué des homothéties de rapportλtel que ¯λλ= 1. Le centre de SU(Kⁿ,h) est constitué des homothéties de rapport satisfaisant en outreλⁿ=1. On notera

PSU(Kⁿ,h) :=SU(Kⁿ,h)/Z(SU(Kⁿ,h)).

Simplicité : Si la forme hermitiennehest d’indiceÊ1 (ce qui est le cas surFⁿ

q²pournÊ 2), le groupe PSU(Kⁿ,h) est simple, à l’exception du groupe PSU(2,F₉)'PSL(2,F₃) (prop. 10.4). Si l’indice est nul, donc la forme anisotrope, il n’y a pas de résultat gé-néral. Néanmoins PSU(n,C) est simple dès quenÊ2 : en fait, comme on le verra dans le § 11, PSU(2,C)'SO(3,R), qui est simple, et l’énoncé pourn>2 s’en déduit.

On peut définir aussi ces groupes en caractéristique 2. On obtient ainsi une autre série de groupes finis simples, à savoir PSU(n,F_q2) pourq puissance de nombre premier et nÊ3⁽²⁵⁾.