Electrodynamique quantique dans une micro-cavité fibrée
II.3 Calcul de la constante de couplage g
II.3.4 Puits quantique couplé à une cavité FFP
où me est la masse de l’électron, ωX la pulsation associé à la transition.
La constante de couplage d’une QD dont le dipôle est aligné avec la polarisation du mode de cavité s’exprime donc à l’aide de la force d’oscillateur f, de l’indice effectif et du volume effectif vu par le mode dans la cavité :
gqd= 1 4π0n2 ef f πe2f m0Vef f !1/2 . (II.35)
Les forces d’oscillateur typiques pour les QDs auto-organisées sont de l’ordre de la dizaine [9, 124]. Pour maximiser le couplage, il faut minimiser le volume de mode, ce qui sera fait en formant des cavités courtes. Nous préciserons les valeurs de couplage qui peuvent être atteintes dans une cavité réelle dans le chapitre suivant (§II.4).
II.3.4 Puits quantique couplé à une cavité FFP
Dans le cas du couplage d’un puits quantique à la micro-cavité FFP, nous détaillerons le calcul de la constante de couplage à partir d’un hamiltonien ~p. ~A, s’appliquant à l’ensemble des électrons du système afin de tenir compte de la répartition en intensité du champ de cavité. Ceci nous permettra notamment de déterminer la fonction d’onde associée à l’exciton dans ce type de cavité. Nous commençons cependant par décrire la fonction d’onde de l’exciton dans la base des ondes planes.
II.3.4.a Base des ondes planes pour les excitons
L’interaction entre un puits quantique et la lumière a principalement été étudiée dans l’espace libre [115], ou dans des microcavités plans 2D [125, 126]. Dans ces deux cas, le photon possède un moment transverse (perpendiculaire à l’axe de croissance) ~k⊥ bien défini. La symétrie du système par translation dans les deux directions transverses se traduit par la conservation du vecteur d’onde ~k⊥. Ainsi, lors de l’absorption du photon, un électron de la bande de valence de moment ~k⊥v passe dans la bande de conduction et acquiert un moment ~k⊥c = ~k⊥−~k⊥v. L’électron promu reste en interaction avec le trou laissé dans la bande de valence, et ensemble ils forment un exciton de vecteur d’onde transverse ~k⊥.
L’état fondamental |0i représente la mer de Fermi du puits quantique, c’est à dire tous les électrons dans la bande de valence. La fonction d’onde de cet état s’exprime à partir des fonction d’onde à un électron dans la bande de valence comme :
h~r1...~rN|0i = √1 N ! X P ∈SN (−1)PP Y ~k⊥,n F~kh ⊥,n(~rn), (II.36)
où SN est le groupe symétrique des permutations, Fh
~k⊥,n est la fonction d’onde à un électron dans la bande de valence, de vecteur d’onde dans le plan des couches ~k⊥,n, qui s’écrit dans l’approximation de la fonction enveloppe [113] :
F~kh
⊥,n(~r) = uh(~r)χh1(z)√1
S exp i~k⊥,n.~r⊥ (II.37) où uh(~r)représente la partie atomique associée à la bande de valence (rapidement variable à l’échelle de la maille atomique), et χh
1(z)√1
Sexp i~k⊥,n.~r⊥ représente la partie enveloppe confinée selon l’axe de croissance, et libre dans les directions perpendiculaires.
La fonction d’onde d’un exciton 1s de vecteur d’onde ~k⊥ = ~kc− ~kv (où la notation ⊥ est abandonnée pour plus de lisibilité) s’écrit :
ψ X ~k⊥ E =X ~kc ¯ β(mv M~kc+mc M~kv) ψ~kv,~kc E , (II.38) où ¯β(~k) = √8πa22D/S
(1+(ka2D)2)3/2 sont les coefficients de Fourier de la fonction hydrogénoïde 1s à deux dimensions β(~r⊥) =p2/(πa2
2D) exp−|~r⊥|/a2D, décrivant le mouvement relatif de l’électron et du trou. La masse totale de l’exciton est M = mc+ mv.
ψ~kv,~kcE représente un état où un électron de vecteur ~kv est promu dans la bande de conduction avec un vecteur d’onde ~kc
s’écrit : D ~r1...~rN|ψ~kv,~kcE= √1 N ! X P ∈SN (−1)PP F~ke ⊥,c(~rc) Y ~k⊥,n6=~k⊥,v F~kh ⊥,n(~rn), (II.39) où Fe est la fonctions d’onde à un électron dans la bande de conduction qui s’écrit dans l’approximation de la fonction enveloppe :
Fe
~k⊥,c = uc(~r)χe 1(z)√1
S exp i~k⊥,c.~r⊥, (II.40) où uc(~r) représente la partie atomique associée à la bande de conduction, et χe
1(z)√1
Sexp i~k⊥,v.~r⊥ représente la partie enveloppe.
Il est commode d’introduire les opérateurs créations d’un électron dans la bande de conduction c†
~kc et création d’un trou (de vecteur d’onde ~kh =−~kv) dans la bande de valence d~k†
h. L’opérateur création d’un exciton de vecteur ~k⊥ s’écrit donc : b~k† ⊥ =X ~k ¯ β(~k)c†mc M~k⊥+~kd†mc M~k⊥+~k. (II.41) En conclusion un exciton de vecteur d’onde ~k⊥ se propage dans le plan des couches à une vitesse ~vX = ~h~kci
mc = ~h ~khi
mv = ~~k⊥
M . Et le mouvement relatif de l’exciton et du trou est décrit par une fonction hydrogénoïde 2D.
II.3 Calcul de la constante de couplage g 55 II.3.4.b Base de Hermite Gauss pour les excitons dans une cavité FFP
Comme nous travaillons avec un mode de la lumière quantifié dans les directions transverses (x, y), on s’attend à ce que la fonction d’onde de l’exciton créée par interaction avec le mode ~El soit localisée dans les directions transverses. Nous considérons donc directement la fonction d’onde excitonique correspondante au mode de Hermite-Gauss (2D) m, n, dont la taille transverse est celle du mode de cavité au niveau du puits quantique Em,n( ~R⊥, zQW) :
ψm,nX =X ~k⊥ ¯ Em,n(~k⊥) ψ X ~k⊥ E , (II.42) où ¯Em,n(~k) =R d ~√R⊥
S Em,n( ~R⊥)e−i~k. ~R⊥ sont les coefficients de Fourier du mode 2D Em,n( ~R⊥). L’opérateur création d’un exciton dans le mode (m, n) s’écrit en fonction des opérateurs création des électrons et trous :
b†m,n =X ~k⊥ ¯ Em,n(~k⊥)b~k† ⊥ = X ~kc,~kh ¯ Em,n(~kc+ ~kh) ¯β(mv M~kc− mc M~kh)c~k† cd†~k h. (II.43) Le taux d’occupation d’un état électronique
ψ~kh,~kc
E
est en général très faible à basse densité assurant des relations de commutations bosoniques aux opérateurs (bm,n, b†
m,n). Cependant quand la densité approche 1/a2
X, le principe de Pauli commence à se faire ressentir par chacun des porteurs [127] [128]. À des densités électroniques élevées, l’écrantage de l’interaction entre l’électron et le trou conduit notamment à une diminution de la force d’oscillateur [129].
II.3.4.c Calcul de la constante de couplage dans la base des modes de Hermite-Gauss
Nous avons calculé le paramètre de couplage g entre un photon de cavité dans un mode TEMl(l = (q, m0, n0,~)) et un exciton dans le mode ψX
m,n = b†
m,n|0i à partir du Hamiltonien d’interaction ~p. ~A (cf. annexe C).
La constante de couplage s’exprime en fonction de la masse des électrons libres m0, de l’amplitude du champ à un photon Cl, de l’énergie du mode de cavité ωl
c comme : ~g = eCl m0ωl c | huhh| ~p.~ |uciχh 1|χe 1 Z(zQW)|α(w0, aX) (II.44) où huhh| ~p.~ |uci est l’élément de matrice de Kane [113] qui dépend des propriétés intrinsèques des bandes de valence et de conduction du semi-conducteur. Cet élément contient aussi les règle de sélection pour la polarisation de la lumière qui font que seuls les excitons brillants vont être couplés au champs de cavité (cf. §II.32). Le produit scalaire χh
1|χe 1
est le recouvrement entre les fonctions de confinement dans le puits quantique (le long de l’axe de croissance) de l’électron et du trou. Dans les puits quantiques en InGaAs ce confinement est proche de 1. Z(zQW) représente la partie longitudinale normalisée du champ, évaluée à la position du puits quantique. Enfin α représente le terme dépendant du profil transverse
du mode et s’écrit : α(w0, aX) = √1 S X ~kc,~kh ¯ E∗ m0,n0(~kc+ ~kh) ¯Em,n(~kc+ ~kh) ¯β(mv M~kc− mc M~kh). (II.45) La fonction ¯β(~k) est centrée autour de ~k = 0 avec une largeur de l’ordre de 1/aX. La fonction ¯Em,n(~k) représente les coefficients de Fourier de la fonction transverse du champ et possède quand à elle une largeur de l’ordre de 1/w0. Le confinement transverse imposé par la lumière à l’exciton est en pratique (w0 ∼ 1µm) très grand devant le rayon de bohr atomique (aX ∼ 10 nm). Ceci permet de sommer sur ~k⊥ = ~kc+ ~kh en considérant ¯β(~k) constant.
X
~k⊥
¯
Em∗0,n0(~k⊥) ¯Em,n(~k⊥) = δm0,mδn0,n (II.46) Nous voyons ici que le mode optique de Hermite-Gauss va se coupler au mode excitonique correpondant. La fonction d’onde de l’exciton étant directement déterminée par la répartition spatiale du champ au niveau du puits. Ceci a pour conséquence que le couplage du puits quantique à la cavité est indépendant du waist w0. On retrouve ici le caractère collectif de ce couplage : comme nous l’avons montré au §II.1.2 le couplage collectif varie en √Nem
avec le nombre d’émetteur Nem. Dans le cas du puits quantique, le nombre d’émetteurs est proportionnel à l’aire du puits éclairée Nem ∝ πw2
0. La dépendance du nombre d’émetteurs individuels participant au couplage compense la dilution transverse du champ électro-magnétique, de telle sorte que finalement le paramètre de couplage g est indépendant du waist. α(aX)' √1 S X ~k ¯ β(~k) = β(0) = s 2 πa2 X (II.47) Dans la limite (théorique) inverse ou le waist approche le rayon de Bohr de l’exciton, alors l’effet collectif du couplage disparaît et le couplage tend vers celui obtenu pour une boîte quantique.
La constante de couplage g peut être évaluée à partir de cette formule grâce aux grandeurs caractéristiques des matériaux apparaissant dans l’équation C.4, mais il est plus pratique de regrouper les grandeurs intrinsèques au matériau à l’aide de la force d’oscillateur par unité de surface [130] [125] : f S = 2 m0~ωX| huhh| ~p.~ |uciχh 1|χe1 |2β(0)2. (II.48) Les forces d’oscillateurs typiques [131] sont de l’ordre de f
S ∼ 5.1016 m−2. Et donc le paramètre de couplage g s’écrit finalement :
~g = ~e s 1 40m0 f S 2 n2 ef fLef f , (II.49)
où l’on a introduit une longueur effective Lef f = 2
|Z(zqw)|2 qui rend compte de la valeur du champ longitudinal sur l’émetteur6. Le facteur 2 permet de faire correspondre la longueur
6. Si Ez représente le champ électrique longitudinal non normé : Lef f = 2R|Ez(z0)|2
dz0 |Ez(zqw)|2 .
II.3 Calcul de la constante de couplage g 57 effective Lef f et la longueur géométrique Lgeo quand la pénétration dans les miroirs est négligée. Dans le cas d’un puits quantique, la maximisation du couplage s’obtient en limitant la longueur de la cavité indépendamment de la taille du champ dans les directions transverses. Le paramètre de couplage est donc aussi le même pour tous les modes de cavité.
Cette expression du paramètre de couplage est en accord avec les expression dérivées pour les micro-cavités planes intégrées [132] à la différence de l’indice effectif et de la longueur effective qui pour les micro-cavités FFP tiennent compte de la longueur géométrique variable de la cavité. L’indice effectif ainsi que la longueur effective de la cavité seront calculés au §II.4 et nous permettront d’évaluer le couplage d’un puits quantique à la cavité.
L’état ψX m,n
correspond à l’exciton formé par absorption d’un photon du mode de cavité dans le mode (m, n). La fonction d’onde du photon s’imprime directement dans la matière. De plus le couplage entre cette dernière et le mode de cavité est indépendant de la forme du mode pourvu que les dimensions du mode optique sont grandes devant le rayon de Bohr. L’état
ψX m,n
diagonalise le terme d’interaction avec le mode du champ (m, n). La dynamique propre du centre de masse de l’exciton, quant à elle, est représenté par le hamiltonien Hcm =−~2∇2R~
2M
qui est diagonal dans la base des ondes planes, mais donne lieu à des termes de couplage entre les modes (m, n) et (p, q) dans la base des modes de Hermite-Gauss :
Vm,n p,q =hp, q| Hcm|m, ni =X k ¯ E∗ m,n(~k) ¯Em,n(~k)~ 2k2 2M (II.50)
En passant à une somme continue, les intégrales peuvent être calculées [133] et les termes diagonaux s’écrivent : Vm,n m,n = ~ 2 M w2 0 (m + n + 1). (II.51)
Les seuls termes hors diagonaux non nuls sont obtenus pour des couplages entre modes ou seul un indice peut varier (m, n) → (p, n) ou (m, n) → (m, q). Il faut de plus que la somme de l’indice de départ et l’indice d’arrivé (m + p ou n + q respectivement) soit paire.
Vp,nm,n = im−p ~ 2 M w2 0 √ m!p!
(m+p2 − 1)!(m−p2 + 1)!(p−m2 + 1)! pour p 6= mp + m pair . (II.52) L’ordre de grandeur du couplage entre les modes excitonique ψX
m,n
est de 0,1 µeV pour un waist w0 ∼ 1 µm et MInGaAs = 0,4me. Ce couplage reste très faible devant les autres grandeurs du système et la dispersion des excitons sera négligée dans la suite.
Les états excitoniques ψX m,n
diagonalisent le couplage lumière-matière dans une cavité FFP, de plus le couplage entre ces derniers peut être négligé. Nous nous sommes donc ramené au modèle de 2 oscillateurs couplés (cf. §II.1.3) à partir du Hamiltonien d’interaction ~p. ~A, avec qui plus est un couplage indépendant de la forme du mode (tant que w0 aX).