Boite quantique couplée à une cavité FFP

La taille d’un atome ou d’une boîte quantique [117] est très faible devant la longueur d’onde des photons et ces émetteurs peuvent être considérés comme ponctuel situé en ~re. Le couplage dipolaire entre l’émetteur et les photons de cavité se fait par l’intermédiaire du dipôle de l’émetteur : ˆ~d = (~dˆb + ~d∗ˆb†)δ(~r− ~re). Un judicieux choix de phase permet de considérer une constante de couplage réelle, et cette dernière vaut (cf. équation II.25) :

~g = Cl_d~∗

II.3 Calcul de la constante de couplage g 51 La constante de couplage s’exprime directement comme le produit scalaire du dipôle de l’émetteur et du champ électrique au niveau de l’émetteur |Cl_E~_l(~re)|. La dépendance spatiale du champ est représentée par une fonction normalisée (R | ~El(~r)|2d~r = 1) si bien que l’inverse de l’intensité du champ au niveau de l’émetteur représente le volume effectif du champ Vef f [66] qui peut s’exprimer en fonction du volume de mode Vm défini par l’équation I.16 :

Vef f = ¹

| ~El(~re)|2 = | ~El( ~rmax)|2

| ~El(~re)|2 Vm, (II.29) où ~rmax est la position d’un maximum du champ. Le volume effectif s’exprime en fonction du champ électrique ~E(~r) (non normalisé) dans la cavité par Vef f = ^{R | ~}_{| ~}^E(~r)|2d~r

E(~re)|2 . Pour les cavités courtes, ce volume dépend de la pénétration dans les couches diélectriques et semi-conductrices et sera évalué au §II.4.3. Le volume effectif correspond au volume de mode lorsque l’émetteur est placé à un maximum du champ.

Atome en cavité

Pour un atome, le dipôle étant induit il est naturellement parallèle au champ, et ce dernier est lié à la demi-largeur naturelle γ par [118] : |d|2 = ^3~π0c32γ

ω3

eg , où ωeg est la pulsation associée à la transition considérée. La constante de couplage peut donc s’exprimer directement en fonction de la demi-largeur naturelle γ par :

~gat = ~ s

3cλ2γ 4πef fVef f

. (II.30)

Dans notre équipe, le couplage d’atomes de rubidium (de largeur naturelle γ = 2π × 3 MHz) à une micro-cavité FFP (de constante de fuite κ = 2π × 53 MHz) a pu être réalisé dans le régime de couplage fort [43] [45], avec une constante de couplage gat = 2π× 215 MHz à λ = 780 nm, ce qui correspond à un volume de mode Vm ' 8000 µm3.

QD en cavité

Avant de calculer la constante de couplage nous allons préciser d’avantage les états électroniques d’une QD. Pour décrire les états électroniques près du centre de la zone de Brillouin, l’approximation de la fonction enveloppe [113] est très utile. Elle permet de séparer les deux contributions de la fonction d’onde des porteurs (électrons et tous) ; d’un côté une partie rapidement variable à l’échelle atomique appelé fonction atomique, et de l’autre la fonction enveloppe lentement variable sur cette échelle. Comme nous l’avons vu au début du chapitre II.3.2, les seules bandes qui nous intéressent sont la bande de valence, de fonction atomique uv(~r) dans lequel un trou a une masse effective mv, et la bande de conduction de fonction atomique uc(~r) dans lequel un électron a une masse effective mc. Ainsi la fonction d’onde d’un porteur s’écrit :

ψ_e/h(~r) = u_c/v(~r)F_e/h(~r), (II.31) Dans le cas d’un semi-conducteur massif, la fonction enveloppe est solution d’une équation de Shrödinger avec un Hamiltonien effectif de particule libre ˆp2/(2mc/v), et l’on retrouve simplement le terme _√1

Dans une boîte quantique, les porteurs ressentent un potentiel de confinement ˆV_qd du à la différence de gap des matériaux à l’interface. La fonction enveloppe est solution d’une équation de Shrödinger avec un Hamiltonien effectif ˆp2/(2mc/v) + ˆVqd. L’interaction coulombienne entre l’électron et le trou peut en général être traitée en théorie des perturbations [119]. Le confinement défini principalement les états électroniques accessibles à l’électron d’une part et au trou d’autre part. Chacun des porteurs joue vis à vis du confinement un rôle indépendant. Le principe de Pauli s’applique donc à chacun d’eux conférant ainsi un caractère fermionique aux excitons dans une QD. Le confinement conduit en général, à plusieurs états piégés mais nous ne considèrerons dans la suite que le fondamental du piège pour l’électron et le trou.

Les propriétés de symétrie du potentiel de confinement, c’est-à-dire la forme de la QD, imposent les propriétés des états électroniques. Pour des QD symétriques (symétrie cylindrique autour de l’axe de croissance), la composition des moments cinétiques à partir des états électroniques de la bande de valence (trous lourds : J = 3/2, mJ =±3/2 notés |⇑i et |⇓i), et de la bande de conduction (J = 1/2, mJ =±1/2 notés |↑i et |↓i) conduit à quatre états excitoniques dégénérés deux à deux :

– les excitons brillants : J = 1, mJ =±1 notés |⇑, ↓i et |⇓, ↑i, – les excitons noirs : J = 2, mJ =±2 notés |⇑, ↑i et |⇓, ↓i.

Les excitons noirs ont un moment cinétique qui vaut ±2~ et ne peuvent pas être peuplés par une transition à un photon depuis le fondamental. Les excitons brillants, quant à eux, sont couplés au fondamental par un photon polarisé circulairement.

Les QDs que nous couplons à une cavité FFP sont des QDs auto-assemblées en InGaAs, et généralement la symétrie dans les directions X et Y n’est pas conservée lors de la formation conduisant à des QDs elliptiques. Ceci à pour conséquence une levée de dégénérescence [120] [121] [122] entre les états |⇑, ↓i et |⇓, ↑i, et conduit à la définition de nouveaux états propres excitoniques brillants :

|Xi = √¹

2⁽|⇑, ↓i + |⇓, ↑i), |Y i = √¹

2⁽|⇑, ↓i − |⇓, ↑i). (II.32) Les nouveaux états propres |Xi et |Y i sont couplés au photons polarisés linéairement selon les directions cristallographiques [110] et [1¯10] respectivement [123].

L’installation dans le montage expérimental d’un appareil permettant d’effectuer une rotation d’un des miroirs par rapport à l’autre peut mener à l’optimisation de l’angle entre le dipôle et la polarisation du champ, et ainsi à une optimisation du couplage. Comme nous l’avons vu précédemment (§I.1.1.d) les deux polarisations linéaires du mode de cavité sont non dégénérées, et les micro-cavités FFP permettent à priori de s’adresser individuellement à un des deux états excitoniques brillants, au choix.

Comme dans le cas atomique, le dipôle d’une QD dans du GaAs peut s’exprimer en fonction de sa demi-largeur naturelle radiative γrad [124] :

|d|² = 3~π0c32γ ω3 xnGaAs , et donc gqd = s 3cλ2γrad 4πnGaAsef fVef f . (II.33)

Cette expression correspond au cas atomique avec pour seul différence l’indice du milieu dans lequel est plongé la QD. Il est cependant plus commode de comparer les QDs

II.3 Calcul de la constante de couplage g 53 par l’intermédiaire de leurs forces d’oscillateur. La force d’oscillateur est un nombre sans dimension permettant de quantifier la force de l’interaction de la transition et elle s’exprime en fonction du dipôle par [66] :

f = ^2meωX|d|2

e2