Propri´ et´ es des suites convergentes

Etudions `a pr´esent les propri´et´es des suites convergentes de Rnet de leurs limites vis-`a-vis des op´erations que nous avons introduites entre les points de Rn.

a) Vis-`a-vis de la combinaison lin´eaire

D´efinitions. Si J appartient `a N0, si (x<sup>(1)</sup>m )<sub>m∈N0</sub>, . . . , (x<sup>(J )</sup>m )<sub>m∈N0</sub> sont des suites de R<sup>n</sup> (resp. de C) et si r1, . . . , rJ sont des nombres r´eels (resp. complexes), la combinaison lin´eaire (resp. la combinaison lin´eaire complexe) correspondante est la suite dont le m-`eme ´el´ement est ´egal `aPJ

j=1r_jx^(j)m. Elle est not´ee

J X j=1 r_jx^(j)_m ! m∈N0 ou mˆeme J X j=1 r_jx^(j)_m

si aucune ambigu¨ıt´e n’est possible.

Remarquons imm´ediatement que, dans cette d´efinition, nous pouvons supposer que tous les coefficients diff`erent de 0.

Voici le r´esultat principal.

Th´eor`eme 2.3.5.1 Soient (x_m)_m∈N

0 et (y_m)_m∈N

0 des suites de Rn et (r_m)_m∈N 0 une suite de R.

a) i) Si les suites x_m et y_m convergent respectivement vers x et y, alors la suite x_m+ y_m converge vers x + y.

a) ii) Si la suite xm converge vers x et la suite rm vers r, alors la suite rmxm

converge vers rx.

D`es lors, toute combinaison lin´eaire de suites convergentes converge vers la com-binaison lin´eaire correspondante des limites.

b) Si la suite x_m converge vers l’infini et si la suite y_m est born´ee, alors la suite x_m+ y_m converge vers l’infini.

c) Si la suite x_m converge vers l’infini et s’il existe r > 0 tel que |r_m| ≥ r pour tout m ∈ N0, alors la suite r_mx_m converge vers l’infini.

Preuve. a) i) De fait, pour tout ε > 0, il existe des nombres r´eels M₁ et M₂ tels que

m ≥ M₁ ⇒ |x_m− x| ≤ ε/2 m ≥ M₂ ⇒ |y_m− y| ≤ ε/2 donc tels que

m ≥ sup{M₁, M₂} ⇒ |x_m+ y_m− x − y| ≤ ε.

a) ii) Comme la suite r_m converge, elle est born´ee: il existe donc C > 0 tel que |r_m| ≤ C pour tout m ∈ N0. Cela ´etant, pour tout ε > 0, il existe des nombres r´eels M₁ et M₂ tels que

m ≥ M₁ ⇒ |x_m− x| ≤ ε/(2C) m ≥ M₂ ⇒ |r_m− r| ≤ ε/(2 |x| + 2)

donc tels que, pour tout m ≥ sup{M₁, M₂}, on a

|r_mx_m− rx| = |r_m(x_m− x) + (r_m− r)x|

≤ |rm| |xm− x| + |rm− r| |x| ≤ ε.

b) Comme la suite y_m est born´ee, il existe C > 0 tel que |y_m| ≤ C pour tout m ∈ N0. Cela ´etant, pour tout N > 0, il existe M tel que

m ≥ M ⇒ |x_m| ≥ N + C donc tel que

m ≥ M ⇒ |x_m+ y_m| ≥ |x_m| − |y_m| ≥ N. c) De fait, pour tout N > 0, il existe M tel que

m ≥ M ⇒ |x_m| ≥ N/r donc tel que

m ≥ M ⇒ |rmxm| ≥ r |xm| ≥ N. Dans C, ce r´esultat peut ˆetre pr´ecis´e de la mani`ere suivante.

Proposition 2.3.5.2 L’´enonc´e pr´ec´edent s’applique aux suites num´eriques si on y remplace “ Rn” et “ R” par “ C” ainsi que “combinaison lin´eaire” par “combi-naison lin´eaire `a coefficients complexes”.

Preuve. La mˆeme d´emonstration convient car on a |z + z⁰| ≤ |z| + |z0| ainsi que |zz⁰| = |z| |z0| pour tous z, z0

∈ C.

Remarque. Dans le cas des suites num´eriques r´eelles, on en d´eduit aussitˆot de nom-breux r´esultats relatifs `a la convergence par la droite ou par la gauche ainsi qu’`a la con-vergence vers +∞ ou vers −∞.

b) Vis-`a-vis du produit scalaire

D´efinitions. Dans Rn (resp. C), le produit scalaire (resp. produit) des suites (x_m)_m∈N0 et (y_m)_m∈N0 est la suite num´erique r´eelle (resp. complexe) dont le m-`eme ´el´ement est ´egal au produit scalaire hx_m, y_mi (resp. au produit x_my_m). Elle est not´ee

(hx_m, y_mi)_m∈N

0 (resp. (x_my_m)_m∈N 0)

Th´eor`eme 2.3.5.3 a) Le produit scalaire de deux suites convergentes de Rn

converge vers le produit scalaire de leurs limites. b) Si les suites (x_m)_m∈N

0 et (y_m)_m∈N

0 de Rn sont respectivement convergente vers 0 et born´ee, alors la suite hx_m, y_mi converge vers 0.

Preuve. a) Soient x_met y_mdes suites convergentes de Rn, de limites respectives x et y. Toute suite convergente ´etant born´ee, il existe C > 0 tel que |y_m| ≤ C pour tout m ∈ N0. Cela ´etant, pour tout ε > 0, il existe des nombres r´eels M₁ et M₂ tels que

m ≥ M₁ ⇒ |x_m− x| ≤ ε/(2C) m ≥ M₂ ⇒ |y_m− y| ≤ ε/(2 |x| + 2). Au total, pour tout m ≥ sup{M1, M2}, on a

|hx_m, y_mi − hx, yi| = |hx_m− x, y_mi + hx, y_m− yi| ≤ |x_m− x| |y_m| + |x| |y_m− y| ≤ ε.

b) Comme la suite y_m est born´ee, il existe C > 0 tel que |y_m| ≤ C pour tout m ∈ N0. Cela ´etant, pour tout ε > 0, il existe M tel que

m ≥ M ⇒ |x_m| ≤ ε/C, donc tel que

m ≥ M ⇒ |hx_m, y_mi| ≤ |x_m| |y_m| ≤ ε, ce qui suffit.

Remarque. Dans Rⁿ avec n ≥ 2, il n’existe pas de propri´et´e relative `a la suite hx_m, ymi si la suite x_m converge vers l’infini. Ainsi, dans R², on v´erifie directement les r´esultats suivants: am= (m, 0) → ∞ em = ((−1)^m/m, 0) → 0 bm = (m^−1/2, 0) → 0 fm= (0, m) → ∞ cm = (1/m, 0) → 0 gm= ((−1)^m/m, m) → ∞ d_m= (m⁻², 0) → 0 h_m = (1, m) → ∞ alors que ha_m, b_mi =^√m ↑ +∞ ha_m, f_mi = 0 → 0 ha_m, cmi = 1 → 1 ha_m, gmi = (−1)m6→ ha_m, dmi = 1/m → 0 ha_m, hmi = m ↑ +∞ ha_m, e_mi = (−1)m6→

Proposition 2.3.5.4 a) Le th´eor`eme pr´ec´edent s’applique aux suites num´ eri-ques si on y remplace “produit scalaire” par “produit”, “ Rⁿ” par “ C” et “hxm, y_mi” par “x_my_m”.

b) Si J appartient `a N0 et si les suites num´eriques zm<sup>(1)</sup>, . . . , zm<sup>(J )</sup> convergent respectivement vers z<sup>(1)</sup>, . . . , z<sup>(J )</sup>, alors la suite num´erique de m-`eme ´el´ement ´egal `

a zm⁽¹⁾· · · zm^{(J )} converge vers z(1)· · · z(J ).

c) Si la suite num´erique z_m converge vers z₀ et si on a z_m 6= 0 pour tout m ∈ N, alors la suite 1/zm converge vers 1/z0.

d) Si la suite num´erique z_m n’a aucun ´el´ement nul, alors elle converge vers 0 si et seulement si la suite 1/z_m converge vers l’infini.

Preuve. a) La mˆeme d´emonstration convient car on a |zz⁰| = |z| |z0| pour tous z, z⁰ ∈ C.

b) Pour J = 2, c’est un cas particulier de a). Un raisonnement par r´ecurrence permet de conclure aussitˆot.

c) Pour tout ε > 0, il existe M tel que

m ≥ M ⇒ |z_m− z₀| ≤ inf|z₀| /2, ε |z₀|²/2 donc tel que

m ≥ M ⇒     1 z_m − ¹ z₀     = |z0− zm| |z₀| |z_m| ^≤ ε |z0|² 2 · ¹ |z₀|^· 1 ||z₀| − |z₀− z_m|| ^{≤ ε.} d) est imm´ediat.

Remarque. Dans le cas des suites num´eriques r´eelles, on en d´eduit aussitˆot de nom-breux r´esultats relatifs `a la convergence par la droite ou par la gauche, ainsi qu’`a la convergence vers +∞ ou vers −∞.

c) Vis-`a-vis des grandeurs attach´ees aux points Consid´erons d’abord le recours aux composantes.

Proposition 2.3.5.5 Dans Rn, la suite x_m converge vers x si et seulement si, pour tout j ∈ {1, . . . , n}, la suite ([x_m]_j)_m∈N

0 converge vers la j-`eme composante de x.

Preuve. Cela r´esulte imm´ediatement des majorations |[x]_j| ≤ |x| ≤

n

X

k=1

Remarques. a) En particulier, la suite num´erique z_m converge vers z dans C si et seulement si les suites <zm et =zm convergent respectivement vers <z et =z.

b) Il n’existe pas de propri´et´e g´en´erale de ce type pour une suite de Rn qui converge vers l’infini. Pour s’en convaincre, il suffit de consid´erer les suites xm et ym de R² d´efinies par

x_m= (m, 0), y_2m= (2m, 0) et y_2m−1= (0, 2m − 1), ∀m ∈ N0.

c) La proposition ram`ene en fait l’´etude de la convergence des suites dans R<sup>n</sup> `a celle de n suites dans R.

Passons au module.

Proposition 2.3.5.6 Soit (x_m)_m∈N

0 une suite de Rⁿ.

a) Si la suite x_m converge vers x, alors la suite |x_m| converge vers |x|.

b) La suite x_m converge vers 0 si et seulement si la suite |x_m| converge vers 0. c) La suite xm converge vers l’infini si et seulement si la suite |xm| converge vers l’infini.

Preuve. a) r´esulte aussitˆot de l’in´egalit´e ||x| − |y|| ≤ |x − y|, valable pour tous x, y ∈ Rⁿ.

b) et c) sont triviaux.

Remarque. Si la suite |xm| converge vers a avec a 6= 0, on ne peut rien dire au sujet de la suite x_m. Cela est vrai mˆeme dans R, ainsi que l’´etablit la consid´eration de la suite (−1)^ma.

Passons aux suites num´eriques.

Proposition 2.3.5.7 La suite num´erique z_m converge vers z si et seulement si la suite z_m converge vers z.

Enfin certaines consid´erations sont particuli`eres aux suites num´eriques r´eelles. Proposition 2.3.5.8 La suite num´erique r´eelle x_m converge vers x si et seule-ment si les suites x_m+ et x_m− convergent respectivement vers x₊ et x−.

Par suite, si J est un entier sup´erieur ou ´egal `a 2 et si les suites num´eriques r´eelles x_1,m, . . . , x_J,m convergent respectivement vers x₁, . . . , x_J, alors les suites num´eriques r´eelles

sup{x_1,m, . . . , x_J,m} et inf{x_1,m, . . . , x_J,m} convergent respectivement vers sup{x₁, . . . , x_J} et inf{x₁, . . . , x_J}.

Remarque. Si la suite num´erique r´eelle x_m converge vers l’infini, on ne peut rien affirmer au sujet des suites num´eriques r´eelles xm+ et xm−. Pour s’en convaincre, il suffit de consid´erer les suites num´eriques r´eelles xm, ym et zm suivantes

d) Vis-`a-vis des signes d’´egalit´e et d’in´egalit´e

Proposition 2.3.5.9 Soient x_m et y_m des suites num´eriques r´eelles qui conver-gent respectivement vers x et y.

a) Si on a x 6= y, alors il existe M tel que xm 6= ym pour tout m ≥ M . D`es lors, si x diff`ere de a, il existe M tel que xm 6= a pour tout m ≥ M . b) Si on a x < y, alors il existe M tel que x_m < y_m pour tout m ≥ M .

En particulier, si on a x < a (resp. x > a), il existe M tel que x_m < a (resp. x_m > a) pour tout m ≥ M .

Preuve. a) De fait, il existe M tel que m ≥ M ⇒ |x_m− x| ≤ 1

3 |x − y| et |y_m− y| ≤ 1

3|x − y| , donc tel que

m ≥ M ⇒ |x_m− y_m| ≥ |x − y| − |x − x_m| − |y − y_m| ≥ 1

3|x − y| .

Le cas particulier r´esulte aussitˆot de la consid´eration de la suite constante ym = a pour tout m ∈ N0.

b) Il existe en effet M tel que m ≥ M ⇒ |x_m− x| ≤ 1

3 |x − y| et |y_m− y| ≤ 1

3|x − y| , donc tel que, par exemple dans le cas x < y, m ≥ M implique x_m < y_m.

Le cas particulier r´esulte aussitˆot de la consid´eration de la suite constante y_m = a pour tout m ∈ N0.

Proposition 2.3.5.10 a) Si la suite num´erique r´eelle x_m converge vers x et si, pour tout m ∈ N0, on a x_m < (resp. ≤, >, ≥) a, alors on a x ≤ (resp. ≤, ≥, ≥) a.

b) Si la suite num´erique r´eelle x_m converge vers +∞ (resp. −∞) et si la suite num´erique r´eelle y_m est telle que x_m ≤ (resp. ≥) y_m pour tout m ∈ N0, alors on a y_m → +∞ (resp. −∞).

Preuve. a) est direct par contradiction, vu la partie b) de la proposition pr´ec´edente.

b) est trivial.

Remarque. On recourt bien souvent `a la partie a) de cette derni`ere proposition selon la formule “lors d’un passage `a la limite dans R, les signes d’´egalit´e se maintiennent avec ´etablissement ´eventuel du signe d’´egalit´e”.

Th´eor`eme 2.3.5.11 (´etau) Si les suites num´eriques r´eelles x_m et y_m conver-gent vers a et si la suite num´erique r´eelle z_m v´erifie x_m ≤ z_m ≤ y_m pour tout m ∈ N0, alors la suite z_m converge vers a.

Preuve. Cela r´esulte aussitˆot des majorations ´evidentes |z_m− a| ≤ sup{|x_m− a| , |y_m− a|}, ∀m ∈ N0.

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