Int´ erieur, adh´ erence, fronti` ere

Remarquons de suite qu’il existe des parties de Rn qui ne sont ni ouvertes, ni ferm´ees. Il en est ainsi, par exemple, des intervalles des types ]a, b] et [a, b[ dans R. Dans ce paragraphe, `a toute partie A de Rⁿ, nous allons associer un ouvert et un ferm´e particuliers qui permettent de “cerner” A.

D´efinitions. Un point x de Rn est int´erieur `a la partie A de Rn s’il est le centre d’une boule incluse dans A.

L’int´erieur de A est l’ensemble des points int´erieurs `a A; il est not´e A^◦ ou (A)^◦. Proposition 2.4.2.1 L’int´erieur de A est un ouvert inclus dans A et contient tout ouvert inclus dans A. (On dit que A^◦ est “le plus grand ouvert ” inclus dans A.)

En particulier, on a A = A^◦ si et seulement si A est ouvert.

Preuve. Il est clair que A^◦ est inclus dans A et il est imm´ediat que A^◦ contient tout ouvert inclus dans A. Pour conclure, il suffit alors de prouver que A^◦ est un ouvert. Or, pour tout x ∈ A^◦, il existe r > 0 tel que { y : |x − y| ≤ r} ⊂ A donc tel que l’ouvert { y : |x − y| < r} soit inclus dans A donc dans A^◦, ce qui suffit.

Exemples. On v´erifie ais´ement les ´egalit´es

[a, b]^◦ = ]a, b[ et { y : |x − y| ≤ r}^◦ = { y : |x − y| < r} .

D´efinitions. Un point x de Rⁿest adh´erent `a la partie A de Rⁿsi toute boule de centre x est d’intersection non vide avec A.

L’adh´erence de A est l’ensemble des points adh´erents `a A; il est not´e A ou A⁻ ou (A)⁻.

Voici une caract´erisation interne de l’adh´erence de A.

Proposition 2.4.2.2 Dans Rn, un point x appartient `a l’adh´erence de A si et seulement s’il existe une suite de A qui converge vers x.

Preuve. La condition est n´ecessaire. De fait, si x est adh´erent `a A, alors, pour tout m ∈ N0, l’ensemble A<sub>m</sub> = A ∩ { y : |x − y| ≤ 1/m} n’est pas vide. Il existe donc une suite xm telle que xm ∈ Am pour tout m ∈ N0. D’o`u la conclusion car il s’agit d’une suite de A qui converge vers x.

La condition est ´evidemment suffisante.

Proposition 2.4.2.3 L’adh´erence de A est un ferm´e contenant A et inclus dans tout ferm´e contenant A. (On dit que A⁻ est “le plus petit ferm´e” contenant A.)

Preuve. Il est clair que A est inclus dans A⁻. De plus, vu la proposition pr´ec´edente, il est imm´ediat que A⁻ est inclus dans tout ferm´e contenant A. Pour conclure, il suffit donc de prouver que A⁻ est ferm´e. Cela r´esulte aussitˆot de la formule

Rⁿ\ A = (Rn\ A)^◦

qui exprime tout simplement que x ∈ Rn n’appartient pas `a A⁻ si et seulement s’il existe r > 0 tel que la boule { y : |x − y| ≤ r} soit incluse dans Rⁿ\ A.

Exemples. On v´erifie ais´ement les ´egalit´es

]a, b[⁻= [a, b] et { y : |x − y| < r}⁻ = { y : |x − y| ≤ r} .

Proposition 2.4.2.4 Pour toute partie A et tout ouvert Ω de Rⁿ, on a (Ω ∩ A)⁻ = (Ω ∩ A)⁻.

Preuve. L’inclusion (Ω ∩ A)⁻⊂ (Ω ∩ A)− r´esulte aussitˆot de ce que (Ω ∩ A)⁻ est un ferm´e contenant Ω ∩ A.

Inversement, soit x un ´el´ement de (Ω ∩ A)⁻. Il existe donc une suite x_m de Ω ∩ A qui converge vers x. Pour tout m ∈ N0, il existe r_m > 0 tel que { y : |x_m− y| ≤ r_m} soit inclus dans Ω et nous pouvons supposer que la suite r_m converge vers 0. Cela ´

etant, pour tout m ∈ N0, A_m = A ∩ { y : |x_m− y| ≤ r_m} n’est pas vide et il existe donc une suite y_m telle que y_m ∈ A_m pour tout m ∈ N0. D’o`u la conclusion car il s’agit d’une suite de Ω ∩ A qui converge vers x.

Remarque. Pour toute partie A de Rⁿ, nous venons d’introduire le plus grand ouvert A^◦ et le plus petit ferm´e A⁻tels que A^◦⊂ A ⊂ A⁻. Pour savoir `a quel point ces inclusions sont fines, il suffit de consid´erer l’ensemble A<sup>−</sup> \ A<sup>◦</sup>, c’est-`a-dire l’ensemble des points fronti`ere introduit ci-apr`es.

D´efinitions. Un point x de Rⁿ est fronti`ere de A si toute boule de centre x est d’intersection non vide avec A et avec Rn\ A.

La fronti`ere de A est l’ensemble des points fronti`ere de A; il est not´e A^• ou (A)^•. Il est clair que A^• = A⁻\ A◦.

Exemples. On v´erifie ais´ement les ´egalit´es ]a, b[^• = [a, b]^• = {a, b} et

{ y : |x − y| < r}^• = { y : |x − y| ≤ r}^• = { y : |x − y| = r} . Proposition 2.4.2.5 Pour toute partie A de Rn, A^• = A⁻∩ (Rn\ A)−. En particulier, la fronti`ere de A est ferm´ee et A^• = (Rn\ A)•.

Proposition 2.4.2.6 La fronti`ere d’un ouvert (resp. d’un ferm´e) est un en-semble d’int´erieur vide.

Preuve. Comme on a A^• = (Rn \ A)•

pour toute partie A de Rn, il suffit d’´etablir la proposition dans le cas d’un ouvert Ω. Proc´edons par l’absurde. Sup-posons que x soit un point int´erieur `a Ω<sup>•</sup>. Il existe alors r > 0 tel que la boule { y : |x − y| ≤ r} soit incluse dans Ω<sup>•</sup>. De plus, il doit exister un point z de Ω tel que |x − z| ≤ r/2. Or un tel point z ne peut appartenir `a Ω^• puisqu’il est le centre d’une boule incluse dans Ω. D’o`u la conclusion.

Remarques. Il existe de nombreuses relations entre les ensembles A, A^◦, A⁻ et A^•. Nous n’allons en citer que quelques unes, laiss´ees comme exercices.

a) Pour toute partie A de Rⁿ, ´etablir que A^◦et A^• sont disjoints et d’union ´egale `a A⁻. En particulier, on a A^• ⊂ A si et seulement si A est ferm´e. De mˆeme, on a A^• ⊂ Rn\ A si et seulement si A est ouvert.

b) Pour toute partie A de Rⁿ, on a les ´egalit´es

Rⁿ\ A^◦ = (Rⁿ\ A)⁻ et Rⁿ\ A⁻= (Rⁿ\ A)^◦,

qui permettent de d´eduire les propri´et´es de l’adh´erence (resp. de l’int´erieur) de A `a partir de celles de l’int´erieur (resp. l’adh´erence) de son compl´ementaire.

∗ → Le recours aux op´erations d’int´erieur, d’adh´erence et de fronti`ere sur une mˆeme partie A de Rⁿ n’introduit qu’un nombre fini d’ensembles distincts.

Proposition 2.4.2.7 Tout ensemble form´e `a partir de A et des op´erations d’in-t´erieur, d’adh´erence et de fronti`ere est n´ecessairement ´egal `a un des ensembles sui-vants:

∅, A A⁻, A^◦, A^•,

A^−◦, A^−•, A^◦−, A^◦•, A^•◦, A^••, A^−◦−, A^−◦•, A^◦−◦, A^◦−•, A^•◦−, A^•◦•. Preuve. Bien sˆur, on rencontre A, A^◦, A⁻ et A^•.

Consid´erons `a pr´esent les ensembles obtenus `a partir de A et deux des op´erations envisag´ees. En plus de ceux mentionn´es dans l’´enonc´e, on peut aussi rencontrer A⁻⁻= A⁻, A^◦◦ = A^◦ et A^•− = A^•.

Consid´erons ensuite les ensembles obtenus `a partir de A et trois des op´erations envisag´ees. En plus de ceux mentionn´es dans l’´enonc´e, on peut rencontrer (tout en n´egligeant bien sˆur ceux qui commencent ou se terminent par un des assemblages

−−, ^◦◦ ou^•− d´ej`a ´elimin´es)

A^−••= A<sup>−• car la fronti`ere d’un ferm´e est d’int´erieur vide et car un</sup> ferm´e est ´egal `a l’union de son int´erieur et de sa fronti`ere, A<sup>◦•◦</sup> = ∅ car la fronti`ere d’un ouvert est d’int´erieur vide,

A^◦•• = A^◦• car la fronti`ere d’un ouvert est d’int´erieur vide et car un ferm´e est ´egal `a l’union de son int´erieur et de sa fronti`ere, A<sup>••◦</sup> = ∅ car la fronti`ere d’un ferm´e est d’int´erieur vide,

A^••• = A^•• car la fronti`ere d’un ferm´e est d’int´erieur vide et car un ferm´e est ´egal `a l’union de son int´erieur et de sa fronti`ere.

Consid´erons ensuite les ensembles obtenus `a partir de A et quatre des op´erations envisag´ees. En plus des assemblages qui commencent ou se terminent par un des assemblages d´ej`a ´elimin´es, on trouve

A^−◦−◦ = A^{−◦ car on a A−◦−} ⊃ A−◦ ⇒ A−◦−◦ ⊃ A−◦ et A^−◦⊂ A−⇒ A−◦− ⊂ A− ⇒ A−◦−◦ ⊂ A−◦, A^−◦−• = A^{−◦• car on a A−◦−• = A−◦−−}(Rn\ A−◦−◦) = A^−◦−∩ (Rn\ A−◦◦) = A^−◦•, A^◦−◦− = A^◦− car on a A^◦−◦ ⊂ A◦− ⇒ A◦−◦− ⊂ A◦− et A^◦−⊃ A◦ ⇒ A◦−◦⊃ A◦ ⇒ A◦−◦− ⊃ A◦−,

A^◦−◦• = A^◦−• car on a A^◦−◦• = A^{◦−◦−•} = A^◦−•, la premi`ere ´egalit´e provenant de E^−◦• = E^−◦−• pour toute partie E de Rⁿ, A^•◦−◦ = A^{•−◦−◦}= A^•−◦= A^•◦,

A^•◦−• = A^•◦−−∩ (Rn\ A•◦−◦) = A^•◦−∩ (Rn\ A•−◦−◦), ce dernier ensemble ´etant ´egal `

a A^•◦−∩ (Rn\ A•−◦) = A^•◦−∩ (Rn\ A•◦◦) = A^•◦•.

Au total, aucune autre possibilit´e que celles annonc´ees dans l’´enonc´e ne peut apparaˆıtre.

Pour conclure, nous devons encore prouver qu’aucune des possibilit´es de l’´enonc´e n’est superflue. Pour s’en assurer, il suffit de proc´eder comme suit: on choisit a, b, c, d ∈ R tels que a < b < c < d puis on consid`ere l’ensemble

A = ]−∞, a[ ∪ ]a, b[ ∪ {c} ∪ { x : x ∈ Q , x ∈ ]d, +∞[} . Il est non vide et tel que

A⁻ = ]−∞, b] ∪ {c} ∪ [d, +∞[ , A^◦ = ]−∞, a[ ∪ ]a, b[ , A^• = {a, b, c} ∪ [d, +∞[ , A^−◦ = ]−∞, b[ ∪ ]d, +∞[ , A^−• = {b, c, d}, A^◦− = ]−∞, b] , A^◦• = {a, b}, A^•◦ = ]d, +∞[ , A^•• = {a, b, c, d}, A^−◦− = ]−∞, b] ∪ [d, +∞[ , A^−◦• = {b, d}, A^◦−◦ = ]−∞, b[ , A^◦−• = {b}, A^•◦− = [d, +∞[ , A^•◦• = {d}.

Nous voyons que, pour cet ensemble A particulier, toutes les possibilit´es de l’´enonc´e sont distinctes.

D’o`u la conclusion. ← ∗

2.4.3 Compacts

Dans une premi`ere ´etude de l’espace Rn, les parties compactes peuvent ˆetre introduites en recourant `a la caract´erisation de Heine-Borel.

D´efinition. Une partie K de Rⁿ est compacte (on dit aussi que K est un compact ) si elle est born´ee et ferm´ee.

Exemples. a) Tout intervalle born´e et ferm´e est compact. b) Toute boule ferm´ee de Rⁿ est compacte.

c) Toute partie finie est compacte.

d) Si la suite x_m converge vers x₀ dans Rn, alors K = { x_m : m ∈ N} est un compact. D’une part K est born´e car toute suite convergente est born´ee. D’autre part, K est ferm´e. De fait, soit y_m une suite de K qui converge et soit y₀ sa limite. S’il en existe une sous-suite y_k(m) constante, bien sˆur la limite y₀ appartient `a K. Si y<sub>m</sub> n’admet pas de sous-suite constante, on v´erifie ais´ement qu’il en existe une sous-suite qui est en mˆeme temps une sous-suite de x<sub>m</sub> et ainsi on a y<sub>0</sub> = x<sub>0</sub> ∈ K. D’o`u la conclusion.

Voici une propri´et´e remarquable des compacts de Rn.

Th´eor`eme 2.4.3.1 (Bolzano-Weierstrass) De toute suite born´ee de Rⁿ, on peut extraire une sous-suite de Cauchy.

D`es lors, de toute suite d’un compact K de Rn, on peut extraire une sous-suite convergente vers un point de K.

Preuve. Soit (xm)_m∈N0 une suite born´ee de Rⁿ. Proc´edons par r´ecurrence. Le nombre de mailles du r´eseau d´ecimal d’´equidistance 10⁻¹ qui contiennent au moins un ´el´ement de la suite est fini. Par suite, il existe au moins une maille I de ce r´eseau telle que { m ∈ N0 : xm ∈ I} ne soit pas fini, soit I1 une maille du r´eseau qui jouit de cette propri´et´e et soit k(1) un entier tel que x_k(1) appartienne `a I<sub>1</sub>. Si I<sub>1</sub>, . . . , I<sub>m−1</sub> et x<sub>k(1)</sub>, . . . , x<sub>k(m−1)</sub> sont obtenus, on d´etermine I<sub>m</sub> et x<sub>k(m)</sub> de la mani`ere suivante. Le nombre de mailles du r´eseau d´ecimal d’´equidistance 10^−mincluses dans Im−1 est fini. Il existe donc au moins une de ces mailles, soit I, telle que l’ensemble { m : x_m ∈ I} ne soit pas fini. Alors I_m est une telle maille et k(m) est un entier strictement sup´erieur `a k(m − 1) et tel que x_k(m) ∈ Im. Cela ´etant, la suite x_k(m) est bien sˆur une sous-suite de la suite x_m. Pour conclure, il suffit alors de noter que cette suite x_k(m) est de Cauchy car on a

p ≤ q ⇒ x_k(p), x_k(q) ∈ I_p ⇒

x_k(p)− x_k(q)

≤ diam(I_p) = 10^−pn^1/2. D’o`u la conclusion.

Voici quelques applications de ce th´eor`eme d’extraction.

Proposition 2.4.3.2 Le diam`etre de tout compact non vide de Rⁿ est r´ealis´e. En d’autres termes, pour tout compact non vide K de Rn, il existe x, y ∈ K tels que |x − y| = diam(K).

Preuve. Comme K est born´e et non vide, il admet un diam`etre donn´e par diam(K) = sup { |x − y| : x, y ∈ K} .

On sait alors qu’il existe une suite de { |x − y| : x, y ∈ K} qui converge vers diam(K), c’est-`a-dire qu’il existe des suites x_m et y_mde K telles que la suite |x_m− y_m| converge vers diam(K).

Par le th´eor`eme d’extraction, de la suite x<sub>m</sub>, on peut extraire une sous-suite x<sub>k(m)</sub> qui converge vers un point x de K. Cela ´etant, y<sub>k(m)</sub> est une suite de K dont, par le th´eor`eme d’extraction ´egalement, on peut extraire une sous-suite y_l(k(m)) qui converge vers un point y de K. Remarquons alors que x_l(k(m)) est une sous-suite de x_k(m), donc est une suite qui converge vers x. Au total, il vient

x_l(k(m))− y_l(k(m))

→ |x − y| avec x, y ∈ K alors que xl(k(m))− yl(k(m))

 est une sous-suite de |xm− ym|, donc est une suite qui converge vers diam(K).

D’o`u la conclusion.

Proposition 2.4.3.3 Dans Rn, la distance d’un compact non vide `a un ferm´e non vide est r´ealis´ee.

En d’autres termes, pour tout compact non vide K et tout ferm´e non vide F de Rⁿ, il existe x ∈ K et y ∈ F tels que |x − y| = d(K, F ).

Preuve. Comme on a

d(K, F ) = inf { |x − y| : x ∈ K, y ∈ F } ,

il existe des suites x_m de K et y_m de F telles que |x_m− y_m| → d(K, F ). De la suite x_m du compact K, on peut extraire une sous-suite convergente dans K: soit x_k(m) → x une telle sous-suite. Cela ´etant, consid´erons la sous-suite y_k(m)de la suite y_m. Comme, pour tout m ∈ N0, on a |y_m| ≤ |x_m| + |x_m− y_m|, on voit que la suite y_m est born´ee. Par cons´equent, de la suite y_k(m), on peut extraire une sous-suite convergente: soit y_l(k(m)) → y une telle sous-suite. Comme y_l(k(m)) appartient au ferm´e F pour tout m ∈ N0, on obtient que y appartient `a F . La conclusion est alors directe: on a bien sˆur x_l(k(m))→ x puis

x_l(k(m))− y_l(k(m)) → x − y donc x_l(k(m))− y_l(k(m))→ |x − y| , ce qui entraine |x − y| = d(K, F ).

Corollaire 2.4.3.4 Si le compact non vide K et le ferm´e non vide F de Rnsont tels que d(K, F ) = 0, alors K ∩ F 6= ∅.

Corollaire 2.4.3.5 Si le compact non vide K et l’ouvert non vide Ω de Rn sont tels que Ω 6= Rⁿ et K ⊂ Ω, alors d(K, Rⁿ\ Ω) > 0.

Th´eor`eme 2.4.3.6 (Cantor) Si (K_m)_m∈N

0 est une suite de compacts non vides emboˆıt´es en d´ecroissant (c’est-`a-dire que K_m+1 ⊂ K_m pour tout m ∈ N0), alors K =T∞

m=1K_m est un compact non vide.

Preuve. Comme toute intersection de born´es est born´ee et que toute intersec-tion de ferm´es est ferm´ee, nous savons d´ej`a que K est compact.

Pour conclure, prouvons que K est non vide. Comme K_m diff`ere de ∅ pour tout m ∈ N0, il existe une suite x_m telle que x_m ∈ K_m pour tout m ∈ N0. En particulier, la suite x_m est une suite de K₁ et on peut en extraire une sous-suite x_k(m) qui converge vers un ´el´ement x₀ de K₁. En fait, on a x₀ ∈ K_M pour tout M ∈ N0 car la suite (y_m = x_{k(M +m)})_m∈N0 est ´evidemment une suite de K_M et une sous-suite de x_k(m). On a donc x₀ ∈ K.