D´ erivabilit´ e et diff´ erentiabilit´ e
5.2 Fonctions r´ eelles sur un intervalle de R
5.2.3 Fonctions convexes et fonctions concaves
D´efinitions. Une fonction r´eelle f sur A ⊂ R est convexe (resp. concave) sur l’intervalle I ⊂ A si, pour tous a, b ∈ I et tout r ∈ ]0, 1[,
f (ra + (1 − r)b) ≤ rf (a) + (1 − r)f (b) (resp. f (ra + (1 − r)b) ≥ rf (a) + (1 − r)f (b)). L’interpr´etation g´eom´etrique est claire si on note que
a) les points ra + (1 − r)b avec r ∈ [0, 1] d´ecrivent le segment d’extr´emit´es a et b, b) la droite d´etermin´ee par les points (a, f (a)) et (b, f (b)) a pour ´equation
y − f (b) = f (b) − f (a)
b − a (x − b) et a donc rf (a) + (1 − r)f (b) pour ordonn´ee en ra + (1 − r)b.
a ra+H1-rLb b
Ha,fHaLL
Hb,fHbLL fHra+H1-rLbL
rfHaL+H1-rLfHbL
Remarquons aussi que la fonction r´eelle f sur l’intervalle I de R est concave si et seulement si la fonction −f est convexe sur I. Ceci permet d’obtenir directement les propri´et´es des fonctions concaves `a partir de celles des fonctions convexes.
Proposition 5.2.3.1 Si la fonction r´eelle f sur l’intervalle I de R est convexe, alors, pour tout J ∈ N0, tous x1, . . . , xJ ∈ I et tous r1, . . . , rJ > 0 tels que PJ j=1rj = 1, on a PJ j=1rjxj ∈ I et f J X j=1 rjxj ! ≤ J X j=1 rjf (xj).
Preuve. Proc´edons par r´ecurrence. Pour J = 2, on retrouve la d´efinition de la convexit´e. Si la propri´et´e est vraie pour J = 2, . . . , K, il suffit alors de noter que PK+1 j=1 rjxj s’´ecrit aussi (r1+ . . . + rK) K X j=1 rj r1+ . . . + rKxj + rK+1xK+1∈ I et de recourir `a la convexit´e de f .
Crit`ere 5.2.3.2 Si f est une fonction r´eelle sur l’intervalle I de R, les condi-tions suivantes sont ´equivalentes:
(1) f est convexe sur I,
(2) pour tout x, y, z ∈ I tels que x < y < z, on a f (y) − f (x)
y − x ≤ f (z) − f (x)
z − x ≤ f (z) − f (y) z − y ,
(3) pour tout x ∈ I, la fonction (f (·) − f (x)/(· − x) est croissante sur I \ {x}. Preuve. (1) ⇒ (2). De y = θx + (1 − θ)z avec θ = (z − y)/(z − x) ∈ ]0, 1[, on tire f (y) ≤ z − y z − xf (x) + y − x z − xf (z), c’est-`a-dire (z − x)f (y) ≤ (z − y)f (x) + (y − x)f (z) donc (z − x)(f (y) − f (x)) ≤ (y − x)(f (z) − f (x)),
c’est-`a-dire la premi`ere in´egalit´e. La seconde in´egalit´e quant `a elle a lieu si et seulement si
(z − y)(f (z) − f (x)) ≤ (z − x)(f (z) − f (y)),
c’est-`a-dire si et seulement si l’avant derni`ere in´egalit´e a lieu, ce qui suffit.
(2) ⇒ (3) est direct (on consid´erera les cas y < z < x, y < x < z et x < y < z). (3) ⇒ (1). Pour tous x, y ∈ I et r ∈ ]0, 1[, on a x < rx + (1 − r)y < y donc
f (x) − f (rx + (1 − r)y)
(1 − r)(x − y) ≤ f (y) − f (rx + (1 − r)y)
r(y − x) ,
Remarques. a) L’interpr´etation de (f (y) − f (x))/(y − x) comme ´etant le coefficient angulaire de la droite passant par les points (x, f (x)) et (y, f (y)) rend cet ´enonc´e bien plus parlant.
b) On a bien sˆur un ´enonc´e analogue avec “concave” au lieu de “convexe”, “≥” au lieu de “≤” et “d´ecroissante” au lieu de “croissante”.
Th´eor`eme 5.2.3.3 Toute fonction r´eelle et convexe (resp. concave) sur un intervalle ouvert de R est continue sur cet intervalle.
Preuve. Il suffit bien sˆur de traiter le cas de la convexit´e.
Soit f une fonction r´eelle et convexe sur l’intervalle ouvert I de R. Pour tout a ∈ I et tous x0, x, y, y0 ∈ I tels que x0 < x < a < y < y0, le crit`ere pr´ec´edent donne (y − a)f (x0) − f (a) x0− a ≤ f (y) − f (a) ≤ (y − a) f (y0) − f (a) y0 − a et (x − a)f (y0) − f (a) y0− a ≤ f (x) − f (a) ≤ (x − a) f (x0) − f (a) x0− a , donc respectivement lim
y→a+f (y) = f (a) et lim
x→a−f (x) = f (a), ce qui suffit.
Remarque. Le r´esultat pr´ec´edent ne s’´etend pas au cas d’un intervalle non ouvert de R. Pour s’en convaincre, il suffit, par exemple, de consid´erer la fonction
f : [0, 1[ → R x 7→
1 si x = 0 0 si 0 < x < 1 qui est convexe sur [0, 1[ mais non continue en 0.
Th´eor`eme 5.2.3.4 Une fonction r´eelle et d´erivable f sur un intervalle ouvert I de R est convexe (resp. concave) sur I si et seulement si sa d´eriv´ee est croissante (resp. d´ecroissante) sur I.
Preuve. Il suffit bien sˆur de traiter le cas de la convexit´e.
La condition est n´ecessaire. De fait, pour tous x, y ∈ I tels que x < y, il existe une suite hm > 0 convergeant vers 0 et telle que x + hm < y et y + hm ∈ I pour tout m ∈ N0. Vu le crit`ere, il vient alors
f (x + hm) − f (x)
hm ≤ f (y + hm) − f (y)
donc [Df ]x ≤ [Df ]y par passage `a la limite sur m.
La condition est suffisante. Pour tous x, y ∈ I tels que x < y et tout r ∈ ]0, 1[, f (rx + (1 − r)y) − rf (x) − (1 − r)f (y)
est ´egal `a
r(f (x + (1 − r)(y − x)) − f (x)) + (1 − r)(f (y + r(x − y)) − f (y)).
Cela ´etant, vu le th´eor`eme des accroissements finis, il existe θ, µ ∈ ]0, 1[ tels que cette expression soit ´egale `a
r(1 − r)(y − x)[Df ]x+θ(1−r)(y−x)+ (1 − r)r(x − y)[Df ]y+µr(x−y) = r(1 − r)(y − x) [Df ]x+θ(1−r)(y−x)− [Df ]y+µr(x−y)
avec x + θ(1 − r)(y − x) < y + µr(x − y), ce qui suffit.
Corollaire 5.2.3.5 Une fonction r´eelle et deux fois d´erivable sur un intervalle ouvert I de R est convexe (resp. concave) sur I si et seulement si sa d´eriv´ee seconde est une fonction positive (resp. n´egative) sur I.
Proposition 5.2.3.6 Si f est une fonction r´eelle et convexe sur l’intervalle ou-vert ]a, b[ de R, alors l’ensemble A des points de ]a, b[ o`u f n’est pas d´erivable est d´enombrable et Df est continu sur ]a, b[ \ A.
En fait,
a) f admet une d´eriv´ee `a droite et une d´eriv´ee `a gauche en tout point de ]a, b[, b) les deux fonctions “d´eriv´ee `a droite” et “d´eriv´ee `a gauche” sont respectivement continues `a droite et `a gauche,
c) A est l’ensemble des points de ]a, b[ o`u cette d´eriv´ee `a droite n’est pas continue; c’est aussi l’ensemble des points o`u la d´eriv´ee `a gauche n’est pas continue,
d) sur ]a, b[ \ A, les d´eriv´ees `a gauche et `a droite co¨ıncident. Preuve. Vu le crit`ere, pour tout x ∈ ]a, b[, les limites
f+0 (x) = lim h→0, h>0 f (x + h) − f (x) h et f 0 −(x) = lim h→0, h<0 f (x + h) − f (x) h
existent et sont finies. De plus, comme pour tous nombres r´eels c, d et x tels que a < c < x < d < b, on a
f−0 (c) ≤ f+0 (c) ≤ f (x) − f (c)
x − c ≤ f (x) − f (d)
les fonctions f+0 et f−0 ainsi d´efinies sur ]a, b[ sont croissantes et telles que f−0 ≤ f0 +. (Ce sont les fonctions appel´ees d´eriv´ee `a droite et d´eriv´ee `a gauche, dans l’´enonc´e.) Etablissons `a pr´esent que f+0 est une fonction continue `a droite sur ]a, b[. Vu la croissance de la fonction (f (·) − f (x))/(· − x) sur ]a, x[ ∪ ]x, b[ quel que soit x ∈ ]a, b[, on a bien sˆur
a < c < x < y < b ⇒ f+0 (x) ≤ f (y) − f (x) y − x et, comme f est continu sur ]a, b[,
a < c < x < y < b ⇒ lim x→c+f+0 (x) ≤ f (y) − f (c) y − c donc a < c < b ⇒ lim x→c+f+0 (x) ≤ f+0(c),
ce qui suffit car f+0 est une fonction croissante.
On ´etablit de mˆeme que f−0 est continu `a gauche sur ]a, b[.
Enfin on d´eduit de suite des premi`eres in´egalit´es ´etablies que f−0 est continu en tout point de continuit´e de f+0 et inversement, avec ´egalit´e de ces deux fonctions en tous ces points. D’o`u la conclusion car ´etant une fonction croissante sur ]a, b[, f+0 a une partie d´enombrable de ]a, b[ pour ensemble de points de discontinuit´e.
5.2.4 Asymptote au graphe
D´efinition. Une asymptote au graphe d’une fonction r´eelle f sur un intervalle I non major´e (resp. non minor´e) de R est une droite d’´equation y = mx + n telle que
lim
x→+∞|f (x) − mx − n| = 0 (resp. lim
x→−∞|f (x) − mx − n| = 0).
y = fHxL
y = mx+n
x
Proposition 5.2.4.1 Une fonction f r´eelle sur un intervalle I non major´e (resp. non minor´e) de R admet la droite d’´equation y = mx + n pour asymptote en +∞ (resp. en −∞) si et seulement si lim x→+∞ f (x) x = m et x→+∞lim (f (x) − mx) = n (resp. lim x→−∞ f (x) x = m et x→−∞lim (f (x) − mx) = n).
En particulier, si f admet une asymptote en +∞ (resp. −∞), elle est unique.