Propri´et´es des couleurs de span 1

La premi`ere v´erification consiste `a d´ecider ind´ependamment des autres couleurs si une couleur c peut ˆetre de span 1 apr`es transformation et par l’´etude de l’agencement des arˆetes du r´eseau portant la couleur c.

Connexit´e Consid´erons le sous-graphe d’une couleur c. Il s’agit du sous graphe du r´eseau induit par les arˆetes multicolor´ees portant la couleur c. La figure 4.23(a) pr´esente un r´eseau et les figures 4.23(b), 4.23(c), 4.23(d) et 4.23(e) les sous-graphes induits par les couleurs c1, c2, c3 et c4. Si ce

sous-graphe n’est pas connexe la couleur ne peut ´evidemment pas ˆetre de span 1. Ceci peut se v´erifier en temps polynomial par un simple parcours des sommets.

Dans la suite nous consid´erons donc que le sous-graphe d’une couleur c trait´ee est connexe. ´

Etoiles Dans le graphe d’une couleur c les arˆetes peuvent ˆetre divis´ees en deux classes, les arˆetes fixes et les arˆetes positionnables.

Les arˆetes fixes sont des arˆetes du r´eseau qui ne portent en fait qu’une seule couleur au lieu de deux, comme les arˆetes {s, u} et {u, t} du r´eseau 4.23(a) qui ne portent que la couleur c2. Ces

arˆetes ne n´ecessitent pas de transformation puisqu’elles sont d´ej`a monocolor´ees (Figure 4.23(f)). Outre ceci, leur particularit´e est que quoi qu’il advienne du reste du r´eseau, les deux extr´emit´es d’une arˆete fixe pour la couleur c appartiendrons `a la mˆeme composante connexe vis `a vis de cette couleur.

Les arˆetes positionnables correspondent `a toutes les autres arˆetes multicolor´ees du r´eseau qui portent deux couleurs. Il faut donc positionner chaque couleur `a l’une ou l’autre des extr´emit´es du chemin de longueur deux qui remplacera l’arˆete positionnable apr`es transformation du r´eseau. Deux sommets du r´eseau ne peuvent pas appartenir `a la mˆeme composante connexe vis `a vis d’une couleur c s’ils ne sont reli´es que par des arˆetes positionnables portant cette couleur. En effet une fois la transformation effectu´ee, la couleur c sera adjacente soit `a l’un de ces sommets soit `a l’autre mais pas aux deux en mˆeme temps. Sur la figure 4.23(f) le chemin issu de l’arˆete {s, v} illustre cette propri´et´e des arˆetes positionnables, la couleur c4 est adjacente `a s mais pas `a v.

4.4. TRANSFORMATION 89 s t v u c₂ c3 c₂ c₃ c₁ c₄ c_{2 c} 1 c₁ c₂

(a) un r´eseau multicolor´e

s t v u c₁ c1 c₁ (b) sous-graphe de la couleur c1 s t v u c₂ c2 c₂ c₂ (c) sous-graphe de la couleur c2 t v u s c₃ c₃ (d) sous-graphe de la couleur c3 s v u t c₄

(e) sous-graphe de la couleur c4

u t s v c₂ c2 c₃ c₃ c₂ c₁ c₁ c₁ c₄ c₂

(f) graphe obtenu par transfor- mation et du r´eseau

Fig. 4.23 – Exemple de r´eseau multicolor´e et des sous-graphes des couleurs.

Par cons´equent pour qu’une couleur soit de span 1, il faut que toutes les arˆetes positionnables soient adjacentes `a au moins une arˆete fixe s’il en existe dans le graphe de la couleur, mais aussi que les arˆetes fixes forment un sous-graphe connexe du graphe de la couleur.

Lemme 4.4 Dans un r´eseau multicolor´e, pour qu’une couleur comportant au moins une arˆete fixe puisse ˆetre de span 1 apr`es une transformation et, il est n´ecessaire que :

1. toutes les arˆetes fixes forment un sous-graphe connexe,

2. toutes les arˆetes positionnables soient adjacentes `a au moins une des arˆetes fixes.

En effet si deux arˆetes fixes comme les arˆetes {x, y} et {z, t} pour la couleur c1 de la figure 4.24

ne forment pas une composante connexe mais sont reli´ees par une arˆete positionnable, alors quelle que soit la position choisie pour la couleur sur cette arˆete positionnable, les deux arˆetes fixes ne feront pas partie de la mˆeme composante.

D’autre part, s’il n’y a pas d’arˆete fixe dans le sous-graphe de la couleur c, deux sommets de ce graphe ne pourrons pas ˆetre connexes apr`es transformation puisque les arˆetes positionnables ne permettent pas de connecter deux sommets. Ainsi, un seul sommet du graphe de la couleur peut faire partie de la composante de la couleur c apr`es transformation. Pour les besoins de la transformation des sommets sont cr´e´es qui seront au milieu des chemins et qui eux pourront appartenir `a cette composante, mais seul un sommet du r´eseau initial ne subsiste dans la composante connexe de la couleur apr`es transformation, comme la couleur c1 des figures 4.23(a), 4.23(b) et 4.23(c) l’illustre.

Pour trouver si un sommet convient il suffit de v´erifier si l’un d’entre eux est adjacent `a toutes les arˆetes multicolor´ees portant la couleur trait´ee c, c’est `a dire de v´erifier si l’intersection des extr´emit´es de toutes les arˆetes n’est pas vide. En d’autres termes il faut v´erifier l’existence d’un

x c1 y c1 c2 z c1 t

x c1 y c1 c2 z c1 t

x c1 y c1 c2 z c1 t

ou

Fig. 4.24 – Deux arˆetes fixes pour une couleur doivent appartenir `a la mˆeme composante connexe sinon la couleur ne peut pas ˆetre de span 1.

sommet au centre d’une ´etoile rassemblant toutes les arˆetes de couleur c dans le graphe de cette couleur. On parlera de sommets centraux ´egalement pour les extr´emit´es des arˆetes fixes lorsqu’il en existe.

Lemme 4.5 Dans un r´eseau multicolor´e, une couleur c ne comportant aucune arˆete fixe ne peut ˆetre de span 1 apr`es transformation et que si l’intersection de ses arˆetes est non vide, c’est `a dire que toutes ses arˆetes doivent ˆetre incidentes `a un mˆeme sommet.

La recherche de groupes d’arˆetes fixes connexes ou d’´etoiles dans le graphe d’une couleur ne permet pas seulement de d´ecider si toutes les couleurs du r´eseau pourront ˆetre de span 1 ind´ependamment les unes des autres apr`es transformation, mais permet aussi de positionner les arˆetes des couleurs qui le peuvent. Si les arˆetes de couleur c forment une ´etoile de centre le som- met u, alors elles devront toutes ˆetre transform´ees en un chemin dont l’arˆete adjacente `a u est de couleur c, et c’est la seule solution pour garantir le span. De mˆeme, il n’y a pas d’alternatives pour les arˆetes adjacentes `a une arˆete fixe, elles doivent n´ecessairement ˆetre transform´ees en un chemin dont l’extr´emit´e adjacente `a une arˆete fixe est de couleur c.

Lemme 4.6 Soit c une couleur pour laquelle un ensemble non vide Kc de sommets centraux `a ´et´e

trouv´e. Alors c ne peut ˆetre de span 1 que si toutes les arˆetes de couleur c sont incidentes aux sommets de Kc apr`es transformation et.

Une seule sous classe d’arˆetes positionnables ´echappe `a ce placement forc´e, il s’agit des arˆetes libres. Les arˆetes libres pour une couleur sont les arˆetes sur lesquelles le placement de cette couleur est sans incidence sur son span. Les arˆetes portant une couleur qui n’est pr´esente sur aucune autre arˆete du r´eseau, comme l’arˆete {s, v} pour la couleur c4 dans le r´eseau 4.23(a), sont des arˆetes

libres. D’autres arˆetes libres pour une couleur c sont les arˆetes adjacentes `a leurs deux extr´emit´es `

a des arˆetes fixes appartenant `a la mˆeme composante connexe vis `a vis de la couleur consid´er´ee c. La position de la couleur c apr`es transformation sur ces arˆetes n’a pas d’importance puisque les deux sommets auxquels c peut ˆetre adjacente apr`es transformation font d´ej`a partie de la mˆeme composante connexe vis `a vis de c. Dans le r´eseau 4.23(a) l’arˆete {u, t} est libre pour la couleur c2

car elle est adjacente `a {s, u} et {s, t} qui sont fixes toutes les deux. C’est grˆace `a la confrontation avec les imp´eratifs des autres couleurs qui partagent une arˆete du r´eseau avec c que la position de c sur les arˆetes libres pourra ˆetre d´etermin´ee.

Lemme 4.7 La position apr`es transformation et d’une couleur c sur une arˆete e n’a aucune influence sur le span de c dans les cas suivants :

– la couleur c n’appartient qu’`a une seule arˆete, l’arˆete e,

4.4. TRANSFORMATION 91