3.5 Briques de recouvrement
3.5.1 Principe du recouvrement par des briques
Le principe du recouvrement consiste `a d´eplacer le probl`eme du groupage vers un probl`eme de couverture du graphe des requˆetes par un ou plusieurs sous graphes particuliers.
c = 2 Nombre de sommets 3 4 5 6 7 8 9 10 Nombre de tubes 0 5 10 15 20 25 30 35 H1 H2 API NAF NAI
(a) Nombres de tubes obtenus pour C = 2.
c = 2
Nombre de sommets
3 4 5 6 7 8 9 10
Temps de calcul (en ms)
0 400 800 1200 1600 2000 2400 2800 H1 H2 API NAF NAI
(b) Dur´ees des calculs pour C = 2.
Fig. 3.7 – R´esultats pour un facteur de groupage C = 2.
c = 4 Nombre de sommets 3 4 5 6 7 8 9 10 Nombre de tubes 0 5 10 15 20 25 H1 H2 API NAF NAI
(a) Nombres de tubes obtenus pour C = 4.
c = 4
Nombre de sommets
3 4 5 6 7 8 9 10
Temps de calcul (en ms)
0 400 800 1200 1600 2000 2400 2800 3200 3600 H1 H2 API NAF NAI
(b) Dur´ees des calculs pour C = 4.
3.5. BRIQUES DE RECOUVREMENT 51 c = 8 Nombre de sommets 3 4 5 6 7 8 9 10 Nombre de tubes 0 5 10 15 20 H1 H2 API NAF NAI
(a) Nombres de tubes obtenus pour C = 8.
c = 8
Nombre de sommets
3 4 5 6 7 8 9 10
Temps de calcul (en ms)
0 1000 2000 3000 4000 5000 6000 7000 H1 H2 API NAF NAI
(b) Dur´ees des calculs pour C = 8.
Fig. 3.9 – R´esultats pour un facteur de groupage C = 8.
Supposons qu’un groupage soit connu pour un graphe de requˆete B∗. Alors s’il est possible de partitionner les arcs d’un graphe de requˆete G donn´e en sous graphes isomorphes `a B∗, un groupage
des requˆetes de G peut ˆetre d´eduit du groupage connu pour B∗. Il suffit de grouper chaque sous
ensemble de requˆetes de la partition suivant le groupage connu pour B∗ et de consid´erer l’union des ensembles de tubes ainsi choisis sur les sous ensembles de la partition.
Pour un facteur de groupage ´egal `a 2 et en faisant abstraction des orientations des requˆetes, le triangle constitue un graphe de groupage optimal connu simple comme illustr´e `a la figure 3.10(b) [BDPS03]. En effet le groupage repr´esent´e par cette figure r´epond `a toutes les conditions de la proposition 3.2. Chacun des deux tubes contient exactement C = 2 requˆetes dont une n’utilisant que ce tube et toutes les requˆetes utilisent au plus deux tubes. Par cons´equent ce groupage atteint la borne inf´erieure de C+12|R| = 2×33 = 2 ce qui signifie qu’il est optimal pour cet ensemble de requˆetes. Cependant un groupage peut ˆetre optimal mˆeme si la borne inf´erieure n’est pas atteinte. Il faut donc faire la diff´erence entre un groupage optimal, c’est `a dire qui utilise un nombre minimum de tubes, et un groupage parfait qui est optimal et atteint la borne inf´erieure de la proposition 3.1. Par d´efinition, le nombre de requˆetes |R| et le nombre de tubes |T | doivent v´erifier la relation |T | = C+12|R|, c’est-`a-dire |R| = |T |(C+1)2 , pour qu’un groupage parfait de ces requˆetes puisse exister. Dans la suite un graphe dont un groupage parfait est connu sera appel´e une brique de recouvrement. Une brique de recouvrement ´el´ementaire est alors une brique qui ne peut pas ˆetre d´ecompos´ee en briques comportant moins de requˆetes.
La figure 3.10(c) pr´esente la d´ecomposition du graphe de requˆete de la figure 3.10(a) en triangles qui sont donc des briques ´el´ementaires pour un facteur de groupage C = 2. Le groupage obtenu par cette d´ecomposition en deux triangles comporte 4 tubes comme le montre la figure 3.10(d), ce qui correspond `a la borne inf´erieure pour ce graphe de requˆete C+12|R| = 2×63 = 4.
D’une mani`ere g´en´erale, le groupage obtenu par la d´ecomposition exacte d’un graphe de requˆete en briques de recouvrement est aussi parfait puisqu’il v´erifie les trois conditions de la proposition 3.2. En effet chaque tube d’un tel groupage est aussi un tube d’un groupage parfait. Par cons´equent, il est emprunt´e par exactement C requˆetes dont une qui n’emprunte que ce tube. De plus aucune requˆete n’emprunte plus de deux tubes sinon le groupage de la brique `a laquelle elle appartient dans la d´ecomposition ne serait pas parfait.
1 2 3 4 5
(a) Graphe de requˆete G (b) Graphe de groupage optimal connu
B∗: le triangle
1 2 3 4 5
(c) D´ecomposition du graphe G en deux triangles B∗
1 2 3 4 5
(d) Groupage optimal de G
Fig. 3.10 – Exemple de d´ecomposition d’un graphe de requˆetes en sous graphes de groupage optimal connu pour un facteur de groupage C = 2.
est que tous les graphes ne se d´ecomposent pas en triangle qui est l’unique brique ´el´ementaire existante pour un facteur de groupage ´egal `a deux [BDPS03]. Toutefois, la d´ecomposition en un nombre maximum de briques ´el´ementaires permet d’obtenir d’excellents groupages, ou mˆeme des groupages optimaux.
Notre objectif n’´etait pas d’´etablir des heuristiques d´ecomposant un graphe de requˆetes en briques ´el´ementaires comme l’avaient fait les auteurs de [BDPS03] pour un facteur de groupage C = 2 sur l’anneau. Il semble exister un tr`es grand nombre de briques ´el´ementaires pour les facteurs de groupage sup´erieurs `a deux. Cependant la composition de ces briques entre elles repr´esente une source infinie de graphes de requˆetes de toutes tailles dont nous connaissons une solution optimale puisqu’elle atteint la borne inf´erieure.
Ces graphes de requˆetes peuvent permettre de tester les performances des heuristiques d´etaill´ees `
a la section 3.4.2, ou d’autres m´ethodes sur des instances du probl`eme pour lesquelles les techniques de programmation lin´eaire ne fournissent pas de solutions. Pour ces instances, trouver une solution optimale rel`eve de l’impossible. En particulier nous pourrons exp´erimenter ces heuristiques pour des facteurs de groupage du mˆeme ordre de grandeur que dans les r´eseaux r´eels, qui n´ecessitent un tr`es grand nombre de requˆetes. Cependant, ces graphes ayant une propri´et´e particuli`ere, les tests risquent de ne pas refl´eter exactement le comportement des m´ethodes de r´esolution sur des graphes de requˆetes vraiment quelconques. Pour limiter cet effet, il est possible d’ajouter un ensemble de requˆetes dont le groupage optimal est connu mais n’est pas parfait `a un ensemble de requˆetes de grande taille et dont le groupage est parfait.