Combinaisons

A partir des remarques pr´ec´edentes, pour construire un graphe de requˆetes poss´edant un grou- page parfait il suffit de combiner des sous graphes de requˆetes soit poss´edant d´ej`a un groupage parfait, soit n´ecessitant le partage d’un ou plusieurs tubes. Par exemple le sous graphe A encadr´e sur la figure 3.15 ne poss`ede pas de groupage parfait, mais peut partager des tubes avec un autre sous graphe de requˆetes. Ainsi `a partir d’un graphe ayant un groupage parfait, en supprimant ou en coupant en deux un tube, et en le combinant avec un autre graphe, on peut facilement obtenir un graphe de taille sup´erieure.

3.6. CONCLUSION 55

(a) Brique pour C = 4. (b) Brique pour C = 4.

Fig. 3.14 – Les ´etoiles constituent des briques pour C = 4. L’ensemble de requˆetes de la figure 3.14(a) n’est pas inclus dans celui de la figure 3.14(b).

A

Fig. 3.15 – Combinaison de tubes pour C = 4

3.6

Conclusion

Les probl`emes de conception de r´eseaux virtuels et de groupage sont d’une mani`ere g´en´erale des probl`emes difficiles et complexes aux formulations en programme lin´eaire lourdes. Malgr´e les hypoth`eses restrictives que nous avons consid´er´ees le groupage sur le chemin reste difficile. Nous avons toutefois propos´e des heuristiques efficaces en temps de calcul et produisant des solutions d’assez bonne qualit´e par rapport aux performances des techniques bas´ees sur la programmation lin´eaire. Cependant, les tests effectu´es ne concernent que des instances du probl`eme de petites tailles et des tests suppl´ementaires sur des instances de tailles sup´erieures sont n´ecessaires pour confirmer ces premiers r´esultats. D’apr`es nos observations, nous conjecturons qu’il est possible de relˆacher certaines contraintes d’int´egrit´e dans nos formulations en programmes lin´eaires. Grˆace `a ces formulations relˆach´ees, nous pourrions acc´el´erer le calcul du nombre de tubes optimal. Malgr´e cela, les temps de calcul pour les instances de grande taille restent relativement longs. L’automatisation de la construction de graphes de requˆetes poss´edant un groupage parfait est par cons´equent une ´etape `a franchir avant la r´ealisation de tests suppl´ementaires.

Chapitre 4

Tol´erance aux pannes et Graphes

color´es

La conception de r´eseaux multiniveaux tol´erants aux pannes n’est pas un probl`eme facile `a r´esoudre du fait de contraintes complexes. De plus, le trafic ´evolue sans cesse et il n’est pas r´ealiste de modifier la topologie virtuelle d’un r´eseau multiniveaux d`es que de nouvelles requˆetes arrivent et encore moins de r´eoptimiser le r´eseau `a chaque fois. Un nouveau travail de conception et d’opti- misation n’intervient que lorsque la situation devient critique et que le r´eseau n’est plus exploitable convenablement. Ainsi entre deux phases de r´eoptimisation, pour router et prot´eger de nouvelles connexions, un op´erateur est amen´e `a utiliser au mieux les ressources disponibles suivant un r´eseau virtuel non optimal fix´e.

Certains probl`emes de connexit´e li´es aux groupes de risques (srrg) doivent ˆetre ´evit´es pour garantir que les connexions supporteront les pannes survenant sur le r´eseau. Notamment, il est es- sentiel que les chemins de protection d’une connexion n’utilisent pas les mˆemes ressources physiques que le chemin principal, c’est `a dire qu’ils n’appartiennent pas aux mˆemes groupes de risque. Une panne survenant sur une ressource partag´ee par tous ces chemins mettrait fin `a la connexion.

Pour un op´erateur l’enjeu ´economique est crucial, et les cons´equences d’interruptions de connexions peuvent ˆetre dramatiques lorsqu’elles se traduisent par le non respect de contrats et des d´edommagement financiers importants. Savoir utiliser un r´eseau non optimal est donc aussi important que de savoir concevoir un r´eseau optimal.

Ainsi l’objectif de ce chapitre est l’´etude de l’utilisation d’un r´eseau multiniveaux soumis `a des pannes `a travers des probl`emes d’optimisation relatifs `a la connexit´e et `a la vuln´erabilit´e du r´eseau. Nous formulons ces probl`emes grˆace `a une nouvelle mod´elisation des r´eseaux multiniveaux, les graphes color´es.

Nous pr´esentons cette mod´elisation en section 4.1 o`u nous d´efinirons les graphes color´es ainsi que les probl`emes d’optimisation et de d´ecision li´es `a la tol´erance aux pannes que nous avons ´etudi´es.

La section 4.2 est consacr´ee `a la complexit´e de ces probl`emes qui g´en´eralisent des probl`emes clas- siques. Nous verrons que les probl`emes color´es ont des propri´et´es tr`es diff´erentes de leurs ´equivalents de th´eorie des graphes classique et qui semblent d´ependre d’un param`etre du graphe color´e, le span des couleurs. Suivant la valeur du span des couleurs d’un graphe, certains probl`emes sont polyno- miaux alors qu’ils deviennent NP-difficiles et non approximables mˆeme lorsque le span maximum est born´e par une constante.

Nous proposerons `a la section suivante des formulations en milp pour certains probl`emes color´es. Le temps de r´esolution de ces programme est lui aussi li´e aux spans.

Enfin, `a la lumi`ere des r´esultats sur la complexit´e et l’inapproximabilit´e des probl`emes color´es, 57

nous reviendrons en section 4.4 sur une ´etape importante de la mod´elisation d’un r´eseau multini- veaux en graphe color´e.

4.1

Mod´elisation des R´eseaux et srrg : Graphes Color´es

Le but de la mod´elisation en graphe color´e est de repr´esenter un r´eseau multiniveaux de mani`ere compacte, en ne gardant que les informations importantes : la topologie virtuelle et les groupes de risques auxquels appartiennent les connexions virtuelles. Dans une optique de tol´erance aux pannes, la connaissance pr´ecise du routage de ces connexions sur le niveau physique n’apporte pas d’´el´ements utiles.

Cette mod´elisation permet donc de simplifier la repr´esentation des r´eseaux multiniveaux, et par suite de d´efinir simplement les probl`emes d’optimisation dans ces r´eseaux.