Probl`emes Color´es

Dans les graphes classiques de nombreux probl`emes consistent `a trouver des sous-ensembles d’arˆetes v´erifiant diverses propri´et´es (chemin, coupe, etc). Or les arˆetes ne suffisent plus `a repr´esenter la structure d’un graphe color´e, ce sont les couleurs qui jouent ce rˆole. De plus une couleur ´etant par d´efinition un ensemble d’arˆetes, la connaissance d’un ensemble de couleurs v´erifiant une propri´et´e induit la connaissance d’un ensemble d’arˆetes. C’est pourquoi les probl`emes dans les graphes color´es consistent `a trouver des ensembles de couleurs, et non des ensembles d’arˆetes.

Les probl`emes que nous avons ´etudi´es peuvent se r´epartir en deux classes abordant la tol´erance aux pannes des r´eseaux multiniveaux sous deux angles diff´erents.

4.1. MOD ´ELISATION DES R ´ESEAUX ET SRRG : GRAPHES COLOR ´ES 61

c

1

c

2

c

3

t

s

(a) un graphe color´e

c

3

t

s

(b) la st-coupe color´ee {c1, c2} est supprim´ee

c

2

(c) la coupe color´ee {c1, c3} est

supprim´ee

c

2

t

s

s’

t’

(d) la st-multicoupe color´ee {c1, c3} s´eparant les paires {s, t}

et {s′, t′} est supprim´ee

t s

(e) un st-chemin color´e

t s

(f) un arbre couvrant color´e

Fig. 4.3 – Exemples de chemins, coupes et arbres couvrants color´es

Les probl`emes de connexit´e s’int´eressent aux conditions de fonctionnement du r´eseau d’une mani`ere g´en´erale, aux ressources qui doivent ˆetre disponibles pour que toutes les connexions soient assur´ees. Ils cherchent `a connaˆıtre des ensembles de couleurs permettant de connecter des ensembles de sommets.

Les probl`emes de vuln´erabilit´e consistent au contraire `a trouver des ensembles de couleurs dont la suppression d´econnecte des ensembles de sommets et ainsi donnent une indication du nombre de pannes qui suffisent `a mettre le r´eseau dans l’incapacit´e de r´etablir les connexions interrompues. Ils peuvent avoir un rˆole important dans la d´ecision de r´eoptimiser le r´eseau.

4.1.2.1 Probl`emes de connexit´e

Dans les graphes classiques le chemin est la base des probl`emes de connexit´e, son ´equivalent dans les graphes color´es est le chemin color´e. Un st-chemin color´e est un ensemble de couleurs dont l’ensemble d’arˆetes contient un chemin classique. Par exemple un graphe color´e connexe est un st-chemin color´e pour tous les sommets s et t. La figure 4.3(e) donne un autre exemple de st-chemin color´e. V´erifier qu’un ensemble de couleurs contient au moins un st-chemin au sens classique peut se faire en temps polynomial par un simple parcours des sommets. De plus, un chemin classique dans un graphe color´e induit un unique chemin color´e, il suffit de d´eterminer l’ensemble des couleurs port´ees par les arˆetes du chemin classique. Dans la suite, par mesure de simplicit´e la d´esignation d’un chemin color´e pourra donc se faire dans certains cas par la d´esignation d’un chemin classique. Le probl`eme Minimum Color st-Path (MC-st-Path), ou st-chemin color´e minimum, consiste `

a trouver un chemin color´e entre les sommets s et t utilisant un nombre minimum de couleurs. Du point de vue d’un r´eseau un chemin color´e de nombre de couleur minimum offre une route entre deux nœuds soumise `a un nombre minimum de risque de panne. En consid´erant la version pond´er´ee du probl`eme o`u le poids d’une couleur est la probabilit´e de panne du groupe de risque associ´e, il s’agit de trouver dans le r´eseau un chemin de probabilit´e de panne minimum.

Une autre strat´egie de protection consiste `a pr´evoir plusieurs chemins pour router une mˆeme connexion entre deux nœuds s et t, de sorte que quelle que soit la panne qui se produise au moins un des chemins fonctionne. Cette strat´egie n´ecessite de savoir trouver dans un graphe color´e un ensemble de st-chemins couleur-disjoints (Color Disjoint Paths), c’est `a dire un ensemble de chemins color´es deux `a deux disjoints. Le probl`eme consistant `a trouver deux st-chemins couleur- disjoints est not´e 2-Color Disjoint Paths (2-CDP) et le probl`eme consistant `a trouver un nombre maximum de st-chemins couleur-disjoints est not´e Maximum Number of Color Disjoint Paths (Max-CDP).

Comme il n’est pas toujours possible de trouver des chemins couleur-disjoints entre deux som- mets, un ensemble de st-chemins partageant un nombre minimum de couleurs (Minimum Overlapping Paths) permet par exemple de r´ealiser une protection d´ependante de la panne. Le probl`eme 2-Minimum Overlapping Paths (2-MOP) consiste `a trouver deux st-chemins color´es dont l’intersection est de taille minimum.

Enfin on peut aussi s’int´eresser au r´eseau dans sa globalit´e et `a l’analogue color´e d’un arbre couvrant. Trouver un arbre couvrant color´e minimum (Minimum Color Spanning Tree ou MC-Spanning Tree) consiste `a trouver un ensemble de couleurs de taille minimum dont les arˆetes contiennent un arbre couvrant au sens classique (Figure 4.3(f)). Un arbre couvrant color´e ne garde de son ´equivalent classique que la notion de connexit´e, plusieurs chemins color´es peuvent exister entre deux sommets avec cette d´efinition, par exemple un graphe color´e connexe est un arbre cou- vrant color´e pour lui-mˆeme. D’un point de vue pratique, un arbre couvrant color´e est un ensemble minimum de ressources n´ecessaires `a la connexit´e du r´eseau et ainsi un ensemble strat´egique de ressources `a prot´eger. La taille d’un arbre couvrant color´e minimum donne ´egalement une borne sup´erieure atteinte du nombre maximum de pannes au del`a duquel le r´eseau est d´econnect´e, c’est le nombre de couleurs n’appartenant pas `a l’arbre.

4.1.2.2 Probl`emes de vuln´erabilit´e

Les probl`emes de vuln´erabilit´e sont tous les probl`emes de coupe. Une coupe color´ee est un ensemble de couleurs dont les arˆetes contiennent une coupe au sens classique. C’est un ensemble de couleurs dont la suppression d´econnecte le graphe en au moins deux parties comme le montre la figure 4.3(c).

De mˆeme une st-coupe color´ee est un ensemble de couleurs dont les arˆetes contiennent une st- coupe classique Figure 4.3(b). On peut aussi d´efinir une multicoupe color´ee, c’est un ensembles de couleur dont les arˆetes contiennent une multicoupe classique, c’est `a dire un ensemble de couleurs dont la suppression d´econnecte plusieurs paires de sommets simultan´ement {s1, t1}, {s2, t2}, . . . ,

{sk, tk} (Figure 4.3(d)).

Une coupe color´ee minimum (Minimum Color Cut ou MC-Cut) se traduit dans un r´eseau par un ensemble critique de ressources dont la panne provoque la coupure du r´eseau en au moins deux parties. Plus la coupe minimum color´ee du graphe color´e repr´esentant un r´eseau est petite, plus le r´eseau est vuln´erable aux pannes puisque son fonctionnement d´epend du fonctionnement de peu de ressources. La coupe minimum color´ee donne donc une information pr´ecieuse sur la topologie virtuelle. Lorsqu’elle est petite la topologie virtuelle n´ecessite une r´eoptimisation. De mˆeme, une st-coupe color´ee minimum (Minimum Color st-Cut ou MC-st-Cut) de petite taille indique que la connexion {s, t} risque d’ˆetre interrompue si seulement un faible nombre de pannes survient dans le r´eseau. Une multicoupe color´ee minimum (Minimum Color Multi-Cut ou MC-Multi-Cut) g´en´eralise cette remarque pour plusieurs connexions simultan´ement.

4.1. MOD ´ELISATION DES R ´ESEAUX ET SRRG : GRAPHES COLOR ´ES 63

Dans le document Optimisation des réseaux de télécommunications : Réseaux multiniveaux, Tolérance aux pannes et Surveillance du trafic (Page 71-74)