2.1 Les programmes de simulation
2.1.3 Signaux d’interférences en milieu diffusant
2.1.3.2 Modélisation du signal dans une couche diffusante
2.1.3.2.1 Propriétés de milieu diffusant
Dans le modèle développé, le milieu diffusant se caractérise par :
Le coefficient de diffusion , implicitement lié à la concentration des diffuseurs. Il représente l’atténuation de la lumière collimatée qui traverse le milieu. On lui associe le paramètre , défini par = ⁄ , correspondant au libre parcours moyen de diffusion, c’est-à-dire la distance parcourue par un photon entre deux évènements de diffusion. La fonction de phase qui renseigne sur la forme du diagramme de rayonnement (lobe de diffusion) indépendamment de l’intensité de la lumière diffusée. Elle permet d’obtenir la probabilité qu’un photon incident selon la direction ⃗ soit diffusé dans la direction ′⃗⃗⃗ .
Le facteur d’anisotropie qui caractérise l’anisotropie de la diffusion. Dans la littérature, ce facteur est défini comme étant la moyenne du cosinus de l’angle de diffusion pondérée par la fonction de phase (Eq. 2.35).
1 1
1
cos cos cos sin
4
1
cos cos cos cos 1 1
2 g p d d d d g p d g
(2.35)Le paramètre d’anisotropie varie entre -1 et 1 et permet de classer les différents types de diffusion. La diffusion sera principalement dirigée vers l’arrière lorsque prend des valeurs négatives et tendra à être de plus en plus orientée vers l’avant lorsque le paramètre se rapproche de 1. Pour une diffusion isotrope (diffusion de Rayleigh), = 0. En combinant le coefficient de diffusion au facteur d’anisotropie, un nouveau paramètre a été introduit : le coefficient de diffusion réduit :
1
diff diff g
(2.36)
Les valeurs de l’ensemble de ces paramètres sont très bien répertoriées dans la littérature, notamment pour les différentes familles de tissus biologiques (Bashkatov et al., 2005, 2011; Larsson et al., 2003;
Zhang et al., 2005; Zonios and Dimou, 2009).
Afin de spécifier la manière dont les diffuseurs agissent sur la lumière, il est nécessaire d’associer une fonction de phase au milieu. Pour des particules non absorbantes, petites devant la longueur d’onde, la fonction de phase de Rayleigh est utilisée :
cos
3
1 cos2
4 Rayleigh
p (2.37)
Pour des plus grandes particules, la fonction de phase de Mie obtenue à partir de la théorie de Mie peut être utilisée :
2 2
1 2 2 2 Mie diff p S S k (2.38)Cette fonction est très utile lorsqu’il s’agit d’effectuer des calculs très précis sur la distribution angulaire de la lumière diffusée par une particule. Pour des raisons pratiques et de simplicité mathématique, d’autres fonctions de phase ont été introduites. On peut notamment citer les fonctions de Henyey-Greenstein (HG) et de Gegenbauer kernel (GK) (Bashkatov et al., 2011; Reynolds and McCormick, 1980), qui n’ont aucune justification physique fondamentale, mais qui possèdent une forme menant à des comportements réalistes de diffusions. La fonction de HG est un bon modèle pour la propagation de la lumière dans les tissus biologiques (pour lesquels ~ ,9 ) et a donc été grandement utilisée dans les calculs de transports radiatifs pour la description des processus de diffusion dans le sang et les tissus (Hanrahan and Krueger, 1993; Magnain et al., 2007). Afin de s’approcher davantage du comportement de la fonction de phase de Mie, certaines modifications ont été apportées à la fonction initiale d’HG (Cornette and Shanks, 1992; Toublanc, 1996). Dans notre cas de simulation, nous ne recherchons pas à effectuer des calculs très précis sur la dépendance angulaire de la diffusion, mais uniquement à obtenir les probabilités que la lumière soit diffusée dans une direction donnée en fonction des propriétés du milieu. La fonction de base de Henyey-Greenstein est donc parfaitement adaptée à notre cas d’étude.
2 3 2 2 1 1 4 1 2 cos HG g p g g (2.39)Cette fonction ne dépend que d’un seul paramètre qui correspond au facteur d’anisotropie. En plus de sa simplicité mathématique, elle a donc l’avantage, comparée aux fonctions de phase de Rayleigh et de Mie, de pouvoir représenter à la fois les cas de rétrodiffusion, de diffusion vers l’avant, ainsi que celui de la diffusion isotrope. Cette propriété est alors très utile pour modéliser des milieux qui contiennent des distributions de particules diffusantes de tailles très différentes. Alors que dans le cas de Rayleigh l’efficacité de diffusion augmente très rapidement de manière proportionnelle à ⁄ , l’intensité de la lumière diffusée sera sensiblement identique pour toutes les longueurs d’ondes dans le cas de la diffusion de Mie. La figure 2-12représente l’efficacité de diffusion en fonction du paramètre de taille. Le calcul a été effectué dans deux cas différents : pour le premier il s’agit d’une particule d’eau (n = 1.33) dans l’air (goutte de pluie), le deuxième correspond à une bille de polystyrène (n ∼ 1.5λ) plongée dans un gel d’indice 1.47. L’échelle logarithmique de la figure 2-12(b) met nettement en évidence l’évolution en puissance 4 de l’efficacité de diffusion pour des sphères de petites tailles. Sur la figure 2-12(b) sont également représentées par les zones grisées les régions du spectre visible (entre 400 et 1000 nm) pour des rayons de la sphère de 1 et 5 µm. Nous observons bien une efficacité quasiment constante dans ces domaines. Ainsi, pour des particules de taille comparable ou supérieure à la longueur d’onde, l’efficacité de diffusion devient pratiquement indépendante de la longueur d’onde.
Figure 2-12 Efficacité de diffusion en fonction du paramètre de taille représentée en (a) échelle linaire (b) échelle logarithmique. Le calcul a été effectué pour deux rapports d’indice entre la particule et le milieu environnant : m = 1.33 et m = 1.0816. Les zones grisées représentent les régions du spectre visible pour deux rayons différents de la sphère (1 et 5 µm).
Ainsi, dans le cadre de la simulation, nous avons utilisé la fonction de Henyey-Greenstein pour calculer les angles de diffusion, en supposant que toutes les longueurs d’ondes soient diffusées dans les mêmes proportions.