Propriétés de l’estimateur

Il convient d’étudier les propriétés de cet estimateur tels que les biais et le niveau de bruit de façon à pouvoir l’améliorer.

En général, le biais dans l’estimation peut être produit par différentes sources : – corrélation entre la composante à extraire et les autres composantes.

– différences entre la matrice A effective et les contraintes utilisées pour l’extraction de la composante. Ces différences peuvent être produites par des incertitudes d’étalonnage ou encore par des différences entre le spectre électromagnétique réel et celui utilisé comme à priori. Par exemple dans le cas de l’effet tSZ, les corrections relativistes modifient la forme du spectre électromagnétique et dépendent de la température des amas. C’est aussi le cas du spectre de corps noir modifié de la poussière galactique qui varie beaucoup en fonction de la région du ciel concernée. Cela se traduit par une incertitude sur la matrice de mélange A. En effet, dans le cas d’expérience à haut signal sur bruit, comme la mission Planck, une erreur d’étalonnage d’environ 1% [Dick et al. 2010] peut produire des effets notables sur des méthodes de type ILC.

– biais induit par le bruit instrumental.

Afin d’améliorer l’estimateur de S_c, on peut agir de trois manières distinctes :

– (1) utilisation d’un filtrage des échantillons nputilisés pour estimer la matrice de covariance CT, dans l’espace des harmoniques sphériques ou dans l’espace réel,

– (2) modification de la définition de la variance que l’on souhaite minimiser (via une action sur la matrice de covariance),

– (3) modification ou ajout de contraintes.

Chacun de ces termes peut faire l’objet de modifications permettant une amélioration substan-tielle de la reconstruction. La suite de ce chapitre se focalisera sur les limites de la méthode ILC, et sur le moyen d’améliorer les performances de l’estimateur en modifiant les différents termes, puis présentera l’application de cette méthode à des simulations.

5.2. Propriétés de l’estimateur 87

5.2.1 Biais intrinsèque

Dans cette section, nous allons explicitement développer l’estimateur obtenu précédemment avec l’équation (5.18). Dans un premier temps considérons que le bruit instrumental est absent. Dans ce cas il nous est possible d’écrire simplement la matrice de covariance des cartes observées comme

CT =ACSA^T (5.19)

avec CS la matrice de covariance des composantes, de dimension ns⇥ ns. Avant d’aller plus loin, il convient de bien caractériser la matrice CT en vue de son inversion. Cette matrice possède une dimension nt⇥ nt, mais a un rang (nombre de valeurs propres différentes de zéro) égal à min(n_s, n_t) par construction (CS étant de rang n_s). Dès lors trois cas sont possibles.

– (1) ns > n_t : nous avons un nombre de composantes physiques supérieur au nombre de canaux d’observation ; il s’agit du cas le plus défavorable. En effet dans ces conditions il de-vient impossible d’extraire une seule composante par combinaison linéaire : l’approche ILC n’est pas appropriée et produira des cartes potentiellement très biaisées. Il n’est pas pos-sible de décrire CT avec un sous-espace de dimension ns. Dans cette situation le sous-espace de dimension n_t qui décrit la matrice CT n’a pas de sens physique réel. Les composantes astrophysiques y sont mélangées. Il faudra alors, pour résoudre ce problème, apporter de l’information extérieure supplémentaire pour soustraire les composantes indésirables. – (2) n_s = n_t : nous avons autant de canaux d’observation que de composantes. Dans cette

situation A est une matrice carrée, il n’y a donc aucune ambiguïté dans l’inversion de CT. – (3) ns < n_t : comme CT possède un rang ns inférieur à son nombre de dimensions nt, la matrice est singulière et en conséquence ne peut pas être inversée. Cependant il est toujours possible dans ce cas d’utiliser le pseudo-inverse. Ce dernier est défini à partir de la décomposition en valeurs singulières (SVD pour Singular Value Decomposition). On peut alors définir C−1

T = UD−1UT, avec D une matrice diagonale contenant les valeurs singulières de CT, et U une matrice orthogonale obtenue par la décomposition en valeurs singulières de la matrice CT. La matrice D−1 est obtenue en prenant l’inverse des éléments non nuls de D et en laissant à 0 les éléments nuls de D. La matrice D est définie de façon unique, à l’inverse de U qui a toujours nt− ns degrés de liberté, traduisant le fait qu’il existe plusieurs combinaisons linéaires de T qui permettent l’extraction de la composante recherchée.

Quand la matrice A est rectangulaire (ns < n_t), la notation A−1 désigne l’inverse par la gauche

Par la suite nous nous focaliserons uniquement sur le cas ns nt. Le résultat que nous obtenons après développement de l’estimateur de Sc est donnée par

b

S_c = e^T_l (e^T_c C−1

S e_c)⁻¹e^T_cC−1

S S. (5.20)

Pour expliciter cette expression on peut écrire la matrice CS comme une matrice par bloc :

CS = ✓ E0 F0 G0 H0 ◆ (5.21) avec E0 le sous-espace associé aux composantes contraintes, H0 le sous-espace associé aux autres composantes. Par symétrie les termes de corrélation suivent la relation F0 =GT

0 .

On définit S0 et S00 deux vecteurs de dimension respective nc et ns− nc qui contiennent respec-tivement les composantes contraintes et les composantes non contraintes :

S = ✓ S⁰ S⁰⁰ ◆ . (5.22)

On peut alors ré-écrire l’estimateur de Sc (en utilisant l’inversion par bloc eq. 5.15) sous la forme : b

Sc = e^T_l 0

S⁰− F0H⁻¹₀ S⁰⁰1

= S_c− e^Tl F0H⁻¹0 S⁰⁰. (5.23)

On reconstruit bien la composante Sc. Cependant on observe la présence d’un terme de biais −eT

l F0H⁻¹0 S⁰⁰. De manière plus explicite, dans le cas à une contrainte, on obtient : b Sc = Sc+0 ¹ C_S⁻¹1 cc X j6=c 0 C_S⁻¹1 cj Sj. (5.24)

Le terme de biais dans notre estimateur est composé par une combinaison linéaire des autres composantes physiques. Ce terme de biais est également fonction de l’inverse de la matrice de covariance des composantes physiques. En utilisant de nouveau la relation d’inversion de matrice par bloc Eq. (5.14), il apparait que les éléments ⁰_C−1

S

1

cj sont nuls à la condition que les éléments (CS)_cjsoient tous nuls. Ceci se traduit plus explicitement par le fait que les composantes biaisant le résultat sont les composantes présentant une corrélation spatiale avec la composante que l’on souhaite extraire. En effet notre propos étant de minimiser la variance de la carte finale, si la composante que l’on souhaite extraire possède une covariance non nulle avec une autre compo-sante, alors cette autre composante peut être utilisée pour soustraire une part du signal de la composante à extraire et en conséquence diminuer la variance totale de la carte en introduisant un biais.

La répartition spatiale des composantes ne nous est pas connue (c’est ce que nous cherchons à déterminer). De façon générale ce biais ne peut donc pas être réduit par l’utilisation d’un à priori sur la répartition spatiale des composantes. Nous verrons dans la suite que dans certains cas bien particuliers, de tels à priori peuvent toutefois être salutaires.

5.2.2 Biais induit par le bruit

Dans cette section nous allons étudier plus en détail l’impact du bruit sur la reconstruction de la composante recherchée. La matrice CT peut s’écrire explicitement en utilisant l’équation 5.1 :

CT =ACSA^T +CN (5.25)

où CN =hNNTi est la matrice de covariance du bruit moyennée sur l’ensemble des pixels np. Cette matrice est diagonale dans la mesure où l’on suppose que le bruit entre différents détecteurs n’est pas corrélé, ce qui en général constitue une très bonne approximation. Dans ces conditions, CN est de rang nt et en conséquence CT aussi, ainsi CT est inversible.

Il est possible de projeter la matrice CT dans l’espace des composantes comme suit

A⁻¹CTA^−T =CS+A⁻¹CNA^−T. (5.26)

Puisque CN est une matrice diagonale, A−1CNA−T ne l’est plus. On rappelle toutefois que A−1

est l’inverse de A par la gauche dans le cas ns  nt, aussi AA−1 6= I. La matrice de covariance du bruit a pour effet d’ajouter des termes non diagonaux dans la matrice de covariance des composantes, ce qui pour les mêmes raisons que précédemment va produire un biais additionnel,

b S_c = e^T_l (f^TCT⁻¹f)⁻¹f^TC⁻¹T T = e^T_l (f^T(ACSA^T +CN)⁻¹f)⁻¹f^T(ACSA^T +CN)⁻¹(A S + N) = e^T_l (e^T_c(CS+A⁻¹CNA^−T)⁻¹e_c)⁻¹e^T_c(CS+A⁻¹CNA^−T)⁻¹S +e^T_l (e^T_c(CS+A−1CNA−T)⁻¹e_c)⁻¹e^T_cAT (ACSAT +CN)⁻¹N. (5.27)