A propos de la convection dans le lm de liquide

Dans cette section, nous nous intéressons aux phénomènes de convection dite naturelle, qui peuvent intervenir dans le lm de liquide. Comme nous avons vu dans la partie 2.5, la thermoconvection, dans ce contexte, pourrait résulter de deux phénomènes particuliers que sont l'eet Marangoni et la convection de Rayleigh-Bénard.

L'eet Marangoni est nécessairement négligé car, comme nous l'avons vu, la valeur re-lativement élevée du rayon du caloduc justie de ne pas considérer les eets de tension de surface.

Concernant la convection de type Rayleigh-Bénard, qui ne peut avoir lieu qu'au niveau de l'évaporateur (cf. gure 4.11), où l'on a Tw,evap > Tsat, sa phénoménologie est décrite en 2.5.1.

Fig. 4.11  Schématisation de l'évolution du lm liquide dans la partie évaporateur du caloduc tournant (Tw,evap> T_sat)

Il s'agit de déterminer le niveau d'inuence du champ d'accélération sur la déstabilisation de l'écoulement axial du liquide soumis à un gradient de température radial, donc à une variation de masse volumique associée. Ici, Rω2 peut se substituer à l'accélération de la pesanteur, qui est le phénomène pris en compte dans une situation de convection naturelle classique. On obtient alors une nouvelle expression du nombre de Rayleigh :

Ra = ^Rω

2β ˜δ3∆T

αlνl (4.28)

Le coecient d'expansion thermique est déni par β = −1 ρ_l

∂ρl

∂T

P =cte.

De façon pratique, pour calculer ce coecient, nous considérons les variations de la masse volumique entre les températures Tw,evap et Tsat. La masse volumique est donc évaluée à ces températures ; on considère que les variations de pression selon l'axe y sont assez faibles par rapport à Psat pour supposer que l'on travaille à pression constante5. Au bilan, on aura donc une évaluation de β donnée par la relation suivante :

β = _ρ ¹

l(Tw,evap)+ρ_l(Tsat) 2

ρ_l(T_sat) − ρ_l(T_w,evap)

Tw,evap− Tsat (4.29)

5Par exemple, pour Tsat= 100 °C, ω = 6000 tr/min et ˜δ = 10−4m, on a P (y = 0) − Psat= ρ_lRω2_{δ ≈}˜ 151 Pa alors que Psat= 101450 Pa, ce qui justie de négliger les variation de pression selon y ici.

L'apparition de structures contra-rotatives est dictée par l'observation d'une valeur cri-tique du nombre de Rayleigh Rac. Comme nous l'avons vu dans la partie 2.5.1, il existe plusieurs valeurs critiques de ce nombre dépendant des problèmes étudiés. Dans la littéra-ture, il n'existe pas de critère parfaitement adapté à notre problème (évaporation en lm avec réalimentation par circulation longitudinale du liquide).

En convection naturelle, la valeur du nombre de Rayleigh critique est souvent estimée à 1101 pour un lm de liquide chaué par en-dessous et possédant une surface libre à tempéra-ture plus faible [42], sans circulation longitudinale du uide imposée. De même, en considérant l'évaporation d'un uide au repos, et en se basant sur les travaux de Zhang et al. [44], Song et Ewing [43] ont établi que la valeur critique Racest proche de 400. Il semblerait donc que l'éva-poration ait tendance à favoriser l'établissement de la convection de type Rayleigh-Bénard. Cependant, le nombre de Rayleigh critique obtenu par Song et Ewing est dicilement utili-sable dans notre étude car il relève d'un problème instationnaire, le lm de liquide s'évaporant sans être réalimenté. Par ailleurs, on peut penser que l'écoulement du liquide, même à faible vitesse - vitesse ne dépassant pas 5 cm.s−1dans notre étude - devrait avoir un eet stabilisant. En eet, l'étude menée par X. Nicolas [69], qui a mené une revue bibliographique complète sur les écoulements en canal fermé dans lequel la convection de Rayleigh-Bénard peut se déclencher, a montré qu'un écoulement longitudinal retarde le démarrage de la convection (dans ce cas, Rac > 1708). En dénitive, la connaissance de la valeur critique du nombre de Rayleigh reste délicate. Dans notre contexte d'études, nous avons choisi de pas retenir cette valeur de 400 étant donné la circulation longitudinale du uide, faute de sources ables dans la littérature. Devant le manque de renseignements complémentaires, on choisit arbitraire-ment une valeur critique du nombre de Rayleigh égale à 1101 pour avoir un ordre d'idée des paramètres inuents l'établissement de la convection. Un banc d'essais prochainement mis en place au sein du laboratoire devrait permettre de déterminer de manière plus précise les conditions de fonctionnement pour lesquelles ces phénomènes de convection sont susceptibles de se déclencher.

Partant de là et à partir de la résolution du système (4.14-4.15), une étude paramétrique a été réalisée en faisant varier Tsat, ∆T , ω et la masse de uide introduite dans le caloduc. En retenant la valeur Rac = 1101, le tableau 4.3 donne un premier aperçu des situations pour lesquelles il serait bon d'approfondir les eets de la convection naturelle sur l'amélioration des transferts au sein du lm liquide. Les cas où la valeur critique est dépassée sont mentionnés avec une croix (×). Nous pouvons voir que la convection de Rayleigh-Bénard est à prendre en compte pour les plus grandes valeurs de ∆T (correspondant aux plus grandes variations de masses volumiques), pour les plus grandes masses de uide injecté (correspondant à une augmentation de l'épaisseur du lm liquide favorisant la formation des rouleaux de

convec-tion) et pour les grandes vitesses de rotation (correspondant à une augmentation des forces centrifuges). Il est à noter que plus Tsat est grand, plus la convection est facile à amorcer. Cependant, nous constatons qu'une grande partie des situations qui peuvent nous concerner (ω ≤ 6000 tr/min) est caractérisé par une valeur du nombre de Rayleigh inférieure à 1101. Dans la section 4.5, nous n'exposerons, bien évidemment, que des résultats correspondant aux situations où la convection de Rayleigh-Bénard est supposée négligeable.

(a)

(b)

(c)

Tab. 4.3 Caractérisation de la présence de la convection de Rayleigh-Bénard pour (a) Tsat=50 °C (b) Tsat = 100 °C (c) Tsat = 150 °C

Par ailleurs, on peut aussi préciser que, comme nous l'avons déjà dit, la convection forcée ne doit pas non plus être prise en compte à cause de la faible vitesse d'écoulement longitu-dinale du liquide. Ceci peut être montré à partir de l'évaluation du nombre de Richardson, rapport du nombre de Grashof et du nombre de Reynolds au carré, qui compare les eets de convection naturelle et de convection forcée induite par un écoulement de uide longitudinal (voir [70] par exemple) :

Ri = ^Gr Re2 = ^Rω 2β∆T δ u2 l (4.30) En considérant les valeurs obtenues pour caractériser la convection de Rayleigh-Bénard (cf. tableaux (4.3)), on remarquera que l'on a généralement Ri > 10 ; la convection forcée est donc négligeable par rapport à la convection naturelle. On observe cependant que pour les faibles taux de remplissage (masse minimale), on peut avoir Ri < 1. Dans ce cas, on considère que la vitesse du liquide reste assez faible (toujours inférieure à 0,05 m.s−1) pour que la convection forcée n'intervienne pas dans ce problème. De plus, pour Ri < 1, les valeurs de l'épaisseur de lm δ sont très faibles donc la conductance de conduction λl/δ dans le lm est très grande, ce qui renforce l'idée que la convection forcée est alors négligeable.

Par conséquent, les calculs présentés dans la section suivante sont restreints au cas où il n'y a ni convection naturelle ni convection forcée interférant dans les transferts : ces derniers sont supposés se faire uniquement par conduction unidimensionnelle, parallèle à l'axe y.