Hypothèses du modèle

4.3.1.1 Ecoulement du liquide et de la vapeur

Concernant la description de l'écoulement du liquide au sein du caloduc (cf. gure 4.4), nous faisons les hypothèses suivantes :

 ˜δ étant l'épaisseur moyenne du lm liquide le long du caloduc (˜δ = ^´LT

0 δ (x) dx/L_T, L_T représentant la longueur totale du caloduc), on peut s'apercevoir que le rapport de ces deux quantités vaut : ˜δ/LT ≈ 10−3 dans le cas le plus défavorable, c'est-à-dire où l'épaisseur de lm est la plus grande ; on peut alors utiliser l'approximation de lubrication (Annexe A),

 on considère une condition de non-glissement à la paroi : ul(y = 0) = 0;

 comme l'ont supposé Chanet al. [15], Salinas et al. [24], Li et al. [6] et Song et al.[65], on néglige les contraintes de cisaillement à l'interface liquide/vapeur : ∂ul(δ) /∂y = 0;  la valeur du rayon interne du caloduc est assez grande pour négliger les eets de tension de surface devant ceux liés aux eets centrifuges. Cette hypothèse est renforcée par le fait que les variations du rayon du ménisque le long du caloduc sont très faibles ; la variation de pression capillaire est donc négligeable.

Comme il sera justié dans la section (4.4.2), l'écoulement de la vapeur n'est pas pris en compte dans ce modèle :

 la pression de la vapeur Pv est donc supposée constante ;

 la température de la vapeur est aussi constante et égale à Tv = T_sat(P_v).

4.3.1.2 Transfert de chaleur au sein du lm de liquide :

Concernant les transferts de chaleur dans le lm de liquide, on retient comme hypothèses :  les échanges de chaleur sont supposés unidirectionnels, perpendiculaires à la direction de l'écoulement du liquide, et se font uniquement par conduction ([6, 64] par exemple) étant donné la faible épaisseur de lm liquide. Les transferts de chaleur par convection ne sont pas pris en compte dans ce travail, hypothèse justiée au paragraphe 4.4.3 par

rapport aux évaluations préliminaires nécessaires à la justication de la simplication de notre modèle ;

 étant donné les épaisseurs moyennes de lm liquide ˜δ nettement plus importantes que celles mises en jeu dans l'étude de la micro-région étudiée au chapitre 3, nous négligeons les résistances d'évaporation/condensation dans les transferts de chaleur1;

 la diérence de température entre la paroi de l'évaporateur et la vapeur saturée, ∆T = T_w,evap− T_sat, est considérée susamment petite pour pouvoir négliger les phénomènes d'ébullition en paroi.

4.3.2 Equations du modèle

L'écoulement de liquide dans le caloduc tournant est décrit par les équations de Navier-Stokes. Etant donné la symétrie de révolution d'une telle géométrie et la faible épaisseur du lm liquide plaqué sur la paroi, les équations de conservation de la masse et de la quantité de mouvement peuvent être écrites en utilisant un système de coordonnées cartésiennes.

Fig. 4.4  Evolution du lm liquide le long d'un caloduc tournant (l'échelle n'est pas respectée) et repère utilisé pour l'écriture des équations

Dans le repère lié à la gure 4.4, on peut alors écrire :  l'équation de conservation de la masse :

∂u_l

∂x ⁺

∂v_l

∂y ^{= 0} (4.1)

1Par exemple, pour Tsat = 100°C et ˜δ ≈10−6m, on a Revap/cond ≈4,3.10−8K.m2.W−1 et ˜

 l'équation de conservation de la quantité de mouvement projetée sur x : −^∂Pl ∂x ^{+ µl}  ∂2u_l ∂x2 + ^∂ 2u_l ∂y2  = ρ_l  u_l^∂ul ∂x ^{+ vl} ∂u_l ∂y  (4.2)  l'équation de conservation de la quantité de mouvement projetée sur y :

−^∂Pl ∂y ^+µl  ∂2v_l ∂x2 +^∂ 2v_l ∂y2  −(˜ρl+ ∆ (ρl(Tsat) − ρl(Tw,evap))) ω²r = ρl  ul ∂v_l ∂x ^{+ ul} ∂v_l ∂y  (4.3) avec r = R − y où R est le rayon du caloduc.

Les propriétés du uide sont évaluées à la température de saturation Tsat. Grâce à l'hy-pothèse de lubrication, les termes des membres de droite dans les équations (4.2) et (4.3) sont négligés. Le terme visqueux à prendre en compte dans l'équation (4.2) se réduit alors à µ_l∂2u_l/∂y2. Enn, les termes visqueux (second terme du membre de gauche) de l'équation (4.3) sont aussi négligés.

Dans l'équation (4.3), le terme ∆ (ρl(T_sat) − ρ_l(T_w,evap)) correspond à la variation de la masse volumique du liquide due à la diérence de température entre Tw,evap et Tsat dans le lm liquide. Ceci peut mener à des phénomènes de convection naturelle si la valeur d'un nombre de Rayleigh critique Racest atteinte. Nous justions, dans la section 4.4.3, de négliger la convection naturelle dans notre modèle. Par conséquent, le terme ∆ (ρl(T_sat) − ρ_l(T_w,evap)) sera négligé dans la suite de cette étude. La masse volumique moyenne ˜ρl est assimilée à ρl

évaluée, comme toutes les propriétés thermophysiques, à Tsat.

Par conséquent, grâce à l'ensemble de ces hypothèses, nous obtenons les équations sim-pliées suivantes : ∂ul ∂x ⁺ ∂vl ∂y ^{= 0} (4.4) −^∂Pl ∂x ^{+ µl} ∂2u_l ∂y2 = 0 (4.5) ∂P_l ∂y ^{+ ρlω} 2r = 0 (4.6)

On peut remarquer que l'équation (4.6) est la dérivée de l'équation (1.9) du chapitre 1. Les équations (4.5) et (4.6) montrent que les variations de pression selon l'axe x sont gouvernées par la circulation du liquide alors que les variations de pression selon l'axe y sont gouvernées par la seule force centrifuge due à la rotation du caloduc.

Avec les hypothèses adoptées concernant l'écoulement de liquide, on trouve donc un prol de vitesse identique à celui obtenu dans le chapitre 3, à savoir :

u_l(x, y) = ¹ µ_l ∂P_l ∂x  y2 2 − δy  (4.7) Il vient ensuite l'expression du débit de masse linéique ˙mlintégré entre y = 0 et y = δ (x) :

˙ m_l(x) = ρ_l δ ˆ 0 u_l(y) dy = ^ρl µ_l δ ˆ 0 ∂P_l(x, y) ∂x  y2 2 − δy  dy (4.8)

D'autre part, en intégrant la relation (4.6) par rapport à y, et en la dérivant par rapport à x, on obtient :

∂Pl(x)

∂x ^{= ρlRω}

2dδ (x)

dx (4.9)

Finalement, en insérant (4.9) dans (4.8), l'équation reliant la dérivée de l'épaisseur de lm liquide δ et le débit massique linéique de liquide ˙ml s'écrit :

dδ (x)

dx ⁼

−3µ_l ρ2

lRω2δ3m˙_l (4.10)

De plus, la densité de ux ˙qe dans le lm liquide est donnée par la relation suivante, en considérant, comme nous l'avons vu plus haut, que la résistance d'évaporation est négligeable par rapport à la résistance de conduction :

˙

q_e = ^Tw− T_lv

δ (x) /λ_l (4.11)

Ici, les phénomènes de pression capillaires étant négligés, la température de l'interface liquide/vapeur Tlv est constante et égale à Tsat tout le long du caloduc (cf. équation (3.16)). Comme on l'a vu dans le chapitre précédent, on considère que ˙qe est égal aux ux de chaleur par changement de phase relatif à la variation de débit liquide d ˙ml(x) /dxle long du caloduc. On trouve alors :

˙

q_e = −h_lv^{d ˙ml(x)}

dx (4.12)

Finalement en combinant les équations (4.11) et (4.12), on obtient : d ˙ml(x)

dx ^{= −}

λl(Tw− Tsat)

h_lv · ¹

An de faciliter la résolution numérique, des nombres adimensionnés ont été utilisés ; ils sont répertoriés dans le tableau (4.1).

Nombre Valeur de référence Nombre adimensionné

x L_T χ = _L^x T δ δ₀ δ =^ˆ _δ^δ 0 ˙ m_l ^λl(Tw,evap−Tsat) hlv mˆ˙_l = ^m˙lhlv λl(Tw,evap−Tsat)

Tab. 4.1  Nombres adimensionnés utilisés pour la résolution du système ((4.14)-(4.15))

Dans ce tableau, LT représente la longueur totale du caloduc, δ0 l'épaisseur de lm en début d'évaporateur (x = 0), et Tw,evap la température de la paroi du caloduc dans la zone évaporateur. En utilisant les nombres adimensionnés répertoriés dans le tableau 4.1, les équa-tions (4.10) et (4.13) deviennent : dˆδ dχ ⁼ −3µ_lλ_l(T_w,evap− T_sat) L_T ρ2 lRω2h_lvδ4 0 · mˆ˙_l ˆ δ3 (4.14) d ˆ˙m_l dχ ^{= −} L_T (T_w− T_sat) δ₀(T_w,evap− T_sat) · ¹ ˆ δ (4.15)