Algorithme de résolution - Déplacement des interfaces

5.2.2.1 Algorithme de résolution

Pour les écoulements incompressibles, on résout le système d'équations classique suivant constitué par les équations de conservation de la masse (5.1) et de la quantité de mouvement (5.2). Ce système est résolu sur le maillage eulérien xe pour chacune des phases en présence.

∇ · v = 0 (5.1)

ρ^Dv

Dt ^{= −∇P + µ∇}

2v + ρg + f_σ (5.2)

avec fσ, force de tension de surface qui s'applique au niveau de l'interface liquide/vapeur et qui est déterminée en fonction de la courbure locale.

Dans ces équations, toutes les variables sont à interpréter au sens des distributions de phase et sont telles que, quelle que soit la variable ψ, on a :

ψ = χψ_v+ (1 − χ)ψ_l (5.3)

avec χ, la fonction indicatrice de phase : pour un point du maillage eulérien situé dans la vapeur, χ = 1, sinon χ = 0. Son évolution en fonction du temps est dictée par le déplacement de l'interface.

En discrétisant les équations (5.1) et (5.2) en fonction du temps, on obtient selon le schéma d'Euler explicite d'ordre 1, pour le temps noté n+1 :

ρⁿ⁺¹vⁿ⁺¹− ρnvⁿ

∆t ^{= −∇P}

n+1

+ Fⁿ (5.5)

Dans l'équation (5.5), le terme F correspond à toutes les forces autres que l'accélération ou la variation de pression (forces d'origine visqueuse, forces volumique dues à la gravité, forces de tension de surface, termes de convection....).

Ces équations sont résolues selon l'algorithme suivant : 1. Déplacement des points de l'interface

2. Détermination des nouvelles propriétés thermophysiques : ρⁿ⁺¹, µⁿ⁺¹... = f (χⁿ⁺¹)

3. Etape de prédiction de la vitesse v∗ :

ρn+1v^∗− ρnvn

∆t ^{= F}

n

Notons que, dans le terme Fn, interviennent des termes fortement non linéaires dûs aux termes de convection. Ils sont alors discrétisés suivant des schémas spéciques qui permettent de les linéariser. Pour nos simulations, aussi bien VDF que VEF, nous utili-serons uniquement des schémas d'ordre 1, a priori, susants pour traiter nos problèmes. 4. On obtient alors une équation de Poisson pour le calcul de la pression :

∇.  1 ρn+1∇Pⁿ⁺¹  = ∇ · v∗ ∆t

5. Enn, on procède à l'étape de correction pour le calcul de la vitesse : ρ^n+1v

n+1− v∗

∆t ^{= −∇P}

n+1

5.2.2.2 Déplacement des interfaces

Comme stipulé précédemment, la description de l'interface est lagrangienne ; son évolution est donc décrite par l'équation suivante :

dxs

dt ^{= v}

i (5.6)

où vi est la vitesse de déplacement de l'interface. Dans le cas où il n'y a pas de transfert au niveau de l'interface, cette vitesse est déterminée de manière simple par :

vⁱ = v (x_s) (5.7) où v (xs) est la vitesse du uide à l'interface.

D'un point de vue discret, la vitesse du uide est connue au niveau des faces du maillage eulérien xe ; or, ce champ a besoin d'être connu sur le maillage lagrangien. Le champ de vitesse du uide du maillage eulérien doit donc être interpolé vers le maillage lagrangien :

1. On repère les points de coordonnées ijk dans le maillage eulérien les plus proches du point l du maillage lagrangien et on calcule :

φ_l=^X

ijk

ω^l_ijkφ_ijk

φ représente les composantes de la vitesse, wl

ijk est le poids du point de la grille eulérienne ijk par rapport à l'élément d'interface l. Cette fonction s'écrit généralement sous la forme :

ω_ijk^l = d (x_p − i∆x) d (y_p − j∆y) d (z_p− k∆z)

(x_p, y_p, z_p)désignent, dans le repère eulérien, les coordonnées de la position d'un point de l'interface et d est une fonction unidimensionnelle qui peut s'exprimer, dans la direction x par exemple, par :

d(r) =    (∆x− | r | /∆x) | r |< ∆x 0 | r |> ∆x

2. Les points de l'interface sont alors déplacés en utilisant le même schéma en temps que celui utilisé pour l'équation de Navier-Stokes ; pour un schéma d'ordre 1, on a par exemple pour le temps n+1 :

xⁿ⁺¹_s = xⁿ_s + vⁱⁿ∆t

L'algorithme ici n'est pas conservatif : en eet, après déplacement des points de l'interface, rien ne garantit que le volume est conservé. C'est pour cela que dans le code Trio U, un module complémentaire a été rajouté pour compléter la méthode de Front-Tracking : c'est la méthode VOF (Volume Of Fluid) qui permet de corriger le déplacement des points de l'interface an de satisfaire la conservation du volume des phases en fonction du temps. Cette méthode est expliquée de façon très détaillée dans le mémoire de thèse de B. Mathieu [54].

5.2.2.3 Maillage des interfaces :

La gestion du maillage de l'interface lagrangienne dans la méthode de Front-Tracking peut s'avérer complexe : les dicultés peuvent être rencontrées en 2D mais elles sont encores plus grandes en 3D car l'interface n'est plus décrite comme une suite de segments mais comme une juxtaposition de triangles. Sous l'eet de leurs déplacements, ces derniers, initialement d'aires identiques, peuvent s'aplatir et avoir très rapidement des aires diérentes. La description géométrique de l'interface s'en trouve alors fortement altérée et une étape de remaillage de l'interface devient obligatoire an de rendre les triangles aussi réguliers que possible à chaque pas de temps. Pour cela :

 des points sont retirés si les éléments deviennent trop petits,  des points sont rajoutés si les éléments deviennent trop grands,

 en 2D, on peut tenir compte de la courbure de l'interface en utilisant des interpolations d'ordre élevé pour déterminer la localisation de nouveaux points.

(a) (b) (c)

Fig. 5.5 Exemple de remaillage lagrangien en 3 D : (a) Maillage avant déplacement de l'interface -(b) Maillage après déplacement de l'interface - (c) Remaillage de l'interface.

Cependant, si ces règles sont faciles à édicter, elles le sont beaucoup moins à programmer de manière robuste. De plus, les étapes de remaillage, qui sont indispensables pour mener à bien le calcul, ne garantissent pas la conservation de l'aire de l'interface. Ainsi, on peut avoir une variation de masse de l'une des phases : la mise en place d'une méthode de conservation de volumes (la méthode VOF par exemple) est alors indispensable.