L’analyse de la programmation multiparamétrique a fait l’objet de mon master de recherche (Le, 2007). Je présente ici les principaux modèles et résultats afin de comparer cette approche avec une approche développée dans ma thèse. La programmation multiparamétrique est une méthode
92 Chapitre 5. Prise en compte des incertitudes paramétriques qui permet de caractériser la fonction objectif ainsi que les variables de décision du problème d’optimisation par rapport à un vecteur de paramètres incertains. Ces paramètres incertains sont supposés varier dans des intervalles.
2.1 Modèles de programmation multiparamétrique
Dans cette partie nous donnons la formulation mathématique de la programmation multipa-ramétrique. La partie suivante est dédiée à l’analyse de ces modèles et aux travaux qui ont été réalisés avec ces modèles. Soit λ = (λ1, . . . , λs)T un vecteur de paramètres incertains qui sont caratérisés sous forme d’intervalle Gλ ≤ g. (Li et Ierapetritou, 2007) ont distingué les trois cas suivants, selon la nature des paramètres du problème de départ soumis à des incertitudes :
– Si les cœfficients b (RHS) sont incertains, le problème MILP devient un problème de programmation multiparamétrique linéaire mixte mpMILP qui s’écrit comme suit :
maximiser z = cx soumis à Ax ≤ b + Fλ
Gλ ≤ g
(5.2) – Si les cœfficients de la fonction objectif sont supposés incertains, ou bien s’il existe simulta-nément des incertitudes RHS et des incertitudes dans les cœfficients de la fonction objectif, le problème (5.1) devient un problème de programmation multiparamétrique quadratique mixte (mpMIQP) qui peut s’écrire de la façon suivante avec les mêmes hypothèses sur le vecteur λ que précédemment :
maximiser z = xTHx + (c + Dλ) x + Eλ soumis à Ax ≤ b + Fλ
Gλ ≤ g
(5.3) – Si les cœfficients LHS sont incertains, le problème MILP devient un problème de programmation multiparamétrique non-linéaire (mpMINLP). Dans la littérature, la programmation non-linéaire multiparamétrique générale (mpNLP) est très peu adressée car la solution exacte de mpNLP est très complexe et difficile à obtenir (Acevedo et Salgueiro, 2003) ce qui la rend peu efficace.
2.2 La programmation multiparamétrique dans la littérature
La programmation linéaire multiparamétrique (mpLP) et la mpMILP sont des problèmes étudiés dans la littérature. Gass et Saaty (1955); Gal et Nedoma (1972) ont proposé les premières méthodes pour résoudre le problème mpLP. Ensuite, Borrelli et al. (2000); Borrelli (2002) ont présenté des méthodes géométriques pour le problème (mpMILP) lorsque Joaquin Acevedo (1997) a proposé une méthode de séparation et évaluation pour résoudre les problèmes mp-MILP. Un outil nommé Multi Parametric Toolbox MPT (Kvasnica et al., 2006) utilisant le solveur YALMIP a été développé par (Lofberg, 2004).
La méthode de programmation multiparamétrique a été principalement appliquée dans l’op-timisation en ligne, la commande de processus et la synthèse de processus dans la littérature. Ryu et Pistikopoulos (2007) ont utilisé la mpMILP pour un problème d’ordonnancement sans
2. Programmation multiparamétrique pour la prise en compte des incertitudes paramétriques93 attente (zero-waiting scheduling en anglais). L’application de la programmation multiparamé-trique dans un problème de planification des processus a été réalisée dans (Pistikopoulos et Dua, 1998; Ryu et Pistikopoulos, 2001). Dans Le et al. (2009a) la mpMILP a été adaptée à la prise en compte des incertitudes de la demande dans le problème d’affectation de machines parallèles partiellement multi-fonctions. Dans cette application, nous avons pu montrer que la programma-tion multiparamétrique permet de caractériser toutes les politiques optimales d’affectaprogramma-tion sur l’ensemble du domaine des incertitudes. Elle inclut toutes les solutions robustes mais elle ne per-met pas de définir une politique en particulier. Pour la gestion de l’énergie, nous ferons le même type d’observation dans ce chapitre. Dans le domaine de l’Automatique, Dua et al. (2002) ont proposé une méthodologie pour aborder ce problème pour le cas spécial du problème de contrôle optimal.
Dans le chapitre précédent, nous avons montré que le système d’optimisation HESP est for-mulé par un modèle mixte qui se compose simultanément de variables entières et de variables continues. Pour prendre en compte les incertitudes dans ce problème d’optimisation d’énergie dans l’habitat, nous proposons de mettre en œuvre des algorithmes de programmation multipa-ramétrique linéaire mixte (mpMILP).
2.3 Solution de la programmation multiparamétrique linéaire mixte
La solution d’un problème de programmation multiparamétrique est donnée sous la forme d’un ensemble de régions critiques pour les variables de décisions. Ces régions sont définies par les valeurs possibles des paramètres incertains. Les valeurs optimales de la fonction objectif sont également décrites en fonction des valeurs des paramètres incertains. Une région critique est définie sur un sous ensemble de paramètres incertains dans lequel la fonction objectif s’écrit de façon linéaire en fonction des paramètres incertains. Cette relation linéaire varie d’une région critique à une autre.
La solution du problème mpMILP peut être obtenue en résolvant le problème mpLP cor-respondant au problème mixte dans lequel on fixe ces variables entières. Les étapes de résolution sont proposées dans (Gal, 1995). Cette partie a pour objectif de présenter les caractéristiques de la solution d’un problème mpMILP. Le problème de programmation linéaire standard est donné par les équations (5.1) dans lesquels les variables x sont réelles. Nous notons B, l’ensemble des indices des colonnes correspondantes aux variables de base d’une solution et N, l’ensemble des indices des colonnes correspondantes aux variables hors-bases. En utilisant la méthode du simplexe, nous obtenons la solution optimale suivante :
z∗ = cBA−1B b (5.4)
avec les conditions d’optimalité suivantes
A−1B b ≥ 0
cN − cBA−1B AN ≥ 0 (5.5)
Si le vecteur b et la fonction objectif sont soumis aux incertitudes paramétriques RHS, ce problème LP devient le problème mpLP présenté dans (5.2). Alors, dans la solution optimale du problème mpLP correspondant, les conditions d’optimalité (5.5) forment les régions critiques du problème et (5.4) nous donne la fonction objectif optimale. L’introduction des paramètres
94 Chapitre 5. Prise en compte des incertitudes paramétriques
Figure 5.1 – La prévision météorologique
incertains conduit aux équations suivantes pour la caractérisation de la solution optimale : −A−1B F λ ≥ −A−1B b
cN − cBA−1B AN ≥ 0 z∗= cBA−1B b + cBA−1B Fλ
(5.6) Ces équations représentent l’évolution linéaire de la fonction objectif z∗ dans une zone critique (R) en fonction des valeurs des paramètres λ dans cette zone qui est définie par les inégalités suivantes : z∗= cBA−1B b + cBA−1B Fλ (R) = ( −A−1B F λ ≥ −A−1B b cN − cBA−1B AN ≥ 0 (5.7)
2.4 Application au problème HESP
Considérons un exemple simple de gestion d’énergie dans la maison pour illustrer les résultats que la programmation multiparamétrique permet d’obtenir. Dans cet exemple, l’horizon de pla-nification est de 10 heures et deux services sont considérés. Le premier service est un fournisseur d’électricité SRV (1) qui fournit une puissance disponible de 2000W. Le deuxième service est un service permanent thermique SRV (2) qui consomme 1000W en exécution. Les températures mi-nimale, maximale et préférée requises sur cet horizon sont égales respectivement à 19℃, 25℃ et 22℃. La température extérieureTeout(2, k)et la radiation solaireΦes(2, k)sont supposées être des données incertaines. Les bornes de la température extérieure et de la radiation solaire pendant ces périodes sont données dans la figure 5.1.
En introduisant deux paramètres incertains, le modèle du comportement du service perma-nent dans l’équation (2.3) devient :
Tin(2, k + 1) − e −∆ τ (i)Tin(2, k) + G(2)[e −∆ τ (i) − 1]E(2, k) +[e −∆ τ (i) − 1] eTout(2, k) + [e −∆ τ (i) − 1]eΦs(2, k) = 0 (5.8) −1 ≤ bTout(2, k) ≤ 0 (5.9) −50 ≤ bΦs(2, k) ≤ 0 (5.10)
2. Programmation multiparamétrique pour la prise en compte des incertitudes paramétriques95
Figure 5.2 – Le coût énergétique C∗ optimal et l’énergie affectée au chauffage à la période 5 en fonction deTdout et cφs
Nous avons réalisé une implémentation de la résolution multi-paramétrique avec l’outil Multi Parametric Toolbox MPT (Kvasnica et al., 2006). La résolution de cet exemple prend 62 secondes en utilisant un calculateur 2, 4GHz. Les figures 5.2-a et 5.2-b représentent respectivement le coût énergétique pour la valeur optimale du critère d’agrégation en fonction des incertitudes et l’énergie affectée au chauffage à la période 5 en fonction de la variation des incertitudes. On trouve que la programmation multiparamétrique a découpé la zone d’incertitudes en 2 régions critiques. Le coût énergétique augmente linéairement avec les incertitudes car la consommation d’énergie est directement liée à la température intérieure induite par la température extérieure et la radiation solaire. Pour des petites variations de ces paramètres, on arrive à chauffer plus pour conserver le confort mais le coût énergétique devient trop important. La position de la frontière entre les deux zones critiques est totalement définie par les coefficients de pondération que nous avons mis dans la fonction d’agrégation du critère.
On obtient également le plan optimal d’affectation d’énergie du chauffage en fonction de la variation de la température extérieure et de la radiation solaire sur tout l’horizon de planification. Par exemple, la quantité d’énergie optimale à affecter au chauffage à la période 5 est donnée dans la figure 5.2-b). Dans la région définie par les inégalités suivantes :
(
Tout+ 20φs≥ −14
Tout≤ 0, φs≤ 0 (5.11)
quelque soit l’incertitude, le chauffage ne consomme pas d’énergie car dans cette région les incertitudes sont petites et il ne fait pas très froid à l’extérieur. On retrouve bien entendu les mêmes zones critiques qui délimitent le mode d’évolution des coûts et de la solution (affectation d’énergie).
On voit que la programmation multiparamétrique fournit une description de toutes les poli-tiques optimales sur tout l’espace des paramètres incertains. Cette description est sous la forme d’équations linéaires pour chaque zone critique. Ce résultat représente un ensemble de décisions mais ne correspond pas à un plan optimal d’affectation quelque soit la valeur des paramètres qui pourraient se réaliser. Bien entendu, parmi toutes ces décisions potentielles, on peut reconnaître
96 Chapitre 5. Prise en compte des incertitudes paramétriques la politique de pire cas qui correspond à la valeur maximale du critère, c’est-à-dire dans ce cas aux décisions calculées pour la plus grande variation négative de la température et de la radiation solaire. Mais pour cette politique et dans notre cas de relation univoque entre les paramètres et le critère il n’est pas nécessaire de faire toute cette procédure de programmation multiparamé-trique pour obtenir cette politique de pire cas. C’est la raison pour laquelle nous avons étudié les approches robustes qui permettent de calculer une politique valable sur l’ensemble des valeurs des paramètres. Ceci fait l’objet de la partie suivante de ce chapitre.