Profil de densit´ e

L’un des premiers aspects traitant de la structuration de la mati`ere noire, qu’il est int´eressant de quantifier, concerne le profil de densit´e adopt´e dans les halos. Ce profil caract´erise l’agencement, l’organisation de la mati`ere au sein d’un halo. Les mod`eles analytiques d’effondrement de la mati`ere noire, comme ceux issus des prescriptions de Press & Schechter (1974), indiquent que les structures ´emergentes doivent ˆetre de sym´etrie sph´erique1, l’´evolution de la densit´e ne s’effectuant alors que de mani`ere radiale ρ(r, θ, φ)→ ρ(r).

Le cas de la sph`ere isotherme

Les premiers mod`eles analytiques (White & Frenk, 1991; Kauffmann et al., 1993; Cole et al., 1994, 2000; Hatton et al., 2003), d´ecrivant la formation des galaxies au cœur de halos, adoptaient un profil de densit´e pour la mati`ere dit de sph`ere

1. Il faut noter que la prescription sph´erique d’origine propos´ee par Press & Schechter (1974) a ´

et´e ´etendue pour permettre la description de structures plus complexes, ellipso¨ıdales. On peut se r´ef´erencer aux travaux de White & Silk (1979), Eisenstein & Loeb (1995), Bond & Myers (1996) ou encore Sheth et al. (2001).

isotherme :

ρ(r) = ^Mvir 4πRvirr2

faisant intervenir la masse du Viriel Mvirde la structure. Ce profil est g´en´eralement tronqu´e au rayon du Viriel, Rvir.

L’´emergence d’un profile universel !

Des ´etudes approfondies d´edi´ees aux propri´et´es de la mati`ere noire, ´evoluant dans les simulations N-corps, ont permis de mettre en ´evidence un profil de densit´e particulier, qui semble ˆetre valide pour une grande gamme de masses et de tailles de halo ´evoluant, de plus, `a des ´epoques diff´erentes. Ce profil :

ρN F W(r) = ^ρ0 r r0  1 + _r^r₀^ 2 (3.1)

mis en exergue par Navarro et al. (1995, 1996, 1997) est g´en´eralement baptis´e profil NFW en r´ef´erence aux auteurs de ces travaux. L’expression du profil fait intervenir deux grandeurs cl´es, un rayon : r0et une densit´e ρ0= 4ρ(r0) caract´eristiques.

Avec un tel profil de densit´e, la distribution radiale de la masse du halo est donn´ee par :

MN F W(r) = 4πρ0r³₀φ(x) avec x = ^r

r0 et φ(x) = ln(1 + x)−_{1 + x}^x (3.2) Rayon de troncature : Rhalo

Il est important de noter que le profil de densit´e N F W diverge, il conduit si on l’int`egre `a une masse infinie. Pour palier `a ce probl`eme, le profil est l`a aussi tronqu´e `a un rayon donn´e Rhalo. Si l’on veut prendre en consid´eration l’influence de la structure stable du halo, il faut, comme il est d’usage, se concentrer sur la masse Mvir de la structure. En effet, mˆeme si pour les halos massifs ´evolu´es, la diff´erence entre la masse totale Mf of et la masse viri´elis´ee Mvir est faible, voire tr`es faible, les jeunes structures en formation peuvent ˆetre en partie instables. Il est donc pr´ef´erable de se limiter `a la masse stabilis´ee, g´en´eralement au cœur de la structure. Le rayon Rhalo est donc d´eduit de MN F W(r = Rhalo) = Mvir et d’un crit`ere de seuil en densit´e `a la p´eriph´erie du halo :

Ce dernier d´efinit la limite ext´erieure du halo comme le rayon renfermant une r´egion dont la densit´e moyenne est ∆(z) fois plus ´elev´ee que la densit´e critique de l’Univers au redshift consid´er´e. Le facteur ∆(z) intervenant dans la d´efinition de ce rayon de troncature est issu des travaux de Bryan & Norman (1998) :

∆(z) = 18π²+ 82x(z)− 39x2(z) avec x(z) = ^{Ωm(1 + z)} 3

Ωm(1 + z)3+ ΩΛ − 1 (3.3) La densit´e critique ρc(z) est quant `a elle donn´ee par :

ρc(z) = Ωm(1 + z)³+ ΩΛ

ρ⁰_c

Dans l’hypoth`ese o`u la structure de mati`ere noire adopte une forme sph´erique, le rayon de troncature est alors simplement donn´e par :

Rhalo= 3MN F W(r = Rhalo)

4πρ(r = Rhalo) 1/3

(3.4) Param`etre de concentration : c

A partir de l’expression du profil radial de la masse et du rayon de tronca-ture Rhalo du halo, on peut d´efinir une derni`ere grandeur caract´eristique appel´ee concentration d´efinie comme

c = Rhalo/r0 (3.5)

et v´erifiant donc :

Mhalo= MN F W(r = Rhalo) = 4πρ0r³₀φ(c)

3.2.2 Evolution de la concentration : c

Le comportement de ce param`etre de concentration, reliant le rayon de cœur r0 et le rayon de troncature Rhalo, a ´egalement fait l’objet d’´etudes. On peut citer par exemple les travaux de Zhao et al. (2009), Klypin et al. (2011) ou encore Mu˜ noz-Cuartas et al. (2011) dont les principaux r´esultats sont report´es en figure 3.2.

La vignette de gauche de cette figure 3.2(a) trace l’´evolution de la concentration avec la masse de la structure entre z = 0 et z = 2. On constate une diminution de la concentration du halo accompagnant la croissance en masse de la structure, et ce, `a toutes les ´epoques sond´ees. On peut noter que cette d´ecroissance est d’autant plus marqu´ee que la structure ´evolue `a proximit´e de notre ´epoque (z → 0). De

(a) (b) (c)

Figure 3.2 – Evolution de la concentration c = R_halo/r0 en fonction de la masse et du redshift du halo. Dans les deux vignettes, les points marquent la m´ediane de la distribution mesur´ee en simulation num´erique N-corps. Les courbes mat´erialisent le meilleur ajustement du mod`ele d’´evolution donn´e par les ´equations 3.6 et 3.7. On constate que ce param`etre de concen-tration diminue avec la croissance en masse du halo (a). De plus, pour un halo de masse donn´ee, plus le redshift est ´elev´e, (l’´epoque recul´ee) et plus cette concentration diminue (b), (c). Cette d´ecroissance, d’autant plus prononc´ee que la masse de la structure est ´elev´ee, semble stopper aux redshift z∈ [2 − 4]. La concentration atteint alors une valeur seuil c ≃ 4 pour ensuite remonter aux ´epoques plus recul´ees z > 5 (c). [Figures extraites de Mu˜noz-Cuartas et al. (2011) et Klypin et al. (2011)]

mˆeme, on remarque en vignette centrale (3.2(b)) une d´ecroissance de ce param`etre de concentration avec le redshift . Plus pr´ecis´ement, un halo de masse fix´ee, disons M ≃ 1012M⊙, pr´esentera une concentration c ≃ 5 `a redshift z ≃ 2, alors que pour un halo de masse identique, mais `a redshift z ≃ 0, la concentration sera plus ´elev´ee c ≃ 10. La d´ecroissance en fonction du redshift de la concentration c pour une masse fix´ee de halo semble s’arrˆeter aux redshifts z ∈ [2 − 4] (3.2(c)). Les structures pr´esentent alors une concentration minimale c ≃ 4. Aux ´epoques plus recul´ees z > 5, la concentration moyenne remonte progressivement. Pour des redshift z < 2, l’´evolution, aussi bien en masse qu’en redshift, peut ˆetre ajust´ee par la relation suivante (Mu˜noz-Cuartas et al., 2011) :

log(c) = a(z) Mhalo

h−1 M⊙  + b(z) (3.6) o`u a(z) = wz− m , b(z) =<sub>z + γ</sub><sup>α</sup> + <sup>β</sup> (z + γ)2 (3.7) avec w = 0.029, m = 0.097, α = −110.0, β = 2469 et γ = 16.89. Cette pa-ram´etrisation donne de bons r´esultats vis-`a-vis des deux relations, li´ees `a la masse et au redshift. Des tendances similaires sont observ´ees dans un certain nombre

d’autres travaux (e.g. Zhao et al., 2009; Klypin et al., 2011).

La mesure pr´ealable de Mhalo, coupl´ee `a l’application des relations 3.6 et 3.7, permet de d´eduire la valeur de Rhalo via l’´equation 3.4. La d´efinition de la concen-tration (Eq. 3.5) permet ensuite de d´eduire la valeur du rayon de cœur r0 et donc de clore le syst`eme de param`etres d´efinissant le profil du halo de mati`ere noire.

3.2.3 Spin du halo, λ, param`etre dynamique .... ou pas !

Les param`etres r0, ρ0, Rhalo et c, pr´esent´es et d´efinis pr´ec´edemment, traduisent la structuration en masse des structures de mati`ere noire. Le param`etre (addimen-tionn´e) le plus couramment utilis´e pour quantifier la dynamique du halo de mati`ere noire est appel´e spin et est g´en´eralement not´e λ. Il est d´efini `a partir du moment angulaire total ~J du halo, de son ´energie totale E ainsi que de sa masse totale M :

λ = | ~J| G

r |E|

M5 (3.8)

o`u G est la constante universelle de gravitation. Les premi`eres ´etudes concernant ce param`etre ont ´et´e men´ees dans les simulations num´erique N-corps par Efstathiou & Jones (1979) ou encore Barnes & Efstathiou (1987). Les structures localis´ees dans ces premi`eres simulations pr´esentent toutes des valeurs de spin faibles, de l’ordre de λ∈ [0.05, 0.07]. Les travaux plus r´ecents (e.g. Macci`o et al., 2008; Mu˜noz-Cuartas et al., 2011; Klypin et al., 2011) ont confirm´es ces premiers r´esultats en r´eduisant mˆeme la valeur moyenne λ≃ 0.03. Cette faible valeur moyenne du param`etre de spin traduit un fait simple : les halos de mati`ere noire ne semblent pas faire l’ob-jet d’une rotation ordonn´ee, de type circulaire par exemple. Ils sont au contraire maintenus dans un ´etat stable par leur dispersion anisotrope de vitesse. Les parti-cules de mati`ere noire circulent, certes selon des orbites plus ou moins complexes, d´esordonn´es mais stables2. Les analyses d´etaill´ees, focalis´ees sur ce param`etre de spin, donnent des informations au del`a de la simple valeur moyenne. Elles ren-seignent ´egalement l’´evolution de cette moyenne avec le temps mais ´egalement sur la fonction de distribution du param`etre.

Les deux vignettes (a) et (b) de la figure 3.3 pr´esentent respectivement l’´evolution de la valeur moyenne du param`etre de spin en fonction de la masse de la structure et la fonction de distribution. Les diff´erentes distributions de points (code couleur

2. Aussi complexes soit-elles, les orbites des particules se doivent d’ˆetre stables car le halo, en g´en´eral, ne se disloque pas, mais pr´esente au contraire une certaine stabilit´e. Stabilit´e qui doit se traduire dans son profil de densit´e.

(a) (b)

Figure 3.3 –Evolution du param`etre de spin en fonction de la masse et du redshift du halo. La vignette de gauche ((a) : cadre sup´erieur et inf´erieur) pr´esente l’´evolution de la valeur moyenne du spin en fonction de la masse du halo et ce, pour diff´erents redshifts (code couleur identique `a celui de la figure 3.2(a)). La distribution des points jaunes, d´edi´ee au redshift z≃ 2, repr´esente la valeur moyenne r´eelle. Comme cette valeur moyenne semble ˆetre constante `a toute les ´epoques et pour ´eviter la confusion, toutes les autres distributions sont, dans le cadre sup´erieur, d´ecal´ees progressivement par une mˆeme valeur (0.1). On constate que la valeur moyenne du spin n’´evolue pas d’une ´evolution franche avec la masse de la structure. Dans le cadre inf´erieur de la vignette de gauche, le d´ecalage n’est plus appliqu´e, la constance de la valeur moyenne est confirm´ee, mais il semble apparaˆıtre une l´eg`ere ´evolution avec la masse pour les redshifts z > 1, les halos massifs pr´esentant un spin en moyenne plus faible. La vignette de droite (b) pr´esente la distribution du spin, mesur´ee pour trois ´epoques diff´erentes (z = 0.0, 1.12, 2.0). Cette distribution, ajustable par une forme fonctionnelle de type log-normale ne pr´esente pas de variation significative en fonction de l’´epoque sond´ee. [Figures extraites de Mu˜noz-Cuartas et al. (2011)]

identique `a celui de la figure 3.2(a)) sont d´edi´ee aux diff´erents redshifts sond´es. Elles sont d´ecal´ees en ordonn´ee d’un facteur constant (0.1) `a partir de la distribu-tion mesur´ee `a z≃ 2 (en jaune) afin d’´eviter une certaine confusion dans le trac´e. Ce d´ecalage est en effet n´ecessaire en raison de la tr`es faible, voire inexistante, ´evolution de la valeur moyenne du spin avec le redshif (z). Cette constatation est parfaitement lisible dans le cadre inf´erieur de la vignette (a). Ici, le d´ecalage pro-gressif n’a pas ´et´e effectu´e. On remarque alors une l´eg`ere ´evolution de la valeur moyenne en fonction de la masse mais cela uniquement aux redshifts z > 1, les halos massifs pr´esentant une valeur inf´erieure `a la moyenne enregistr´ee.

La vignette de droite 3.3(b) pr´esente la fonction de distribution, mesur´ee `a trois ´epoques diff´erentes (z = 0.0, 1.12, 2.0), du param`etre de spin. Cette distribution est ajustable par une forme fonctionnelle de type log-normal (e.g. Macci`o et al., 2008;

Mu˜noz-Cuartas et al., 2011) : P (λ)dλ = ¹ λ√_2πσ λ exp