Produit mixte et produit vectoriel

avec B = (bi,j)1≤i,j≤k ∈ Mk(R) une matrice bidiagonale supérieure (c’est-à-dire triangulaire supé-rieure et vérifiant b_i,j = 0 si j > i+ 1). Montrer que les valeurs singulières de A et de B sont égales.

(2) Si C=

0 B

tB 0

∈M2k(R), montrer que les valeurs propres strictement positives de C sont les valeurs singulières de B, et qu’il existe un algorithme transformant toute telle matrice C en une matrice T = (t_i,j)1≤i,j≤k∈M2k(R) tridiagonale de diagonale nulle (c’est-à-dire vérifiant ti,i= 0 etti,j = 0 si |i−j|>1), ayant les mêmes valeurs propres.

(3) Donner un algorithme donnant les valeurs propres d’une matrice tridiagonale de diagonale nulle.

1.11 Produit mixte et produit vectoriel

Soientn∈NetE un espace vectoriel réel de dimension finien.

Rappelons que l’espace vectoriel réelΛⁿE^∗ des formesn-linéaires alternées⁴³ surE est de dimension 1, engendré, pour toute base B de E, par l’application déterminant det_B dans la base B des n-uplets de vecteurs de E : pour tous les x₁, . . . , x_j, . . . , x_n dans E, de coordonnées (x1,1, . . . , xn,1), . . . ,(xi,j)1≤i≤n, . . . ,(x1,n, . . . , xn,n) respectivement dans la base B, nous avons

det_B(x₁, . . . , x_n) = det (x_i,j)1≤i,j≤n .

De plus, soit P =P_B,B⁰ la matrice de passage de la baseB à une autre baseB⁰ (dont les colonnes sont les vecteurs colonnes des coordonnées des éléments de B⁰ dans la base B).

Alors

detP = detP_B,B⁰ = det_BB⁰

et X = P X⁰ où X et X⁰ sont les vecteurs colonnes des coordonnées d’un vecteur x ∈E dans les bases B etB⁰ respectivement. Donc⁴⁴

det_B = (det_BB⁰) det_B⁰ . (21) Si B est la base canonique de Rⁿ, nous notons det_B = det : (Rⁿ)ⁿ → R. Remarquons que six1, . . . , xn sontnvecteurs linéairement indépendants deRⁿ, alors le volume pour la mesure de Lebesgue deRⁿ du parallélépipède

P(x1, . . . , xn) = nXⁿ

i=1

λixi: ∀i= 1, . . . , n, λi ∈[0,1]

o

43. SiKest un corps commutatif et siE1, . . . , En+1sontn+ 1espaces vectoriels surK, une application f :E1× · · · ×En→En+1 est ditemultilinéairesi elle est linéaire en chacune des nvariables, etalternée si elle s’annule sur les n-uplets d’éléments dont deux au moins sont égaux. C’est uneformemultilinéaire alternée si de plusEn+1=K.

44. En effet, pour tous lesx1, . . . , xn dansE, dont les colonnes des coordonnées sontX1, . . . , Xndans B etX1⁰, . . . , Xn⁰ dansB⁰, nous avons, en écrivant les matrices comme juxtapositions de leurs colonnes,

det_B(x1, . . . , xn) = det(X1. . . Xn) = det(P X₁⁰. . . P X_n⁰) = (detP) det(X₁⁰. . . X_n⁰)

= (det_BB⁰) det_B⁰(x1, . . . , xn).

défini parx1, . . . , xn vérifie (voir par exemple la formule (24)) vol(P(x1, . . . , xn)) =|det_B(x1, . . . , xn)|.

Rappelons qu’uneorientation deE est une classe d’équivalence de bases deE pour la relation B ∼ B⁰ si et seulement si le déterminant de la matrice de passage de B à B⁰ est (strictement) positif, qu’il y a deux orientations possibles, et queE estorienté s’il est muni d’une orientation. Une base de E est alors dite directe (ou parfois positive) si elle appartient à l’orientation choisie.

Exemples. (1) L’espace euclidien orienté usuel Rⁿ est l’espace euclidien usuelRⁿ muni de l’orientation rendant directe la base canonique de Rⁿ.

(2) SiE est un espace euclidien ou hermitien, siB⁰ est la base obtenue par le procédé d’orthonormalisation de Gram-Schmidt à partir d’une base B, alors B etB⁰ définissent la même orientation. En effet, si f : [0,1] → Eⁿ est un chemin continu de bases entre B etB⁰ (voir le commentaire qui suit l’énoncé de la proposition1.10), alors l’application t7→det_B(f(t)), qui vaut1ent= 0et qui ne s’annule pas, est, par le théorème des valeurs intermédiaires, positive en f(1) = det_B(B⁰).

(3) Tout espace vectoriel complexe de dimension finie E, considéré comme un espace vectoriel réel, est muni d’une orientation canonique, de la manière suivante.

NotonsE_Rl’espace vectoriel réel, dit obtenu deE parrestriction des scalairesàR, qui est le groupe additif sous-jacent à E muni de la restriction à R×E de la multiplication externe deE. SiB= (e1, . . . , en)est une base deE(en tant qu’espace vectoriel complexe), alorsB_R= (e₁, . . . , e_n, i e₁, . . . , i e_n,)est une base deE_R(en tant qu’espace vectoriel réel).

L’orientation deE_R définie parB_Rest indépendante du choix de la base B. En effet, soit B⁰ une autre base, soit P ∈Mn(C) la matrice de passage de la base B à la base B⁰, et soient A ∈ Mn(R) et B ∈ Mn(R) les parties réelles et imaginaires de P (de sorte que P = A+iB ). Alors P_R =

A −B

B A

est la matrice de passage de B_R à B⁰_R, et son déterminant, égal à

det(P_R) =|detP|²

par le lemme suivant, est strictement positif, ce qui montre le résultat.

Lemme 1.22. Pour tous lesA, B ∈Mn(R), nous avons det

A −B

B A

=

det(A+iB)

2 .

Démonstration. En multipliant par iles ndernières lignes puis lesndernières colonnes, en ajoutant la première ligne par blocs à la dernière ligne par blocs, puis la dernière colonne par blocs à la première colonne par blocs, et en utilisant la formule des déterminants des

matrices triangulaires supérieures par blocs,⁴⁵ nous avons

Jusqu’à la fin de la partie 1.11, nous supposons queE est un espace euclidien orienté de dimension n. Il découle des rappels ci-dessus et du fait que la matrice de passage P d’une base orthonormée à une autre base orthonormée est une matrice orthogonale, donc de déterminant ±1, que si B et B⁰ sont deux bases orthonormées directes de E, si P est la matrice de passage de B à B⁰, alors P ∈ SO(n) et det_B = det_B⁰ : l’application det_B :Eⁿ→Rdans une base orthonormée directeB ne dépend pas de son choix. Elle est appelée laforme volume deE, et notéeω_E. Si E^op est l’espace vectoriel euclidien E muni de l’orientation opposée, alors

ω_E^op =−ω_E .

Le choix indifférent d’une base orthonormée directe B de espace euclidien orienté E de dimension n permet ainsi d’associer à tout n-uplet (x1, . . . , xn) de vecteurs de E un scalaire réel

x₁∧ · · · ∧x_n=ω_E(x₁, . . . , x_n) = det_B(x₁, . . . , x_n)∈R

appelé le produit mixtede(x1, . . . , xn). La notation x1∧ · · · ∧xn pour ce nombre réel n’est pas standard (voir l’exerciceE.18, avec certes un danger de confusion de notation, qui donne une explication profonde à la notation). Il ne faut pas confondre le scalaire réel associé à un n-uplet avec le vecteur associé à un (n−1)-uplet, voir ci-dessous. Ce produit mixte dépend de manière n-linéaire alternée de(x1, . . . , xn) et vérifie les propriétés élémentaires suivantes (qui sont immédiates).

Proposition 1.23. Soit (x1, . . . , xn)∈Eⁿ.

(1) Le produit mixte ω_E(x₁, . . . , x_n) est non nul si et seulement si(x₁, . . . , x_n)est une base de E.

(2) Le produit mixte ωE(x1, . . . , xn) est strictement positif si et seulement si (x1, . . . , xn) est une base directe de E.

45. Celle-ci dit que pour tous les n, m ∈ N− {0}, pour tout corps commutatif k⁰ et pour tous les

Pour démontrer cette formule, nous pouvons supposer que A est inversible (sinon les deux termes sont nuls, celui de gauche car son rang, vu comme le rang de l’espace vectoriel engendré par les colonnes, est strictement inférieur àn+m) ; nous écrivons

et nous calculons les deux derniers déterminants en développant respectivement par rapport auxndernières lignes dans l’ordre décroissant et par rapport auxmpremières colonnes dans l’ordre croissant.

(3) Si (x1, . . . , xn)est une base orthonormée de E, alors son produit mixteω_E(x1, . . . , xn)

vaut +1 si cette base est directe, et−1 sinon.

Remarque. Par l’exercice E.36, pour tout(x₁, . . . , x_n)∈Eⁿ, nous avons particulier, dans un espace euclidien, le volume d’un parallélépipède de longueurs de côtés données est maximal lorsque ce parallélépipède est à angles droits.

Dans la proposition suivante, nous associons, à tout (n−1)-uplet (x1, . . . , xn−1) de De plus, les propriétés suivantes sont vérifiées :

(i) l’application (x1, . . . , xn−1) 7→ x1 ∧ · · · ∧xn−1 de Eⁿ⁻¹ dans E est (n−1)-linéaire base B est (−1)ⁿ⁻ⁱ fois le déterminant de la matrice Ai obtenue en enlevant lai-ème ligne de A : non seulement de la structure euclidienne de E, mais aussi de l’orientation deE : changer

l’orientation change son signe. La propriété (23) du produit vectoriel s’appelle en dimension 3 larègle des trois doigts de la main droite. Les propriétés (i), (iii) et (iv) caractérisent le produit vectoriel.

Démonstration. Puisque l’applicationy 7→ω_E(x₁, . . . , xn−1, y)est une forme linéaire sur E par multilinéarité du déterminant, l’existence et l’unicité de x₁ ∧ · · · ∧xn−1 vient de l’isomorphisme de dualité E→E^∗ défini parx7→ {y7→ hx, yi}.

Les propriétés (i), (ii), (iii), (iv) et (v) découlent de la définition et du fait que le déterminant est multilinéaire alterné.

Montrons la propriété (vi). Par développement d’un déterminant par rapport à sa dernière colonne, pour tous les y ∈ E de coordonnées (y₁, . . . , y_n) dans la base B, en

Exercice E.12. Dans l’espace euclidien orienté usuel R³, considérons des vecteurs a, bet c.

(1) Montrer que si E est de dimension n et si B est une base orthonormée de E, alors Gram(x1, . . . , xn) = (det_B(x1, . . . , xn))² .

Montrer queGram(x₁, . . . , x_n)≥0avec égalité si et seulement si les vecteursx₁, . . . , x_n sont linéairement dépendants. En calculant le déterminant de Gram de deux vecteurs, en déduire l’inégalité de Cauchy-Schwarz, avec cas d’égalité, dans tout espace préhil-bertien.

(2) Soientx1, . . . , xn∈Eetr ∈N. Montrer que les conditions suivantes sont équivalentes : (i) le rang du système {x₁, . . . , x_n} est inférieur ou égal à r,

(ii) pour toute partie {x_i1, . . . , xir+1} de {x₁, . . . , xn} de cardinal r + 1, nous avons Gram(x_i1, . . . , x_ir+1) = 0,

(iii) le rang de la matrice de Gram de (x1, . . . , xn) est inférieur ou égal à r.

(3) Si E est de dimension finie, et si B et B⁰ sont deux bases de E, quelle est la relation entre les matrices de Gram de B et de B⁰?

(4) Soit (x₁, . . . , x_n) une base d’un sous-espace vectoriel F de E. Montrer que pour tout x∈E,

d(x, F)² = Gram(x, x₁, . . . , x_n) Gram(x1, . . . , xn) En déduire par exemple la valeur de

A= min

(6) Montrer que si E est un espace euclidien orienté de dimension n, alors pour tous les x1, . . . , xn−1 ∈E, nous avons

kx₁∧ · · · ∧xn−1k² = Gram(x1, . . . , xn−1).

(7) Pour toutn∈N−{0}, ledéterminant de Cayley-MengerΓ_n∈Z[X_i,j : 0≤i < j≤n]

est le polynôme à coefficients entier, en ⁿ⁽ⁿ⁺¹⁾₂ indéterminées X_i,j, défini, en posant Xi,i= 0 etX−1,i= 1 pour 0≤i≤n etXi,j =Xj,i pour −1≤i, j≤n, par

Γn= det (X_i,j² )−1≤i,j≤n .

(i) Montrer queΓnest un polynôme symétrique en les indéterminéesXi,j pour0≤i <

j≤n, et que

(ii) Dans la suite de cette question (7), notons E⁰ un espace affine euclidien orienté, x₀, . . . , x_n des points de E⁰, et d_i,j =d(x_i, x_j) la distance entre x_i et x_j. Montrer que

Gram(−−→x0x1, . . . ,−−→x0xn) = (−1)ⁿ⁺¹

2ⁿ Γn(di,j : 0≤i < j≤n).

(iii) Montrer que x0, . . . , xn appartiennent à un même sous-espace affine de E⁰ de di-mension n−1 si et seulement si Γ_n(d_i,j : 0 ≤ i < j ≤ n) = 0. En déduire que trois points x, y, z d’un espace affine euclidien sont alignés si et seulement si d(y, z) =|d(x, y)−d(x, z)|ou d(y, z) =d(x, y) +d(x, z).

(iv) Si E⁰ est de dimension n, montrer que le volume V du simplexe⁴⁶ de sommets x₀, . . . , x_n vérifie

V² = (−1)ⁿ⁺¹

2ⁿ(n!)² Γn(di,j : 0≤i < j≤n).

(v) Soit ABC un triangle d’un plan affine euclidien, de longueurs des côtés a, b, c, et d’aire A. Montrer laformule de Héron

A = 1 4

p(a+b+c)(b+c−a)(a+c−b)(a+b−c).

(8) Considérons un tétraèdre T de R³ ayant un sommet A telle que la longueur des trois arêtes ayant A pour sommet soit 1, et les angles en A des trois faces ayant A pour sommet soient ^π_p,^π_q,^π_r, où p, q, r ∈ N− {0,1} vérifient ¹_p + ^π_q + ^π_r > 1. Calculer le volume de T.